第2讲【圆锥曲线】计算技巧系列10讲-不联立不韦达的设点法如何用_第1页
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【圆锥曲线】计算技巧系列10讲——不联立，不韦达的设点法如何用？【知识精讲】1．两点式方程若，是直线上两定点，则过这两点的直线方程为：.为使其更具有一般性，若将其化简为①.①式的特征是右端出现了这两点的交叉轮换式，即二阶行列式，若①式表示过定点的直线，则只需证明恒成立即可.这样的话，在处理斜率问题时的关键就是构造出上述的轮换关系，单纯的斜率定义：不重合的两点，则是难以直接构造的，所以我们需要利用斜率的点差法来构造，下面会在【典例精讲】中通过具体例子说明如何利用点差法构造轮换式2.一般性结论设设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；若，则有，（2）若，则直线过定点，（3）若，则有，（4）若，则直线过定点.【证明】此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明.已知椭圆在第一象限内有一点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于另一点，则有.设，其中.所以依题意得，所以，（关注微信公众号：Hi数学派）从而同理，有两式相减，得所以，证毕.【典例精讲】例1.例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；（2）若，求的面积．【解析】设，由点都在双曲线上，得，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线的斜率之和为，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，从而，即的斜率为.不妨设直线PA,PB的倾斜角为α,βα<β，因为kAP+因为tan∠PAQ=22，所以tanβ−α=2即2tan2α−tanα−于是，直线PA:y=2x−2+1联立y=2x−2+1因为方程有一个根为2，所以xP=10−423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y−53=0点A到直线PQ的距离d=2+1−故△PAQ的面积为12例2.例2.（2020山东卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【解析】由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.（2）设，依题意知，因为，所以，整理得同理得相减可得即直线恒过定点.（关注微信公众号：Hi数学

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