01 模块一　三角函数与解三角形、平面向量 【正文】听课手册

微专题1三角函数的图象与性质微点1由解析式探性质例1(多选题)[2023·湖南雅礼中学一模]已知函数f(x)=sin(3x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π8对称,那么 (A.函数y=fx-B.函数f(x)在-πC.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|的最小值为πD.将函数f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后,得到函数y=-cos3x[听课笔记]

【规律提炼】对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)性质的考查关键在于单调性、对称性、奇偶性与函数的值域.自测题1.(多选题)[2023·嘉兴二模]已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0),下列说法正确的是 (A.若f(x)的最小正周期为π,则ω=2B.若ω=4,则f(x)在0,πC.若f(x)在0,π2上单调递增,则0D.若将f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数,则ω的最小值为2.已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1,则f(x)的最小正周期是,f(x)的单调递减区间是.

微点2由图象定量求解析式例2(1)(多选题)已知f(x)是定义在闭区间[-b,b](b>0)上的偶函数,且f(x)在[0,b]上的图象是函数g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的一部分(如图所示),则 ()A.f(x)的定义域为-B.当x=π6时,f(x)C.当-b≤x<0时,f(x)的单调递增区间为-D.当-b≤x<0时,f(x)有且只有两个零点-5π12和-(2)[2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)=[听课笔记]

【规律提炼】由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的关键在于三利用:利用最值定A,B,利用最小正周期T定ω;利用特殊点定φ.自测题1.已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0),当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π2.若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,然后再将得到的图象向右平移π3个单位长度,得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)≥1A.π6+kπB.π3+2kπC.π12+kπD.π6+2kπ2.(多选题)[2023·辽宁教研联盟二调]函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|A.φ=πB.A=2C.将f(x)的图象向右平移π12个单位长度,D.f(x)的单调递增区间为-π12+2微点3复合型三角函数图象与性质例3(多选题)[2023·湖南郴州质检]将函数g(x)=sinωx(ω>0)的图象向左平移π5ω个单位长度后得到函数f(x)的图象,已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点,则下列结论正确的是 (A.f(x)的图象关于点π2B.f(x)在(0,2π)上有且只有5个极值点C.f(x)在0,D.ω的取值范围是12自测题1.[2023·广东佛山二模]已知函数f(x)=sin(2x+φ)|φ|<π2,若存在x1,x2,x3∈0,3π2,且x3-x2=2(x2-x1)=4x1,使f(x1)=f(x2)=f(x3)>A.-π6 B.C.-π3 D.2.[2023·山东菏泽二模]已知函数f(x)=3sinωx-cosωx(ω>0)在区间-2π5,3π4上单调递增,且在区间[0,π]上只有一个最大值,则ωA.23,83 C.23,89 1.[2021·新高考全国Ⅰ卷]下列区间中,函数f(x)=7sinx-π6单调递增的区间是 ()A.0,π2 C.π,3π2 2.[2022·新高考全国Ⅰ卷]记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T,若2π3<T<π,且y=f(x)的图象关于点3π2,2中心对称,则A.1 B.32 C.52 D3.[2022·全国甲卷]设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (A.53,136 C.136,83 4.(多选题)[2020·全国新高考Ⅰ卷]如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= ()A.sinx+π3 BC.cos2x+π6 5.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点2π3,0对称,则 (A.f(x)在0,B.f(x)在-πC.直线x=7π6是曲线y=f(x)D.直线y=32-x是曲线y=f(x)6.[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.

