2023年北京西城区高三二模数学试卷【含答案】

2023年北京西城区高三二模数学试卷一、单选题1、复数的虚部为（

）A. B. C. D.2、已知集合，，则（

）A. B. C. D.3、已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（

）A. B. C. D.4、在中，，则（

）A. B. C. D.5、设，，，则（

）A. B. C. D.6、将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为．若，则四面体的体积为（

）A. B. C. D.7、已知数轴上两点的坐标为，现两点在数轴上同时相向运动．点的运动规律为第一秒运动个单位长度，以后每秒比前一秒多运动个单位长度；点的运动规律为每秒运动个单位长度．则点相遇时在数轴上的坐标为（

）A. B. C. D.8、已知函数．则“”是“为偶函数”的（

）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9、某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（

）A. B. C. D.10、在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（

）A. B. C. D.二、填空题11、函数的定义域为

.12、设等比数列的前项和为，，，则

；使成立的的最小值为

．13、在中，若，，，则

．14、已知两点．点满足，则的面积是

；的一个取值为

．15、已知直线和曲线，给出下列四个结论：①存在实数和，使直线和曲线没有交点；②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题16、如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．17、已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．(1)求的值；(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．条件①：；条件②：是的一个零点；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18、体重指数（，简称）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．对成人，若，则身体处于肥胖状态．某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取人，测量他们的体重（单位：）和身高（单位：），得到如下散点图（图中曲线表示时体重和身高的关系），假设用频率估计概率．该企业员工总数为人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，设其中体重在以上的人数为，估计的分布列和数学期望；从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，若其身体处于肥胖状态的概率小于，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）19、已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．20、已知函数．求在区间上的最大值和最小值；若恒成立，求实数的值．给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．当时，设，，写出，并求；当时，对给定的数阵，证明：是的倍数；证明：对给定的数阵，总存在，使得．1、【答案】A;【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可判断其虚部.【详解】，所以复数的虚部为.故选：A2、【答案】D;【解析】【分析】根据指数函数的性质求出集合，再根据并集的定义求解即可.【详解】解：因为，所以.故选：D.3、【答案】D;【解析】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.因此正确答案为：D4、【答案】B;【解析】因为，所以，又因为，所以，因此正确答案为：B．5、【答案】A;【解析】【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.【详解】因为，，又，，所以，且，所以，所以.故选：A6、【答案】A;【解析】【分析】先将正方形折起得到四面体，由，得平面，再求出，的长度，证明，最后把四面体看做两个同底的三棱锥和拼接而成，即可用三棱锥的体积公式求体积.【详解】如图1，连接与相交于点，则.如图2，将正方形沿对角线折起，折起后点记为．因为，，，平面，平面，所以平面，因为正方形边长为，所以,，又因为,所以,所以.所以四面体的体积为．故选：A7、【答案】B;【解析】【分析】根据题意结合等差数列分析可得第秒时，两点的坐标为，列式求解即可.【详解】设点第秒运动个单位长度，前秒运动总长度为，则，所以是以首项为2，公差为1的等差数列，则，可得；设点第秒运动个单位长度，前秒运动总长度为，则；故第秒时，两点的坐标为.由题意可得：，解得或（舍去），即，所以点相遇时在数轴上的坐标为.故选：B.8、【答案】C;【解析】【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项.【详解】当，即则，化简为，即，，当时，，为偶函数，当时，，为偶函数，所以，能推出函数是偶函数反过来，若函数是偶函数，则有，所以“”是“为偶函数”的充分必要条件.故选：C9、【答案】C;【解析】【分析】根据二项式定理即可估算近似值.【详解】由题意可知故选：C10、【答案】B;【解析】【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，因为求跳跃次数的最小值，则只取，设对应的跳跃次数分别为，其中，可得则，两式相加可得，因为，则或，当时，则次数为；当，则次数为；综上所述：次数最小值为10.故选：B.11、【答案】;【解析】解：通过题意，要使函数有意义，则需满足，解得且.所以函数的定义域为：因此正确答案为：12、【答案】;;【解析】由，得：，所以，故，故得：，由于为整数，故的最小值为，故答案为：，13、【答案】/;【解析】由，得，则，则，所以（负值舍去），由，在三角形中易得，因为，所以.因此正确答案为：.14、【答案】/;（答案不唯一）;【解析】由点可知，，所以点在圆，且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，联立，解得：或，则的面积；当时，，，，当时，，，，则其中的一个取值是.因此正确答案为：；（合理即可）15、【答案】①②③;【解析】【分析】根据图象的对称性，求导得切线斜率的最大值，由数形结合，结合选项即可判断.【详解】对于①,由于为偶函数，故图象关于轴对称，且，当或时，此时直线和曲线没有交点；（如下图）故正确①，对于②，，当时，，所以当，故当单调递减，当单调递增，故当时，此时取极大值也是最大值，故某一点处的切线的斜率最大值为，当时，此时直线和曲线恰有个交点；故②正确，对于③，当时，对任意的直线过原点，此时直线与只有一个零点，故③正确，对于④，当直线与曲线上某一点处的切线平行时（斜率小于），且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误.故答案为：①②③【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16、【答案】(1)证明见解析(2);【解析】（1）连接，因为，分别为，的中点，所以．

