18 高分提能三　概率、变量分布与其他知识的综合问题 【正文】教师

高分提能三概率、变量分布与其他知识的综合问题[备选理由]例1考查二项分布的分布列及期望,考查与数列结合的概率问题;例2考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的期望及与函数相关的概率问题.1[配例1使用][2023·辽宁铁岭六校联考]第22届世界杯于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔举办.在决赛中,阿根廷队通过点球大战战胜法国队获得冠军.(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球,每次扑球结果相互独立.不考虑其他因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传给另外两人中的一人,接球者接到球后再等可能地随机传给另外两人中的一人,如此不停地传下去,假设传出的球都能被接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,易知p1=1,p2=0.①证明:pn-②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较p10与q10的大小.解:(1)方法一:X的所有可能取值为0,1,2,3,在一次扑球中,扑到点球的概率为p=13×13=所以P(X=0)=C30×893=512729,P(X=1)=C31×1P(X=2)=C32×192×89=24729=8243,P(X=3)所以X的分布列为X0123P5126481E(X)=64243×1+8243×2+1729×3方法二:依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为p=13×13=X的所有可能取值为0,1,2,3,易知X~B3,所以P(X=k)=C3k×19k×893X0123P5126481所以X的期望E(X)=3×19=1(2)①证明:第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,则当n≥2时,第n-1次传球之前球在甲脚下的概率为pn-1,第n-1次传球之前球不在甲脚下的概率为1-pn-1,则pn=pn-1×0+(1-pn-1)×12=-12pn-1+12(即pn-13=-12pn-1-13(n≥所以pn-13是以23为首项②由①可知pn=23-12n-1+13,所以p10=又q10=12(1-p10)=12×23-23×-12[配例2使用][2023·浙江金丽衢十二校联考]某工厂生产一种大件产品的日产量为2,每件产品质量为一等的概率为0.5,二等的概率为0.4,三等的概率为0.1,且生产的两件产品的质量相互独立.已知生产一件不同等级的产品的利润如下表:等级一等二等三等利润(万元)0.80.6-0.3(1)求生产的两件产品中至少有一件一等品的概率.(2)求该工厂每天所获利润Y(单位:万元)的数学期望.(3)若该工厂要增加日产能,需引进设备及更新技术,但增加n件产能,其成本也将相应增加(n-lnn)万元,假如你作为工厂的决策者,你觉得该厂目前该不该增产?并说明理由.(ln2≈0.69,ln3≈1.1)解:(1)设“一件产品是一等品”为事件A,则“一件产品不是一等品”为事件A,P(A)=0.5,P(A)=0.5,所以生产的两件产品中至少有一件一等品的概率P=P(A)P(A)+C21P(A)P(A)=0.52+2×0.5×0.5=0.75.(2)设“一件产品为一等品”为事件A,“一件产品为二等品”为事件B,“一件产品为三等品”为事件C,则P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(C)=0.1.Y的所有可能取值为1.6,1.4,1.2,0.5,0.3,-0.6,P(Y=-0.6)=[P(C)]2=0.01,P(Y=0.3)=C21P(B)P(C)=2×0.4×0.1=0P(Y=0.5)=C21P(A)P(C)=2×0.5×0.1=0.1,P(Y=1.2)=[P(B)]2=0P(Y=1.4)=C21P(A)P(B)=2×0.5×0.4=0.4,P(Y=1.6)=[P(A)]2=0所以Y的分布列为Y-0.60.30.51.21.41.6P0.010.080.10.160.40.25数学期望E(Y)=-0.6×0.01+0.3×0.08+0.5×0.1+1.2×0.16+1.4×0.4+1.6×0.25=1.22(万元).(3)由(2)可知,增产前,每件产品的平均利润为1.22÷2=0.61(万元),则每日产能增加n件时,利润增加0.61n万元,成本也相应增加(n-lnn)万元,所以净利润的变化量为0.61n-n+lnn=lnn-0.39n(n∈N*).设f(x)=lnx-0.39x,则f'(x)=1x-0.39,当x<10039时,f'(x)>0,f(x)当x>10039时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=10039处取得极大值,即最大值,又2<10039<3,n∈N*,所以f(n)max=max{f(2),f(3)},因为f(2)=ln2-0.39×2≈0.69