23 微专题20　函数的图象与性质的应用 【正文】教师

微专题20函数的图象与性质的应用[备选理由]例1考查函数解析式与图象的对应关系,解题时需要先求出函数的解析式,考查学生的数学运算素养;例2考查函数的周期性与对称性,考查学生的运算求解能力;例3考查抽象函数赋值法,函数的奇偶性和周期性,考查学生的逻辑思维能力;例4考查函数的奇偶性、对称性及周期性,考查学生的运算求解能力.1[配例1使用]如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则f(x)在[0,π]上的图象为 (B) A B C D[解析]如图,过M作MD⊥OP于D,则由题意可得PM=|sinx|,OM=|cosx|.在Rt△OMP中,S△OMP=12MD·OP=12OM·PM,所以MD=OM·PMOP=|cosx|·|sinx|1=|cosxsinx|=12|sin2x|,所以f(x)=12|sin2x|2[配例3使用](多选题)[2023·恩施模拟]已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其导函数分别为f'(x),g'(x).若f(3-x)+2=g(x),f'(x)=g'(x+1),且g(2-x)+g(x)=0,则 (ACD)A.函数y=g(x+2)为偶函数B.函数f(x)的图象关于点(2,2)对称C.∑i=12024g(nD.∑i=12024f(n[解析]因为f'(x)=g'(x+1),所以f(x)+a=g(x+1)+b(a,b∈R).因为f(3-x)+2=g(x),所以f(x)+2=g(3-x),于是可得g(3-x)-2+a=g(x+1)+b,令x=1,则g(3-1)-2+a=g(1+1)+b,所以a-2=b,所以g(3-x)=g(x+1),所以函数g(x)的图象关于直线x=2对称,即g(-x)=g(x+4).因为g(2-x)+g(x)=0,所以函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,即g(2+x)+g(-x)=0,所以g(x+2)=-g(x+4),即g(x)=-g(x+2),于是g(x)=g(x+4),所以函数g(x)是周期为4的周期函数.因为函数g(x)的图象关于直线x=2对称,所以y=g(x+2)的图象关于y轴对称,所以y=g(x+2)为偶函数,故A正确.将g(x)的图象作关于y轴对称的图象可得到y=g(-x)的图象,再将所得图象向右平移3个单位长度,可得到y=g[-(x-3)]=g(3-x)的图象,再将所得图象向下平移2个单位长度,可得到g(3-x)-2=f(x)的图象,因此函数f(x)也是周期为4的周期函数,又g(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)的图象关于点(2,-2)对称,故B错误.因为g(2-x)+g(x)=0,所以令x=1,得g(1)+g(1)=0,即g(1)=0,所以g(1)=g(3)=0;令x=0,得g(2)+g(0)=0,所以g(2)+g(4)=0,所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0,所以∑i=12024g(n)=0,故C正确.因为f(x)=g(3-x)-2,所以f(0)=g(3)-2=-2,f(2)=g(1)-2=-2,f(1)=g(2)-2,f(3)=g(0)-2,f(4)=f(0)=-2,则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=g(2)-2+(-2)+g(0)-2+(-2)=-8,所以∑i=12024f(n)=-4048,故3[配例3使用](多选题)[2023·福建莆田二模]已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,f(1)=3,y=f2x+32为偶函数,则 (A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数C.f(3+x)=-f(3-x) D.∑k=12023f(k[解析]对于A,因为f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,所以令x=y=0,则f(0)f(0)=[f(0)]2-[f(0)]2,可得f(0)=0,故A正确.对于B,f(x)的定义域为R,关于原点对称,令x=0,则f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2,又f(y)不恒为0,所以f(-y)=-f(y),所以f(x)为奇函数,故B错误.对于C,因为y=f2x+32为偶函数,所以f-2x+32=f2x+32.令-t=-2x+32,则2x=t+32,故f(-t)=f(t+3);令t=-2x+32,则2x=-t+32,故f(t)=f(-t+3).因为f(x)为奇函数,所以f(-t)=-f(t),所以f(t+3)=-f(-t+3),即f(3+x)=-f(3-x),故C正确.对于D,由选项C可知f(t+3)=f(-t)=-f(t),所以f(t+6)=-f(t+3)=f(t),故f(x)的一个周期为6,因为f(1)=3,所以f(-1)=-f(1)=-3,对于f(t)=f(-t+3),令t=2,得f(2)=f(1)=3,则f(-2)=-3,令t=3,得f(3)=f(0)=0,则f(-3)=0,令t=4,得f(4)=f(-1)=-3,令t=5,得f(5)=f(-2)=-3,令t=6,得f(6)=f(-3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=3+3+0-3-3+0=0,又2023=337×6+1,所以由f(x)的周期性可得∑k=12023f(k)=f(1)+f(2)4[配例3使用](多选题)[2023·东莞模拟]随着时代与科技的发展,信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数,f(x)=∑i=13sin[(2i-1A.函数f(x)的图象关于直线x=π2B.函数f(x)的图象关于点(0,0)对称C.函数f(x)为周期函数,且最小正周期为πD.函数f(x)的导函数f'(x)的最大值为3[解析]函数f(x)=∑i=13sin[(2i-1)x]2i-1=sinx+sin3x3+sin5x5,其定义域为R.对于A,f(π+x)=sin(π+x)+sin(3π+3x)3+sin(5π+5x)5=-sinx-sin3x3-sin5x5=sin(-x)+sin(-3x)3+sin