7.[2021·全国甲卷]已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-7π4·f

交汇一三角函数与基本函数1(多选题)若函数f(x)=|sinx|+e|sinx|,则 ()A.函数f(x)为偶函数B.函数f(x)的一个周期为πC.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增D.函数f(x)的最大值为e+1,无最小值自测题(多选题)[2023·安徽皖江名校联考]若函数f(x)=2sin2x·log2sinx+2cos2x·log2cosx,则 ()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于直线x=π4C.f(x)的最小值为-1D.f(x)的单调递减区间为2kπ,π交汇二三角函数与导数2(1)[2023·石家庄联考]设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),对任意的x∈R,有f(x)-f(-x)=2sinx,且f'(x)>cosx在[0,+∞)上恒成立.若fπ2-t-f(t)>cost-sint,则实数t的取值范围为 (A.-∞,π4 B.π4,+∞ C.π(2)[2023·武汉模拟]已知函数f(x)=1+sinx2cosx+sinx,x∈0,π2,自测题(多选题)[2023·江苏苏锡常镇四市调研]已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则 ()A.f(x)是偶函数,也是周期函数 B.f(x)的最大值为3C.f(x)的图象关于直线x=π3D.f(x)在0,π微专题2三角恒等变换微点1给值求值例1(1)已知θ∈π4,π2,且sin2θ=53,则tanθ= ()A.55 B.C.10 D.55或(2)[2023·安徽淮北二模]若cosα+π12=23,则sin[听课笔记]

自测题1.已知sin2α+2sinαcosα-2sinα-4cosα=0,则cos2α-sinαcosα= ()A.-45 B.C.-35 D.2.[2023·江苏七市调研]已知cos(40°-θ)+cos(40°+θ)+cos(80°-θ)=0,则tanθ= ()A.-3 B.-3C.33 D.微点2给值求角例2[2023·江苏无锡三模]已知tanβ=cosα1-sinα,tan(α+β)=1+sinαcosα,若β∈A.π12 B.C.π4 D.[听课笔记]

自测题1.已知α∈(0,π),tan2α=sinα1+cosα,则α= (A.π3 B.C.3π4 D.2.已知0<α<β<π2,cos2α+cos2β+1=2cos(α-β)+cos(α+β),则 (A.α+β=π6 B.α+β=C.β-α=π6 D.β-α=微点3综合应用例3(1)[2023·浙江金丽衢十二校二联]数学里有一种证明方法叫作Proofwithoutwords,也被称为无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由tan∠BCH=BHCH可以直接证明的三角函数公式是 ()A.tanθ2=B.tanθ2=C.tanθ2=D.tanθ2=(2)[2023·三明三模]在平面直角坐标系中,O(0,0),A(sinα,cosα),Bcosα+π6,sinα+π6,当∠[听课笔记]

自测题1.[2023·江苏无锡联考]已知α∈0,π2,sin4α1+cos4α=sinαcosα-2,则tanαA.155 B.53 C.1515 2.[2023·江苏苏锡常镇四市调研]在平面直角坐标系xOy中,已知点A35,45,将线段OA绕原点按顺时针方向旋转π3得到线段OB,【规律提炼】1.三角化简问题总的方向是变角与变式,达到“角、名和次”以及结构的统一;2.常见技巧涉及换元法、切化弦、整体代换等方法;3.求角问题要考虑对应三角函数值与特殊角之间的关系,考虑是单一值或者多个值.1.[2023·新课标Ⅱ卷]已知α为锐角,cosα=1+54,则sinα2= ()A.3-58 C.3-54 2.[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2β)= (A.79 B.19 C.-19 3.[2022·新高考全国Ⅱ卷]若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ,则 (A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=14.[2021·新高考全国Ⅰ卷]若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)A.-65 B.-25 C.25 5.[2021·全国甲卷]若α∈0,π2,tan2α=cosα2-sinα,A.1515 B.55 C.53

微专题3解三角形微点1结构不良问题例1在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAcosB=2sinA-cosAsinB.(1)求sinCsin(2)若b=3,从下列三个条件中选出一个条件作为已知,使得△ABC存在且唯一确定,并求△ABC的面积.①cosB=1116;②sinC=154;③△ABC的周长为自测题[2020·全国新高考Ⅰ卷]在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.微点2最值范围问题例2[2023·嘉兴二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)若B=π12,求A(2)求(b+【规律提炼】1.当限制角的取值范围时,函数方法比不等式方法更具有操作性和普适性.2.在对边对角模型下,若已知a,A,则形如mb±nc(m,n∈R)等结构的取值范围均可利用函数关系等求出.自测题[2022·新高考全国Ⅰ卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA(1)若C=2π3,求B(2)求a2+微点3平面向量在解三角形中的应用例3[2023·长沙一模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足ab=1(1)求C的大小;(2)若△ABC的面积为103,且CD=2DA,求线段BD的长度的最小值.【规律提炼】平面向量在解三角形中的应用侧重于将平面向量的几何特征转化为数量运算,再结合正、余弦定理求解即可.自测题[2023·山东济南二模]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如图,点G是△ABC的重心,且AG·BG=0.(1)若∠GAB=π6,求tan∠GAC的值(2)求cos∠ACB的取值范围.1.[2023·新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.2.[2021·新高考全国Ⅰ卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.3.[2023·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为3,D为BC的中点,且AD=1.(1)若∠ADC=π3,求tanB(2)若b2+c2=8,求b,c.

