05 模块五　解析几何 【正文】听课手册

微专题16直线与圆微点1圆的方程例1(1)已知圆C的圆心为(1,0),且圆C与直线y=2相切,则圆C的方程是 ()A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4C.(x-1)2+y2=2 D.(x+1)2+y2=2(2)曲线y=x2-4x+1与坐标轴交于A,B,C三点,则过A,B,C三点的圆的方程为.

[听课笔记]

自测题已知CD为圆A:(x+1)2+(y+1)2=4的一条弦,且以CD为直径的圆始终经过原点O,则CD的中点B的轨迹方程为 ()A.x2+y2=1 B.x2+y2+x+y-1=0C.x2+y2+x-1=0 D.x2+y2+x+y=0微点2直线与圆的综合问题例2(1)(多选题)[2023·杭州二模]若直线y=kx+1与圆C:(x-2)2+y2=9相交于A,B两点,则|AB|的值可能为 ()A.2 B.3C.4 D.5(2)[2023·扬州三模]圆O(O为坐标原点)与直线l:x+y=2相切,与直线l垂直的直线m与圆O交于不同的两点P,Q,若OP·OQ<0,则直线m的纵截距的取值范围是.

[听课笔记]

自测题1.(多选题)[2023·武汉模拟]已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=x+1,则 ()A.直线l在y轴上的截距为1B.直线l的倾斜角为πC.直线l与圆C有2个交点D.圆C上的点到直线l的最大距离为22.已知直线l:y=kx-k+2和圆M:x2+y2-2x=0满足对直线l上任意一点P,在圆M上存在点Q,使得PQ·MQ=0,则实数k的取值范围是 ()A.k≥3 B.-3≤k≤3C.k≥23 D.-23≤k≤233.[2023·葫芦岛一模]设P为直线3x+4y+3=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为.

微点3圆与圆的综合问题例3(1)(多选题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆M:(x-6)2+y2=4,P,Q分别为圆O和圆M上的动点,则下列说法正确的是 ()A.过点(4,2)作圆M的切线有且只有一条B.若圆O和圆M恰有3条公切线,则r=4C.若|PQ|的最小值为1,则r=3D.若r=2,则直线PQ的斜率的最大值为2(2)[2022·新高考全国Ⅰ卷]写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程.

[听课笔记]

自测题1.[2023·石家庄一模]“a≥22”是“圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的 (A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.[2023·哈尔滨三中四模]已知A,B是圆O:x2+y2=1上不同的两点,过点A,B分别作圆O的切线,两条切线交于点P,若点P在直线y=2x-4上,则直线AB过定点 ()A.12,0 C.14,-12 【规律提炼】在处理与圆相关的问题时,一般需要注意以下几点:1.优先考虑几何方法处理圆相关问题;2.建立直线与圆相交、相切等常见几何向代数转换模型;3.在求解参数的取值范围时,需要注意从已知条件中挖掘隐圆,通过位置关系确定不等关系.1.[2022·北京卷]若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= ()A.12 B.-12 C.1 D2.[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα= ()A.1 B.15C.104 D.3.[2023·全国乙卷]已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=2,则PA·PD的最大值为 ()A.1+22 BC.1+2 D.2+24.(多选题)[2021·新高考全国Ⅰ卷]已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=32D.当∠PBA最大时,|PB|=325.[2023·新课标Ⅱ卷]已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为85”的m的一个值6.[2022·新高考全国Ⅱ卷]设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为.

类型一由圆的定义确定隐形圆1[2022·全国甲卷]设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为.

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自测题[2023·云南师大附中模拟]已知A,B为圆O:x2+y2=4上的两个动点,|AB|=23,M是AB的中点,则点M的轨迹方程是,若点P为直线x+y-42=0上一动点,则PA·PB的最小值为.

类型二直径所对圆2[2023·武汉武昌区5月模拟]已知点A(-2,0),B(0,2),动点M满足AM·MB=0,则点M到直线y=x+2的距离可以是.(写出一个符合题意的整数值)

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自测题设m∈R,直线l1:x+my=0与直线l2:mx-y-2m-4=0交于点P(x0,y0),则x02+y02+2x类型三到两定点距离之比为定值3在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3),动点M满足|MA|=2|MO|,则点M的轨迹方程是,半径为1的圆C的圆心C在直线3x-y-4=0上,若圆C与点M的轨迹有公共点,则圆心C的横坐标的取值范围是.

[听课笔记]

自测题[2023·安徽皖北协作体3月模拟]平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆,后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足|PA|=2|PB|,若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称,则2m+3n-15的最小值是 ()A.10+25B.10+215C.-5+210D.-7+215类型四向量隐圆4已知O为坐标原点,向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(2cosα,2sinα),则OA与OB夹角的取值范围为.

