24 微专题21　基本初等函数与函数模型 【正文】教师

微专题21基本初等函数与函数模型[备选理由]例1考查基本初等函数的图象与性质,考查学生的数学运算素养;例2考查指数函数的图象与性质,考查数形结合思想;例3考查对数函数模型与对数函数的单调性,考查学生的运算求解能力.1[配例1使用]（1）[2023·天津和平区三模]已知a,b,c满足2-a=a+2,b+log2b=-2,c3-c-2=0,则a,b,c的大小关系为 (B)A.b<a<c B.a<b<cC.a<c<b D.c<b<a(2)(多选题)[2023·汕头一模]已知2x=3y=36,则下列说法正确的是 (ABC)A.xy=2(x+y) B.xy>16C.x+y<9 D.x2+y2<32(3)[2023·北京丰台区二模]已知函数f(x)=12-12x+1,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是 (A.f(-x)-f(x)=0B.f'(x)<0C.若0<x1<x2,则x1f(x2)>x2f(x1)D.若0<x1<x2,则f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)[解析](1)b+log2b=-2⇔-log2b=b+2⇔log12b=b+2.由题意知,a为函数y=12x与函数y=x+2的图象的交点的横坐标,b为函数y=log12x与函数y=x+2的图象的交点的横坐标,c为函数y=x3与函数y=x+2的图象交点的横坐标.在同一坐标系中作出函数y=12x,y=log12x由图可知a<b<c.故选B.(2)由2x=3y=36可得x=log236,y=log336.对于A,x+yxy=1y+1x=log363+log362=log366=12,所以xy=2(x+y),故选项A正确;对于B,x=log236=log24+log29=2+log29,因为log28<log29<log216,即3<log29<4,所以x=2+log29∈(5,6),y=log336=log39+log34=2+log34,因为log33<log34<log39,即1<log34<2,所以y=2+log34∈(3,4),所以x+y>8,xy=2(x+y)>16,故选项B正确;对于C,x=log236=2+2log23,y=log336=2+2log32,所以x+y=4+2(log23+log32)=4+2log23+1log23,令log23=t∈(1,2),则x+y=4+2t+1t,因为y=t+1t在(1,2)上单调递增,所以x+y=4+2t+1t<4+2×2+12=9,故选项C正确;对于D,因为x=2+log29∈(5,6),y=2+log34∈(3,4),所以x2>52(3)对于选项A,易知f(x)的定义域为R,∵f(x)=12-12x+1=2x-12(2x+1),∴f(-x)=2-x-12(2-x+1)=1-2x2(1+2x),∴f(-x)=-f(x),故A选项错误;对于选项B,∵f(x)=12-12x+1,∴f'(x)=2xln2(2x+1)2,由ln2>0知f'(x)>0,故B选项错误;对于选项C,f(1)=12-12+1=16,f(2)=12-122+1=310,1×f(2)<2×f(1),故C选项错误;对于选项D,函数f(x)=12-12x+1=2x-12(2x+1),则f(x1)+f(x2)=2x1-12(2x1+1)+2x2-12(2x2+1),f(x1+x2)=2x1+x2-12(2x1+x2+1),∵x2>x1>0,∴2x2>2x1>1,∴2x1(2x2-1)>2x22[配例1使用][2023·福建泉州三模]已知函数f(x)=|ex-1|-ax有两个零点,则实数a的取值范围为(1,+∞)∪(-1,0).

[解析]∵f(x)=|ex-1|-ax有两个零点,∴关于x的方程|ex-1|=ax有两个根,即y=|ex-1|的图象与y=ax的图象有两个交点,作出y=|ex-1|的图象如图所示.由图可知,①当a>0时,设g(x)=ex-1,则g'(x)=ex,若y=|ex-1|的图象与y=ax的图象有两个交点,则a>g'(0)=1;②当a=0时,y=|ex-1|的图象与y=ax的图象只有一个交点;③当a<0时,设h(x)=1-ex,则h'(x)=-ex,若y=|ex-1|的图象与y=ax的图象有两个交点,则a>h'(0)=-1.综上可得,实数a的取值范围为(1,+∞)∪(-1,0).3[配例2使用][2023·河北衡水模拟]李明开发的小程序发布经过t天后,用户人数为A(t)=500ekt,其中k为常数.已知该小程序发布经过10天后的用户人数为2000,则用户人数超过50000至少需要经过的天数为(lg2≈0.3) (D)A.31 B.32C.33 D.34[解析]根据题意得2000=500e10k,即4=e10k,∴lg4=lge10k