2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷（含解析版）

2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．（3分）的绝对值是（）A． B．7 C． D．2．（3分）如图所示的主视图对应的几何体是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．2a3÷a2＝2a D．2x+3x＝5x24．（3分）计算的结果是（）A．0 B． C． D．5．（3分）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（）A．8 B．6 C．7 D．96．（3分）某书店与一山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量分别如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）A．300，150，300 B．300，200，200 C．600，300，200 D．300，300，3007．（3分）如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（）A．1 B． C．2 D．无法确定8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣219．（3分）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC＝，现给出下列结论：①；②sin∠BOF＝；③OF＝；④OG＝BG；其中正确的结论有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）11．（3分）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为元．12．（3分）临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是2.58m，方差分别是：＝0.075，＝0.04，这两名同学成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）．13．（3分）已知关于x、y的方程的解满足x+y＝﹣3，则a的值为．14．（3分）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．15．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为．16．（3分）如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2）…则第2068秒点P所在位置的坐标是．三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）17．（5分）先化简，再求值：，其中．18．（6分）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．19．（7分）由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）在扇形统计图中，m的值是，D对应的扇形圆心角的度数是；（3）请补全条形统计图；（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数．20．（7分）某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年2班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选．具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选．（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．（2）求甲同学被选中的概率．21．（7分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是3，DG•DB＝9，求CE的长．23．（10分）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）直接写出y与x的关系式；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．（1）如图1，求证：AM＝CE；（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点N，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．25．（12分）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．

2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．（3分）的绝对值是（）A． B．7 C． D．【分析】根据绝对值的定义求解即可．【解答】解：的绝对值是，故选：C．【点评】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．2．（3分）如图所示的主视图对应的几何体是（）A． B． C． D．【分析】根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可．【解答】解：A、主视图为，故此选项不合题意；B、主视图为，故此选项符合题意；C、主视图为，故此选项不合题意；D、主视图为，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了三视图，理解主视图的特点和熟记看的见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线是解题的关键．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．2a3÷a2＝2a D．2x+3x＝5x2【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、合并同类项逐项计算即可．【解答】解：A．a3•a2＝a5，故此选项不合题意；B．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；C.2a3÷a2＝2a，故此选项符合题意；D.2x+3x＝5x，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．4．（3分）计算的结果是（）A．0 B． C． D．【分析】根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可．【解答】解：原式＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．（3分）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（）A．8 B．6 C．7 D．9【分析】设可以打x折出售此商品，根据售价﹣进价＝利润，利润＝进价×利润率可得不等式，解之即可．【解答】解：设可以打x折出售此商品，由题意得：240×，解得x≥6，故选：B．【点评】此题考查了改为一元一次不等式的应用，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键6．（3分）某书店与一山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量分别如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）A．300，150，300 B．300，200，200 C．600，300，200 D．300，300，300【分析】根据中位数、平均数和众数的概念求解即可．【解答】解：众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，这组数据中300出现了3次，次数最多，所以众数是300；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，6个数据按顺序排列之后，处于中间的数据是300，300，所以中位数是；平均数是，故选：D．【点评】本题主要考查众数，中位数和平均数，掌握众数，中位数的概念和平均数的求法是解题的关键．