13 微专题11　立体几何中的动点、截面与折叠展开问题 【正文】教师

微专题11立体几何中的动点、截面与折叠展开问题[备选理由]例1考查旋转体中的动点问题;例2考查球内接正六棱柱中截面问题,考查利用导数求最值;例3考查三棱柱中动点问题,考查位置关系、展开问题及最值问题.1[配例1使用](多选题)如图所示,圆锥PO中,AB为底面圆的直径,圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形,C为母线PA的中点,点M为底面上的动点,且OM⊥AM,点O在直线PM上的射影为H.当点M运动时,下列结论正确的是 (BCD)A.三棱锥P-BCM体积的最大值为4B.线段PB的长度是线段CM长度的两倍C.直线CH一定与直线PA垂直D.点H的轨迹是以OC中点为圆心,OC为直径的圆(除去点O,C)[解析]设圆锥的底面半径为R,高为h,母线长为l,∵圆锥的轴截面为面积等于4的等腰直角三角形,∴∠APB=π2,△PAB的面积S=12PA·PB=12l2=4,且PO=OA,PO⊥AB,可得l=22,R=h=2.对于A,如图,∵OM⊥AM,∴点M在以OA中点为圆心,OA为直径的圆上且与点O,∵OA=R=2,∴点M到平面ABC的距离的最大值为12OA=1,∵S△PBC=12S△PAB=12×4=2,三棱锥P-BCM的体积即为三棱锥M-PBC的体积,∴三棱锥P-BCM体积的最大值为13×2×1=23,故A错误;对于B,∵PO⊥平面AMB,AM⊂平面AMB,∴AM⊥PO,∵AM⊥OM,且OM∩PO=O,∴AM⊥平面POM,∴AM⊥PM,又C为PA的中点,∴在直角三角形AMP中,线段CM的长度是线段PA长度的一半,即为线段PB的长度的一半,故B正确;对于C,∵AM⊥平面POM,且OH⊂平面POM,∴AM⊥OH,∵OH⊥PM,且PM∩AM=M,∴OH⊥平面PAM,∵PA⊂平面PAM,∴OH⊥PA,∵C为PA的中点,PO=OA,∴PA⊥OC,∵OH∩OC=O,∴PA⊥平面OHC,又CH⊂平面OHC,∴PA⊥CH,故C正确;对于D,∵OH⊥平面PAM,且HC⊂平面PAM,∴OH⊥HC,∵PA⊥平面OHC,过点C且与PA垂直的平面仅有一个,点M与点O,A不重合,∴点H的轨迹是以OC中点为圆心,OC为直径的圆(除去点O,C),故D2[配例2使用][2023·湖南长沙实验中学二模]2023年12月7日为该年第21个节气“大雪”.“大雪”节气标志着仲冬时节正式开始,该节气的特点是气温显著下降,降水量增多,天气变得更加寒冷.“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等.东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球,准备对它进行切割,制作一个正六棱柱模型ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,设M为B1E1的中点,当削去的雪最少时,平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为43平方分米.

[解析]设正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为a,高为h.要使削去的雪最少,则该正六棱柱的体积最大,则该正六棱柱应为球的内接正六棱柱中体积最大者,所以h24+a2=22,即a2=4-h24,又S六边形ABCDEF=6×34a2,所以该正六棱柱的体积V=S六边形ABCDEF·h=6×34a2h=338(16-h2)h.设f(h)=(16-h2)h,0<h<4,则f'(h)=16-3h2,令f'(h)>0,解得0<h<433,令f'(h)<0,解得433<h<4,则f(h)在0,433上单调递增,在433,4上单调递减,所以f(h)max=f433,则当h=433,a=263时V取得最大值.连接A1C1,过M作PQ∥A1C1,交A1F1于点P,交C1D1于点Q,则P,Q分别是A1F1,C1D1的中点,又A1C1∥AC,所以PQ∥AC.连接AP,CQ,易证AP∥CQ,所以四边形ACQP为平行四边形.易知AC⊥平面AA1F1因为PQ=A1C1=3a=22,且AP=AA12+A1P2=h2+14a2=3[配例1使用](多选题)[2023·福建福州一中模拟]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=2,BC=1,∠ABC=90°,E是棱BB1上的一个动点,则 (ACD)A.直线AC与直线C1E是异面直线B.△AC1E周长的最小值为3+22C.存在点E使得平面AC1E⊥平面AA1C1CD.点C到平面AC1E的最大距离为2[解析]对于选项A,不管E点移动到BB1上的哪个位置,直线AC与直线C1E均不相交,也不平行,所以A正确;对于选项B,△AC1E的周长为AC1+AE+EC1,要使周长最小,即AE+EC1最小,将面AA1B1B沿BB1翻折到面BB1C1C所在平面,且C1不在线段A1B1上,连接AC1,如图①,则AE+EC1的最小值即为翻折后AC1的长,所以(AE+EC1)min=32+22=13,又翻折前AC1=AA12+A1B12+B1C12=3,所以(AC1+AE+EC1)min=3+13,所以B错误;对于选项C,以B为原点,BA,BB1,BC的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,设BE=a(0≤a≤2),则E(0,a,0),A(2,0,0),C(0,0,1),C1(0,2,1),所以AE=(-2,a,0),AC=(-2,0,1),AC1=(-2,2,1),设平面AA1C1C的法向量为n=(x1,y1,z1),则n·AC=0,n·AC1=0,即-2x1+z1=0,-2x1+2y1+z1=0,令x1=1,则n=(1,0,2),设平面AC1E的法向量为m=(x2,y2,z2),则m·AC1=0,m·AE=0,即-2x2+2y2+z2=0,-2x2+ay2=0,令x2=a,则m=(a,2,2a-4),