类型一三角形中线例1[2023·安徽安庆一模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,cosB+cosA(1)若c=23,求sinA;(2)若AB边上的中线长为372,求边AB的长自测题[2023·潍坊模拟]设钝角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a2+b2-c2)R=ab2,其中R是△ABC外接圆的半径.(1)若B=7π12,求C的大小(2)若CD=2DA,∠CBD=π2,证明:△ABC为等腰三角形类型二三角形角平分线例2[2023·山东泰安模拟]在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足sinAsinC-1=sin2(1)求证:B=2C;(2)已知BD在∠ABC的平分线上,D在AC边上,若a=6,求线段BD长度的取值范围.自测题[2023·苏州三模]在△ABC中,∠ABC=π2,点D,E在边BC上,∠BAD=∠DAE=∠EAC,且BD=3,DE=5(1)求边AB的长;(2)求△AEC的面积.类型三四边形问题例3[2023·福建漳州质检]在平面四边形ABCD中,∠ABC=π2,∠BCD=3π4,BD=5,CD=(1)求cos∠CBD;(2)若△ABD为锐角三角形,求△ABD的面积的取值范围.自测题[2023·泰安二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,cosB=-13(1)求sinC;(2)若点D在△ABC的外接圆上,且∠ABD=∠CBD,求线段AD的长.【规律提炼】1.解三角形实际就是利用正余弦定理及三角恒等变换等三角知识解决边角关系问题;2.在解决多三角形问题时,要关注题目中几何性质的应用,如求中线长时可结合平面向量知识,注意角平分线定理的运用,当四点共圆时注意对角互补等.

微专题4平面向量微点1基底法应用例1(1)[2023·山东潍坊二模]在△ABC中,D为边BC上一点,BD=13BC,点E是AD的中点,记AB=a,AC=b,则BE= ()A.-13a+13b B.-23aC.-13a-13b D.23a(2)[2023·石家庄模拟]在边长为6的正三角形ABC中,若点D满足BD=2DC,则AD·BC=.

[听课笔记]

自测题1.[2023·福建泉州模拟]在正方形ABCD中,E在边CD上,且CE=2ED,AE与对角线BD交于F,则AF= ()A.13AB+B.34ABC.14AB+D.13AD2.[2023·安徽淮南二模]在△ABC中,已知∠ACB=2π3,BC=4,AC=3,D是边AB的中点,点E满足AE=34AB+14AC,则CD·DEA.-58 B.-C.12 D.微点2坐标法应用例2[2023·江苏无锡四校联考]勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图所示,已知等边三角形ABC的边长为2,P为勒洛三角形的弧AC上的点,且∠PBC=45°,则BP·CP的值为 ()A.4-2 B.4+2C.4-22 D.4+22[听课笔记]

自测题1.[2023·湖南怀化二模]如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则EA·EB的最小值为 ()A.2116 B.C.34 D.2.[2023·全国甲卷]已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>= ()A.-45 B.-C.25 D.微点3投影法应用例3(1)[2023·浙江Z20名校联考]已知点P是边长为1的正十二边形A1A2…A12的边上任意一点,则A1P·A1A2A.-3-12 C.-3 D.-2(2)[2023·广东佛山一模]如图所示,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=1,则AP·AC=.

[听课笔记]

自测题1.若向量a=(-1,2),b=(3,-4),则a在b上的投影向量的坐标为 ()A.-3325,4425 C.(33,44) D.(-