7．（3分）如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（）A．1 B． C．2 D．无法确定【分析】过点D作DE∥AB交AO于点E，由平行的性质可知∠BAD＝∠ADE，∠DOC＝∠ODE，等量代换可得的值．【解答】解：如图，过点D作DE∥AB交AO于点E，∵四边形ABCO是矩形，∴AB∥OC，∵DE∥AB，∴AB∥DE，DE∥OC，∴∠BAD＝∠ADE，∠DOC＝∠ODE，∴＝＝＝1．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．【解答】解：∵当x＝0时，y＝0+4＝4，∴A（0，4），∴OA＝4；∵当y＝0时，，∴x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴OB＝3；过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝3+4＝7，∴C点坐标为（﹣7，3），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝﹣7×3＝﹣21．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．9．（3分）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A． B． C． D．【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【解答】解：设班级共有x名学生，依据题意列方程得，．故选：B．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC＝，现给出下列结论：①；②sin∠BOF＝；③OF＝；④OG＝BG；其中正确的结论有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【分析】①直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；②过点O作OH∥BC交AE于点H，过点O作OQ⊥BC交BC于点Q，过点B作BK⊥OM交OM的延长线于点K，首先根据四边形MONC的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出AE，AF，EF的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出OM，BK的长度，然后利用sin∠BOF＝即可判断；③利用平行线分线段成比例得出，然后利用勾股定理求出OM的长度，进而OF的长度可求；④直接利用平行线的性质证明△HOG≌△EBG，即可得出结论．【解答】解：如图，过点O作OH∥BC交AE于点H，过点O作OQ⊥BC交BC于点Q，过点B作BK⊥OM交OM的延长线于点K，∵四边形ABCD是正方形，∴，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠BOM+∠MOC＝90°．∵OP⊥OF，∴∠MON＝90°，∴∠CON+∠MOC＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON（ASA），∴S△BOM＝S△CON，∴，∴，∴．∵CE＝2BE，∴，∴．∵BF⊥AE，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴BM＝，MQ＝．∵AD∥BC，∴，故①正确；∵OH∥BC，∴，又∵CE＝2BE，∴OH＝BE，AH＝HE＝．∵∠HGO＝∠EGB，∴△HOG≌△EBG（AAS），∴OG＝BG，故④正确；∵OQ2+MQ2＝OM2，∴，∴，故③正确；∵，即，∴，∴，故②错误；∴正确的有①③④．故选：D．【点评】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数是解题的关键二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）11．（3分）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为5.8×1010元．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此解答即可．【解答】解：580亿＝58000000000＝5.8×1010．故答案为：5.8×1010．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．12．（3分）临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是2.58m，方差分别是：＝0.075，＝0.04，这两名同学成绩比较稳定的是乙（填“甲”或“乙”）．【分析】根据方差表示数据波动的大小，比较方差的大小即可求解．【解答】解：∵S甲2＝0.075，S乙2＝0.04∴S甲2＞S乙2∴乙的波动比较小，乙比较稳定故答案为：乙．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．13．（3分）已知关于x、y的方程的解满足x+y＝﹣3，则a的值为5．【分析】①+②可得x+y＝2﹣a，然后列出关于a的方程求解即可．【解答】解：，①+②，得3x+3y＝6﹣3a，∴x+y＝2﹣a，∵x+y＝﹣3，∴2﹣a＝﹣3，∴a＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．14．（3分）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是k≤且k≠1．【分析】直接利用根的判别式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，再利用二次函数的意义得到k﹣1≠0，然后解两不等式得到k的范围．【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，又∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围是k≤且k≠1；故答案为：k≤且k≠1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．15．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为．【分析】由圆周角定理可得∠AOB的度数，由OD∥AB可得S△ABD＝S△ABO，进而可得S阴影＝S扇形AOB，然后根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB＝．故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．16．（3分）如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2）…则第2068秒点P所在位置的坐标是（45，43）．【分析】分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．【解答】解：由题意分析可得，动点P第8＝2×4秒运动到（2，0），动点P第24＝4×6秒运动到（4，0），动点P第48＝6×8秒运动到（6，0），以此类推，动点P第2n（2n+2）秒运动到（2n，0），∴动点P第2024＝44×46秒运动到（44，0），2068﹣2024＝44，∴按照运动路线，点P到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位，∴第2068秒点P所在位置的坐标是（45，43），故答案为：（45，43）．【点评】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）17．（5分）先化简，再求值：，其中．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，当时，原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．18．（6分）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O为旋转中心的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用位似的性质，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．