02 模块二　数列 【正文】作业手册

模块二数列限时集训(五)微专题5等差数列、等比数列[时间:45min]基础过关1.[2023·广东深圳二调]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=10,则S30= ()A.0 B.-10C.-30 D.-402.[2023·青岛三模]若{an}为等比数列,则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.记数列{an}的前n项和为Sn,则“S3=3a2”是“{an}为等差数列”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2a1,若a1,a2,ak1,ak2,ak3依次成等比数列,则kA.81 B.63C.41 D.325.[2023·温州三模]已知数列{an}的各项均为正数,数列{bn}满足an2=bnbn+1,an+an+1=2bn+1,则 (A.{bn}是等差数列B.{bn}是等比数列C.{bn}D.{bn}6.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若(2n+3)Sn=nTn,则a5b6= (A.925 B.C.37 D.7.[2023·湖北十堰调研]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点为前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它的前面两个数的和,即an+an+1=an+2,人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)(a2a4-a32)(a3a5-a42)·…·(a2022a2024-aA.-2024 B.2024C.-1 D.18.(多选题)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且d≠0,a1,a4,a6成等比数列,则下列说法正确的是 ()A.S19=0B.a9=0C.当d<0时,S9是Sn的最大值D.当d>0时,S10是Sn的最小值9.(多选题)[2023·武汉武昌区质检]已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 ()A.若数列{an}为等差数列,则a1+a3+a8=2a6恒成立B.若数列{an}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6,…为等差数列C.若数列{an}为等比数列,且a3=7,S3=21,则a4=-7D.若数列{an}为等比数列,则S3,S6-S3,S9-S6,…为等比数列10.若数列{an}是等比数列,且2a2是4a1与a3的等差中项,则a2+a11.88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列.若中音A(左起第49个键)的频率为440Hz,钢琴上最低音的频率为27.5Hz,则左起第61个键的音的频率为Hz.

12.已知数列{an}满足a1=23,且2an+1-an+1an=1,n∈N*(1)证明数列11-an是等差数列,并求数列{a(2)记Tn=a1a2a3…an,n∈N*,Sn=T12+T22+…+Tn2,证明:能力提升13.已知等差数列{an}满足a3=20,a1+a7=56.(1)求数列{an}的通项公式.(2)记bn=Sn4(n+1),其中Sn为数列{an}的前n项和.设[x]表示不超过x的最大整数,求使[b1]+[b2]+[b3]+…+[bn]14.[2023·湖南郴州质检]“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,掌握好这两个概念,对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额,把它扣除利息后,折合成现时的值,而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如,在复利计息的情况下,设本金为A万元,每期利率为r,期数为n,到期后的本利和为S万元,则S=A(1+r)n,其中,S称为n期后的终值,A称为n期后终值S的现值,即n期后的S的现值为A=S(现有如下问题:小明想买一座公寓有如下两个方案,方案一:一次性付全款25万元;方案二:分期付款,每年年初付款3万元,第十年年初付完;(1)已知一年期存款的年利率为2.5%,试讨论两种方案哪一种更好?(2)若小明把公寓租出去,租客第一年年初需交租金2万元,此后每年年初涨租金1000元,参照(1)中的存款年利率2.5%,预计第10年租金收到后小明所获得的全部租金的终值(精确到百元).参考数据:(1+2.5%)10≈1.28.

限时集训(六)微专题6递推数列与数列求和[时间:45min]基础过关1.已知斐波那契数列{an}满足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,若a1+a3+a5+a7+a9+…+a2023=ak,则k= ()A.2025 B.2026C.2028 D.20242.数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2,则anA.n+12 BC.2nn+1 3.已知Sn为数列{an}的前n项和,若an+1=2an-2,S2=10,则{an}的通项公式为 ()A.an=2n+2 B.an=3n-4C.an=n2+n D.an=3n2-14.[2023·广东潮州三模]已知数列{an},{bn},其中a1=1,且an,an+1是关于x的方程x2-bnx+2n=0的两个实数根,则b10等于 ()A.24 B.32C.48 D.645.斐波那契数列{Fn}由意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现,又称为“兔子数列”,该数列满足F1=F2=1,且Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N*).卢卡斯数列{Ln}是以数学家卢卡斯命名的,与斐波那契数列联系紧密,即L1=1,且Ln+1=Fn+Fn+2(n∈N*),则F2023= ()A.13L2022+16L2024 B.13L2022+C.15L2022+15L2024 D.-15L2022+6.(多选题)[2023·山东威海二模]已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn.设λ与k是常数,若对任意n∈N*,均有Sn+11k-S1kn=λan+11k成立,则称此数列为“λ-k”数列.若数列{an}是“22-2A.Sn=9n-1B.{an}为等比数列C.{Sn-an}的前n项和为9D.Sn7.(多选题)已知数列{an}满足a3=28,an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=log2(a2n+2·a2n-1)-log2(a2n·a2n+1),则下列说法正确的是A.a4aB.a1·a2=16C.数列a2D.满足不等式Sn-5>0的正整数n的最小值为638.[2023·邯郸三模]已知数列{an}满足对任意n≥2,均有an+1=an-an-1+n.若a1=a2=2,则a2023=.