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自测题已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,且c2-2a·c+3=0,则|b+c|的最小值为 ()A.3-1 B.1C.3 D.23-1

微专题17圆锥曲线的标准方程与性质微点1圆锥曲线的标准方程与简单性质例1(1)[2023·武汉模拟]已知抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|= ()A.3 B.6 C.9 D.12(2)[2023·青岛三模]已知椭圆C的长轴长为4,它的一个焦点与抛物线y=14x2的焦点重合,则椭圆C的标准方程为[听课笔记]

【规律提炼】求圆锥曲线的标准方程,一般设出圆锥曲线的标准方程,再根据题目的已知条件列出关于参数的方程或方程组,解出参数即可.自测题1.[2023·全国甲卷]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则A.55 B.C.355 D2.(多选题)[2023·运城三模]已知点P(m,n)是椭圆x23+y22=1上的动点,点Q(a,0)(a>0且a≠3),则当|PQ|最小时,m的值可能是A.-1 B.3C.a D.3a3.[2023·漳州二模]已知P为抛物线C:y2=4x上的一个动点,直线l:x=-1,Q为圆M:(x+3)2+(y-3)2=1上的动点,则点P到直线l的距离与|PQ|之和的最小值为.

微点2求离心率的值或范围例2(1)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,若椭圆的焦点在正方形的内部A.0,5-12 C.0,3-12 (2)[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B[听课笔记]

自测题1.[2023·广州二模]已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),过点(-a,0)且一个方向向量为n=(1,-1)的一束光线经直线y=-b反射后过M的右焦点,则A.35 B.C.34 D.2.[2023·人大附中三模]已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作C的两条渐近线的平行线,与渐近线交于M,N两点.若cos∠MF1N=513,A.2 B.852 C.5 D.3.[2023·武昌模拟]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆和此椭圆在第一象限和第三象限内的公共点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为S,周长为l,若S微点3直线与圆锥曲线的位置关系例3(1)[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍,则m= (A.23 B.23 C.-23 (2)[2023·华师大一附中模拟]已知直线l:y=-1,抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,点B关于y轴对称的点为P.若过点A,B的圆与直线l相切,且与直线PB交于点Q(异于B),则当QB=2PQ时,直线AB的斜率为.

[听课笔记]

自测题1.已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且AF=tFB(t>1),|AB|=163,则t= ()A.2 B.3 C.4 D.52.(多选题)[2023·苏锡常镇二调]在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:kx-y-k=0,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>A.l恒过点(1,0)B.若l恒过C的焦点,则a2+b2=1C.若对任意实数k,l与C总有两个互异公共点,则a≥1D.若a<1,则一定存在实数k,使得l与C有且只有一个公共点3.[2023·唐山二模]已知直线l:3x-y-23=0过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与C的一条渐近线平行【规律提炼】1.圆锥曲线的离心率主要包括离心率、取值范围、对称性、特殊点线关系等,是高考必考的内容.2.圆锥曲线的性质考查常常与圆锥曲线的定义、直线与圆锥曲线的位置关系等结合.微点4圆锥曲线与平面几何的综合问题例4(1)[2021·新高考全国Ⅰ卷]已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.

(2)已知F1,F2分别是双曲线C:x23-y29=1的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,△AF1F2和△BF1F2的内心分别为M,N,则[听课笔记]

自测题椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有公共焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,点P为两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,则1e12+3e22=,I为△F1PF2的内心,F1,I,G三点共线,且GP·IP=0,x轴上的点A,【规律提炼】解析几何问题的本质是以代数的方式来描述几何的性质,即几何性质代数化.解决此类综合问题,需要先对几何条件进行深挖,结合三角形内心、角平分线、射影定理或圆的相关性质解决有关问题.1.[2022·全国乙卷]设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|= ()A.2 B.22 C.3 D.322.[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=3e1,则A.233 B.2 C.3 D3.[2022·全国甲卷]椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,A.32 B.22 C.12 4.(多选题)[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ()A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|25.[2023·全国甲卷]设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=35,则A.135 B.302 C.145 6.[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=

从近几年圆锥曲线的命题风格看,既注重知识又注重能力,突出圆锥曲线的本质特征,圆锥曲线的光学性质暗含了几何图形对称性这一重要几何性质,而切线、过中心和过焦点的弦的问题又是考查圆锥曲线定义和直线与圆锥曲线位置关系的常选角度,因此,熟练掌握圆锥曲线的光学性质并有意识地应用其解题至关重要.一、椭圆、双曲线的光学性质1.在椭圆中,从焦点F1发出的光线,经椭圆反射,反射光线必过另一焦点F2,如图①,过A作椭圆的切线,及切线的垂线,则有∠F1AB=∠F2AB,∠F1AD=∠F2AE,椭圆的光学特性常被用来设计一些照明设备或聚热装置,如聚光灯泡的反射面是椭圆面,灯丝在一个焦点上,影片门在另一个焦点上.2.在双曲线中,从焦点F1发出的光线,经双曲线反射,反射光线的反向延长线必过另一焦点F2,如图②,过A作双曲线的切线,及切线的垂线,则有∠F1AB=∠GAB,∠F1AD=∠GAE. 二、抛物线的光学性质如图③,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列与抛物线对称轴平行的光线;如图④,设抛物线在P处的切线l交抛物线的对称轴于点Q,PM⊥l,交对称轴于点M,则焦点F是QM的中点. ③ ④定理:从抛物线的焦点发出的光线,经抛物线反射,反射光线与抛物线的对称轴平行;反之,平行于抛物线的对称轴的光线射到抛物线上,经抛物线反射,反射光线所在直线过抛物线的焦点.1(多选题)[2023·潍坊一模]双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,在双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线所得到的角.已知F1,F2分别为双曲线C:x23-y2=1的左、右焦点,过C右支上一点A(x0,y0)(x0>3)作直线l交x轴于点M3x0,0,交y轴于点N,则下列说法正确的是A.C的渐近线方程为y=±33B.点N的坐标为0C.过点F1作F1H⊥AM,垂足为H,则|OH|=3(O为坐标原点)D.四边形AF1NF2面积的最小值为42历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯,大约100年后,阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质.椭圆有如下光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的中心在坐标原点,F1,F2分别为其左、右焦点,直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限内),过点P且与切线l垂直的法线l'与x轴交于点Q,若直线PF2的斜率为-2,|PQ|=|QF2|,则椭圆C的离心率为.

