2024年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高考数学一模试卷

2024年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高考数学一模试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合U＝{1，2，4，6，8}，集合M＝{x|x2﹣3x+2＝0}，N＝{x|x＝4a，a∈M}，则∁U（M∪N）＝（）A．{6} B．{4，6，8} C．{1，2，4，8} D．{1，2，4，6，8}2．设复数z满足，则|z|＝（）A．i B． C．1 D．3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．已知向量，若，则m＝（）A． B． C． D．5．函数f（x）的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x﹣2﹣101235f（x）2.31.10.71.12.35.949.1A．f（x）＝ka|x|+b B．f（x）＝kxex+b C．f（x）＝k|x|+b D．f（x）＝k（x﹣1）2+b6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A．A1，A2互斥 B． C． D．7．已知等差数列{an}（公差不为0）和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，如果关于x的实系数方程1003x2﹣S1003x+T1003＝0有实数解，那么以下1003个方程x2﹣aix+bi＝0（i＝1，2，…，1003）中，有实数解的方程至少有（）个．A．499 B．500 C．501 D．5028．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P（x1，y1）是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，|MO|＝，若C上一点T满足＝5，则T到C的两条渐近线距离之和为（）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A．中位数不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．第40百分位数不变（多选）10．已知函数满足：，则（）A．曲线y＝f（x）关于直线对称 B．函数是奇函数 C．函数y＝f（x）在单调递减 D．函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]（多选）11．如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）A．直线AE与PB所成的角为 B．△ABE的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．在二项式的展开式中，常数项为．13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．14．对于任意两个正实数a，b，定义a⊗b＝λ•，其中常数．若u≥v＞0，且u⊗v与v⊗u都是集合的元素，则u⊗v＝．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+a．（1）若x＝1是函数f（x）的极值点，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程．（2）若a＞0，求f（x）在区间[0，2]上最大值．16．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠DAB＝90°，，点M为BD中点．（1）证明：B1M∥平面A1C1D；（2）求二面角B﹣AA1﹣D的正弦值．17．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4.求P1，P2，P3，P4；（3）对于事件A，B，C，当P（AB）＞0时，写出P（A），P（B|A），P（C|AB），P（ABC）的等量关系式，并加以证明．18．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若一条斜率不为0的直线过点（﹣1，0）与椭圆交于M，N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：为定值．19．约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（m≠0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak﹣1，ak（a1＜a2＜…＜ak）．