9.[2023·广东深圳三模]设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3且2an=Sn·Sn-1(n≥2),则{an}的通项公式为.

10.[2023·安徽五校联考]“完美数”是一类特殊的自然数,它的所有真因数(除自身之外的正因数)的和恰好等于它本身,寻找“完美数”用到函数σ(n):n∈N*,σ(n)为n的所有真因数之和,如σ(28)=1+2+4+7+14=28,则28是一个“完美数”,则再写出一个“完美数”为;σ(2160)=.

11.[2023·山西运城三模]已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3n-2n-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=2·3nan+1an+2,求数列{能力提升12.在数列{an}中,a1=1,an+1=1+1nan+n+12n,设(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.13.[2023·郴州模拟]已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2a3a4=64,数列{bn}满足b1=1,b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1-1(n∈N(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=an+(-1)n(2bn+1),求数列{cn}的前2n项和T2n.

限时集训(七)微专题7数列中的双数列问题[时间:45min]基础过关1.已知等差数列{an}满足a3=10,a5-2a2=6.(1)求an;(2)若数列{bn}满足bn=2n-1,n为奇数,12an-1,n为偶数2.[2023·安徽芜湖质检]已知等差数列{an},等比数列{bn},且a1=1,abn=2n+1-(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)将数列{an}和{bn}中的项合并,按从小到大的顺序重新排列构成新数列{cn},求{cn}的前100项和.3.已知数列{an},{bn}的各项均为正数,满足1an-bn=bn(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)用[x]表示不超过x的最大整数,求数列{[an+an+1]·2bn}的前n项和S4.[2023·镇江三模]已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2(an-1).等差数列{bn}满足b4=a2,b8=a3.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)已知(在①②中任选一个条件),将数列{an}的第m项am取出,并按原顺序构成一个新的数列{cn},求{cn}的前20项和T20.

①log4am=bk,②am=3bk+1,其中k∈N*.能力提升5.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+2+3Sn=4Sn+1-2an,a1=1,a2=3.(1)证明:数列{an+1-2an}是等差数列;(2)记(an+1)bn=n+2n2+n,Tn为数列{bn}的前n项和6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1-2.数列{bn}的前n项和为Tn,且满足b1=1,b2=2,TnTn(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)是否存在正整数n,使得an+bn+1an-bn+1恰为数列{bn}中的一项

提能特训(二)高分提能二数列与其他知识的交汇问题[时间:45min]基础过关1.若数列{an}满足a1=2,1an-1an+1-1anan+1=1,则a2023=A.2 B.-12 C.-3 D.2.[2023·湖南雅礼中学一模]斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,它的画法是:以斐波那契数列1,1,2,3,5,8,…的各项的比例为边长比例的正方形拼成矩形,然后在每个正方形中画一段圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图,矩形ABCD是由若干符合上述特点的正方形拼接而成的,其中AB=16,则图中的斐波那契螺旋线的长度为 ()A.11π B.12πC.15π D.16π3.记Tn为数列{an}的前n项积,已知1Tn+1an=1,则T10=A.8 B.9 C.10 D.114.已知数列{an}满足an=cos2nπ3-sin2nπ3,记bn=(3n-1)an,n∈N*,则数列{bn}的前60项和是A.130 B.-845C.90 D.-8605.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知(a2-1)3+2025(a2-1)=1,(a2024-1)3+2025(a2024-1)=-1,则下列结论中正确的是()A.S2025=2025,a2024<a2B.S2025=2025,a2024>a2C.S2025=2026,a2024<a2D.S2025=2026,a2024>a26.[2023·北京西城区二模]已知数轴上两点O,P的坐标为O(0),P(70),现O,P两点在数轴上同时相向运动.点O的运动规律为第一秒运动2个单位长度,以后每秒比前一秒多运动1个单位长度;点P的运动规律为每秒运动5个单位长度.则点O,P相遇时在数轴上的坐标为 ()A.(40) B.(35)C.(30) D.(20)7.设n∈N*,函数f1(x)=xex,f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),曲线y=fn(x)的最低点为Pn,△PnPn+1Pn+2的面积为Sn,则 ()A.{Sn}是递增数列B.{Sn}是递减数列C.{S2n-1}是递增数列D.{Sn}是摆动数列8.(多选题)[2023·常德一模]如图,有一列曲线Ω1,Ω2,…,Ωn,…,且Ω1是边长为1的等边三角形,Ωi+1是对Ωi(i=1,2,…)进行如下操作得到的:将曲线Ωi的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉,得到Ωi+1.记曲线Ωn(n=1,2,…)的边数为Ln,周长为Cn,围成的面积为Sn,则下列说法正确的是 ()A.数列{Ln}是首项为3,公比为4的等比数列B.数列{Cn}是首项为3,公比为43C.数列{Sn}是首项为34,公比为4D.当n无限增大时,Sn趋近于定值29.