3根据抛物线的光学性质,从抛物线的焦点发出的光线,经抛物线反射,反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线y2=2x,若从点Q(3,2)发出平行于x轴的光线射向抛物线上的A点,经抛物线反射,反射光线交抛物线于B点(异于A),则|AB|=.

自测题1.若双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,如图,从F2发出的光线经过双曲线上的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=-35,AB⊥BD,A.52 B.C.102 D.2.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经椭圆反射,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为x2+4y2=4,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C相切于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=.

3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(x0,2)(点P在抛物线C内)射入,经过C上的点A反射,再经过C上另一点B反射后,沿射线BQ射出.若直线OA与抛物线C的准线l交于点D,则直线BD的斜率为,若|PA|=2|BD|,且PB平分∠ABQ,则p=.

微专题18圆锥曲线热点问题(一)定量计算类微点1定点定值问题例1[2023·全国乙卷]已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是53,点A(1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.例2[2023·保定一模]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,B2,四边形A1B1A2B2的面积为43,坐标原点O到直线A(1)求椭圆C的方程.(2)直线l与椭圆C相交于A,B两点,点P为椭圆C上异于A,B的一点,若四边形OAPB为平行四边形,则平行四边形OAPB的面积是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.自测题[2023·济南二模]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为(1)求E的方程;(2)记E的右顶点和上顶点分别为A,B,点P在线段AB上运动,垂直于x轴的直线PQ交E于点M(点M在第一象限),P为线段QM的中点,设直线AQ与E的另一个交点为N,证明:直线MN过定点.微点2直线斜率之和与之积问题例3[2023·华师大一附中5月模拟]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点P1(-2,1),P2(0,2),P3(2,1),P(1)求椭圆C的方程.(2)椭圆C上是否存在异于P2的两点M,N,使得直线P2M与P2N的斜率之和与直线MN的斜率(不为零)的2倍互为相反数?若存在,判断直线MN是否过定点;若不存在,请说明理由.【规律提炼】直线斜率之和与之积问题一般以两种形式出现:(1)直接出现,题目中出现斜率二字;(2)题目中不出现斜率二字,但有需要用斜率刻画的几何条件,如垂直、共线、角平分线等.自测题[2023·泉州三模]已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B,直线l与C相切,且与圆O:x2+y2=4交于M,N两点,M(1)若|MN|=455,求l(2)记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.微点3最值范围问题例4[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离,记动点(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于33.自测题已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,准线与x轴的交点为K,点P是抛物线C上的动点.当点P的横坐标为8时,△PFK的面积为42.(1)求抛物线C的方程;(2)设A,B是抛物线C的准线上两个不同的点,点P的横坐标大于1,坐标原点O到△PAB的边PA,PB的距离都为1,求△PAB周长的最小值.1.[2020·全国卷Ⅰ]已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与(1)求椭圆E的方程;(2)证明:直线CD过定点.2.[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.

微专题19圆锥曲线热点问题(二)位置关系类微点1对称问题例1设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D,若△APD的面积为62,求直线AP的方程自测题[2023·重庆三诊]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A,B,左顶点为D,(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C外一点M(m,0)的直线交椭圆C于P,Q两点,已知点P与点P'关于x轴对称,点Q与点Q'关于x轴对称,直线PQ'与P'Q交于点K,若∠AKB是钝角,求m的取值范围.微点2双切线问题例2[2023·杭州四校5月模拟]已知椭圆C:x216+y24=1,P(x0,y0)是椭圆外一点,过P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,设O为坐标原点,直线MN与直线OP交于点Q,A是直线OP(1)若点P不在坐标轴上,求直线OP与直线MN的斜率之积;(2)求△AMN面积的最大值.【规律提炼】对于椭圆、双曲线以及抛物线的双切线问题,一般由切点A(x1,y1),B(x2,y2)引入,先得到切点弦AB所在直线的方程,再结合两切线交点P(x0,y0)做后续的转换,即可解决切点弦所在直线方程、切点弦过定点以及点P的轨迹方程等问题.自测题已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的正半轴上,圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l:mx+y-4=0与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面积的最小值.微点3共线比例与线段比问题例3[2023·锦州二模]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233,左、右焦点分别为F1,F2,点P的坐标为