19．（7分）由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了50名学生；（2）在扇形统计图中，m的值是30，D对应的扇形圆心角的度数是72°；（3）请补全条形统计图；（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数．【分析】（1）用A的人数除以A的百分比即可；（2）用B的人数除以样本容量即可；（3）求出B的人数补全统计图即可；（4）用2000乘以D的百分比即可．【解答】解：（1）20÷40%＝50（名）；故答案为：50；（2）15÷50×100%＝30%，即m＝30；＝72°；故答案为：30，72°；（3）50﹣20﹣15﹣10＝5（名）；（4）（名）．答：该校最喜欢方式D的学生约有400名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了用样本估计总体．20．（7分）某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年2班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选．具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选．（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．（2）求甲同学被选中的概率．【分析】（1）用树状图表示出所有可能的结果；（2）从树状图中找到甲同学被选中的情况数，利用所求情况数与总数之比求概率即可．【解答】解：画出树状图如图：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）∴“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果为：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4），∴所有可能出现的结果共有6种，每种结果出现的可能性相同，（2）所有可能出现的结果共有6种，甲被选中的结果共有3种，∴P（甲被选中）＝＝．【点评】本题主要考查用列表法和树状图求随机事件的概率，掌握列表法和树状图是解题的关键．21．（7分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．【解答】解：作BD⊥AC于D．依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝，∴，∴AD＝x，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，∴sin∠DCB＝，∴BC＝x，∵CD+AD＝30+30，∴x+，∴x＝30，∴AB＝2x＝60，BC＝，第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30（h），∵＜1.5，∴第二组先到达目的地，答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是3，DG•DB＝9，求CE的长．【分析】（1）连接OC，由AB是直径及OD∥BC可得∠CFE＝∠ACB＝90°，进而得到∠DEC+∠FCE＝90°，再根据圆周角定理推导出∠DEC＝∠A，进而得到OC⊥CE，再根据OC是半径即可得证；（2）由（1）得∠CFE＝90°，进而得到∠ACD＝∠DBC，再通过证明△DCG∽△DBC得到DC2＝DG•DB＝9，再由即可求出CE的值．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠CFE＝∠ACB＝90°，∴∠DEC+∠FCE＝90°，∵∠DEC＝∠BDC，∠BDC＝∠A，∴∠DEC＝∠A，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠OCA＝∠DEC，∵∠DEC+∠FCE＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O切线．（2）由（1）得∠CFE＝90°，∴OF⊥AC，∵OA＝OC，∴∠COF＝∠AOF，∴，∴∠ACD＝∠DBC，又∵∠BDC＝∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴，∴DC2＝DG•DB＝9，∴DC＝3，∵OC＝OD＝3，∴△OCD是等边三角形，∴∠DOC＝60°，在Rt△OCE中，∴，∴．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定等知识，熟知切线的判定方法以及相似三角形的性质是解题的关键．23．（10分）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）直接写出y与x的关系式y＝﹣x+120；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果．【解答】解：（1）设解析式为y＝kx+b，将（40，80）和（60，60）代入，可得，解得：，所以y与x的关系式为y＝﹣x+120，故答案为：y＝﹣x+120；（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，∴30≤x≤120，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∴当x＝75时，w最大＝2025，答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，∵40≤x≤a，∴有两种情况，①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，∴这种情况不成立，∴a＝70．【点评】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．（1）如图1，求证：AM＝CE；（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点N，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．【分析】（1）通过证△ABM与△CAE全等可以证得AM＝CE；（2）过点E作EF⊥CE交BC于F，通过证明△ABG与△ACE全等，证得AG＝AE，通过△GBN≌△EFN证得GN＝EN，最后由直角三角形的性质证得结论；（3）延长GM交BC于点F，连接AF，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AN的长，在Rt△AEG中，求出EG的长即可得到答案．【解答】（1）证明：∵AP⊥BM，∴∠APB＝90°，∴∠ABP+∠BAP＝90°，∵∠BAP+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ABP，∵CE⊥AC，∴∠BAM＝∠ACE＝90°，∵AB＝AC，∴△ABM≌△CAE（ASA），∴CE＝AM；（2）过点E作CE的垂线交BC于点F，∴∠FEC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∵∠ACE＝90°，∴∠FCE＝45°，∴∠CFE＝∠FCE＝45°，∴CE＝EF，∠EFN＝135°，∵四边形AMBG是平行四边形，∴AM＝BG，∠ABG＝∠BAC＝90°，∴∠GBN＝∠ABG+∠ABC＝135°，∴∠GBN＝∠EFN，由（1）得△ABM≌△CAE，∴AM＝CE，∴BG＝CE＝EF，∵∠BNG＝∠FNE，∴△GBN≌△EFN（AAS），∴GN＝EN，∵AG∥BM，∴∠GAE＝∠BPE＝90°，∴，∴；（3）如图，延长GM交BC于F，连接AF，在平行四边形ABMG中，AB∥GM，△ABM≌△MGA，∴∠AMG＝∠BAC＝90°，∴∠GMC＝∠ACE＝90°，∴GF∥CE，∵AM＝MC，∴BF＝CF，∵AB＝AC，∴，∵，设CN＝x，则BC＝8x，AF＝FC＝4x，FN＝3x，∴，在Rt△ABM中，，，∴，∴，由（1）知△ABM≌△CAE，∴△CAE≌△MGA，∴AE＝AG，在Rt△AEG中，EG＝，∴．【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．25．（12分）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（