在三棱柱中，，所以，四点共面．

因为，，、分别为、的中点，所以，，所以四边形为平行四边形．

所以，

因为平面，平面，所以平面．

（2）由题设平面，平面，所以，，因为，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

所以，则，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，于是，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．17、【答案】(1)答案见解析(2);【解析】（1）选条件①：无意义，所以选条件①时不存在，故不能选①，选条件②．由题设，所以．

因为，所以，所以．

所以．

选条件③，由题设．整理得．

以下同选条件②．（2）由（1）因为，所以．

于是，当且仅当，即时，取得最大值；

当且仅当，即时，取得最小值．

又，即时，．且当时，单调递增，所以曲线与直线恰有一个公共点，则或的取值范围是．18、【答案】(1)300(2)分布列见解析，1(3)或;【解析】【分析】（1）求出该企业身体处于肥胖状态的员工得概率，再乘以即可得解；（2）求出从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，其中体重在以上的概率，写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；（3）求出中所有的其身体处于肥胖状态的概率，即可得出结论.【详解】（1）由散点图可知，抽取人中有人身体处于肥胖状态，故该企业身体处于肥胖状态的员工得概率为，则估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为人；（2）因为抽取人中有人身体处于肥胖状态，其中人体重在以上，则从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，其中体重在以上的概率为，由题设，可取，，，，，所以的分布列为：；（3）有散点图可知，从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，综上所述，当或，符合题意.19、【答案】(1)，(2);【解析】（1）由题设

解得

所以椭圆的方程为．

的离心率为．（2）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．

由

得．

设，则，．

由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等．所以四边形的面积为面积的倍．

又，所以．

所以．

设，则．所以．

当且仅当，即时，．所以四边形的面积最大时，．20、【答案】(1)最小值为，最大值为(2);【解析】【分析】（1）先求的导函数，再根据导函数在区间上的正负确定的单调性，从而可求其在给定区间的最大与最小值；（2）设，由已知得，当时，；当时，，从而可得，当时，；当时，，所以，得，再证明当时，恒成立即可．【详解】（1）因为，

所以在区间上单调递增．

所以的最小值为；的最大值为．（2）的定义域为．由（1）知，且在上单调递增，所以当时，；当时，．

设．若恒成立，则当时，；当时，．所以，即，解得．

下面证明：当时，恒成立．此时，，．当时，．所以在上单调递增，．

当时，设．因为，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得．

且当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，且，所以当时，恒成立．综上，．【点睛】关键点睛：本题第一小问考查函数在给定区间的最值，通过对单调性的讨论即可，属于基础题；第二小问主要考查不等式恒成立求参数问题，关键是通过的正负得到的正负，从而确定的值再证明，考查数学运算和逻辑推理等核心素养．21、【