广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

东莞市石竹实验学校2023-2024学年度第二学期3月月考高一年级数学学科满分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.化简的结果等于（）A. B. C. D.2.已知向量，且，则x＝（）A.9B.6C.5D.33.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C＝（）A. B. C. D.4.已知向量，若，则x的值为（）A.－2 B.－1 C.1 D.25.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.1 B. C.2 D.6.在△ABC中，若三边之比，则等于（）A. B. C.2 D.－27.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（）A.B.C.D.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量与的夹角为 D.向量在上的投影向量为10.在中，已知，下列结论中正确的是（）A.这个三角形被唯一确定 B.一定是钝角三角形C. D.若，则的面积是11.如图所示，设，是平面内相交成角两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（）AB.C.D.在上的投影向量为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．13.设向量满足，，，则_______．14.如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为____________（结果用m表示）.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知向量，．（1）求与的坐标；（2）求向量，的夹角的余弦值．16.（15分）在锐角中，的对边分别为，且（1）确定角的大小；（2）若，且，求边.17．（15分）已知，.（1）若，且、、三点共线，求的值.（2）当实数为何值时，与垂直？18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．19．（17分）对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；（3）已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值．高一数学3月月考参考答案单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.【详解】根据向量的三角形法则，可得.故选：B.2.【详解】解：因为向量，且，所以，解得x＝6.故选：B3.【详解】由余弦定理可得，，．故选：．4.【详解】因为，所以，即，解得，故选：D.5.详解】解：．故答案为：A.6.【详解】根据正弦定理可得.故选：B.7.【详解】由题可知，∵点F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故选：C．8.【详解】,即,又,即,,又.由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，再由余弦定理知,,,,.由等号左右两边同时乘以可得：，.故选：C.二、多选题9.【详解】，所以，故A错误；，故B正确；，，，，故C错误；向量在上的投影向量为，故D正确．故选：BD10.【详解】依题意可设，则对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误；对于B，因为，所以，则三角形为钝角三角形，故B正确；对于C，由正弦定理可知，，故C正确；对于D，因为，即，即，又因为，所以则，故D错误.故选:BC.11.【详解】由题意得：，，对于A项，，由题意得：，故A正确；对于B项，，，故B不正确；对于C项，，故C项不正确；对于D项，在上的投影向量为：，又，，，故D不正确.故选：BCD填空题：12.【详解】由余弦定理得即，解得（舍），故答案为:.13.【详解】解：因为，，，所以.故答案为：.14.【详解】因为，所以.因为，所以，所以为等边三角形，所以.在中，,,所以.由正弦定理得：，即，解得：.在中，,,,由余弦定理解得：故答案为：四.解答题：15.【详解】（1），．（2），，，,．16.【详解】（1）由及正弦定理得因为，故又锐角，所以.（2）由余弦定理，，得解得:或.17．【解析】（1）由题意可得，，且、、三点共线，则可得，即，解得；（2）由题意可得，，因为与垂直，则可得，解得18．【解析】（1）由题意知中，，故，即,即,所以，而，故，即，又，故；（2）由于点是上的点，平分，且，则，由，得，即，则，当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号，所以，即面积的最小值为19．【解析】（1）因为，，，所以（2）设，假设对，则均不为0．所以．即．因为，所以．所以．与矛盾，故假设不正确．综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使．（3）设，因为，所以有或．当时，可得三式相加得．又，可得．当时，也可得，于是．设的