2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（b卷）

2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）若∠A＝40°，则∠A的补角为（）A．40° B．50° C．60° D．140°2．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A． B． C． D．3．（3分）计算：a2（a﹣2b）＝（）A．a3﹣a2b B．a3﹣2a2b C．a3﹣2ab2 D．a3﹣a2b24．（3分）关于x的一元一次不等式3x≤4+x的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．5．（3分）因式分解：x3﹣4x2+4x＝（）A．x（x﹣2）2 B．x（x2﹣4x+4） C．2x（x﹣2）2 D．x（x2﹣2x+4）6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（）A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（2，4）7．（3分）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣48．（3分）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（）A．16 B．12 C．8 D．410．（3分）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm11．（3分）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2＝（）A．25 B．24 C．13 D．1212．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（）A．4 B． C．6 D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升2m记作+2m，则下降1m记作m．14．（3分）将一副三角板如图摆放，则∥，理由是．15．（3分）如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12πcm，则n＝．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为．三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：．18．（4分）先化简，再求值：，其中m＝2．19．（4分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．20．（5分）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；（2）求△AOB的面积．22．（6分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）23．（6分）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．24．（6分）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率年份、统计量名称20132014201520162017201820192020平均数贫困地区农村居民年人均可支配收入/元607968527653845293771037111567125889117贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%16.512.711.710.410.910.611.58.811.6全国农村居民年人均可支配收入增长率/%12.411.28.98.28.68.89.66.99.3请根据以上信息，解决下列问题：（1）2019年底中国农村贫困人口数量为万人．（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为元．（3）下列结论正确的是（只填序号）．①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．25．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间的距离为ycm．小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；x/cm00.511.522.533.544.55678y/cm6.005.765.535.315.094.884.694.504.334.174.023.793.65a请你通过计算补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是cm．（结果保留两位小数）26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．27．（8分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．【探究建模】（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．28．（9分）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．

2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）若∠A＝40°，则∠A的补角为（）A．40° B．50° C．60° D．140°【分析】根据互补两角的和为180°，即可求出∠A的补角的度数．【解答】解：因为∠A＝40°，所以∠A的补角为：180°﹣∠A＝140°．故选：D．【点评】本题考查了补角的知识．掌握互为补角的两角之和为180度是解题的关键．2．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得如下图形：故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3．（3分）计算：a2（a﹣2b）＝（）A．a3﹣a2b B．a3﹣2a2b C．a3﹣2ab2 D．a3﹣a2b2【分析】利用单项式乘多项式的运算法则计算得出答案．【解答】解：a2（a﹣2b）＝a3﹣2a2b．故选：B．【点评】此题主要考查了整式的运算，正确掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．4．（3分）关于x的一元一次不等式3x≤4+x的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】解出一元一次不等式的解集，然后选出正确结果．【解答】解：3x≤4+x，3x﹣x≤4，2x≤4，x≤2．故选：D．【点评】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式解题步骤，移项、合并同类项、把x系数化为1是解题关键．5．（3分）因式分解：x3﹣4x2+4x＝（）A．x（x﹣2）2 B．x（x2﹣4x+4） C．2x（x﹣2）2 D．x（x2﹣2x+4）【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2．故选：A．【点评】此题考查的是提公因式法与公式法因式分解，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（）A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（2，4）【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（﹣2，﹣4）．故选：B．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．7．（3分）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4【分析】根据二次函数对称轴为直线x＝﹣求解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的对称轴为直线x＝﹣．8．（3分）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（）A． B． C． D．【分析】直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案．【解答】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色．的有8个，故取得的小正方体恰有三个面被涂色．的概率为．故选：B．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面被涂色．小立方体的个数是解题关键．9．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（）A．16 B．12 C．8 D．4【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，∴△AOB的面积为8，设A（a，b）∵AB⊥x轴于点B，∴ab＝16，∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝16．故选：A．【点评】本题考查了比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求k是解题关键．10．（3分）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；正确列出比例式是解题的关键．11．（3分）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2＝（）A．25 B．24 C．13 D．12【分析】由菱形的性质可得四边形ABCD是正方形，可得AD2＝13＝a2+b2，中间空白处的四边形EFGH也是正方形，可得（b﹣a）2＝1，求出2ab＝12，即可求解．【解答】解：由题意得：四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，∵正方形ABCD的面积为13，∴AD2＝13＝a2+b2①，∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，∴（b﹣a）2＝1，∴a2﹣2ab+b2＝1②，①﹣②得：2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，完全平方公式等知识，掌握菱形的性质，求出2ab＝12是解题的关键．12．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝4+4，则AD＝（）A．4 B． C．6 D．8【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得DO＝CO＝AO，AD＝2AO，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴DO＝CO＝AO，AD＝2AO，∵∠BCE＝15°，∴∠ACE＝45°，∴∠ACE＝∠DEC＝45°，∴EO＝CO＝AO，∵ED＝4+4，∴AO+AO＝4+4，∴AO＝4，∴AD＝8，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升2m记作+2m，则下降1m记作﹣1m．【分析】根据“正”和“负”所表示的意义解答．【解答】解：∵水位上升2m记作+2m，∴下降1m记作﹣1m．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．14．（3分）将一副三角板如图摆放，则BC∥ED，理由是内错角相等，两直线平行．【分析】根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．【解答】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，∴∠ACB＝∠DEF，∴BC∥ED．故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．15．（3分）如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12πcm，则n＝120°．【分析】物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，代入弧长公式即可求出n的值．【解答】解：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，∴＝12π，解得：n＝120，故答案为：120°．【点评】本题考查了弧长的计算，理解传送距离和弧长之间的关系是解决问题的关键．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为．【分析】如图，设MN交CQ于点K．首先证明AB＝BQ＝2，QK＝CK＝KG＝2，推出AQ＝QG＝2，AG＝4，再利用平行线分线段成比例定理求出MK，OG即可．【解答】解：如图，设MN交CQ于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝90°，由作图可知AQ平分∠BAD，∴∠BAQ＝∠DAQ＝45°，∴AB＝BQ＝2，CQ＝BC﹣BQ＝4，由作图可知MN垂直平分线段CQ，∴QK＝CK＝2，∵∠AQB＝∠GQK＝45°，∴AQ＝2，QG＝2，∴AG＝4，∵MK∥CD，∴＝，∴＝，∴MK＝，∴GM＝MK+KG＝，∵AB∥GM，∴＝＝＝，∴OG＝AG＝．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出MK，AG的长，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：．【分析】利用乘法分配律计算即可．【解答】解：＝+＝+＝＝3＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法分配律是解题的关键．18．（4分）先化简，再求值：，其中m＝2．【分析】把分式的除法转化为乘法，进行约分，再利用分式的加减进行运算，最后代入相应的值运算即可．【解答】解：＝+＝＝，当m＝2时，原式＝＝2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对分式的相应的运算法则的掌握与应用．19．（4分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，则x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．20．（5分）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）由点A在反比例函数y＝上可得点A坐标，从而求出一次函数解析式，再将点B坐标代入解析式求出点B坐标，进而求解．（2）先通过一次函数解析式求出点C坐标，然后通过S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，∴﹣2m＝﹣10，解得m＝5，∴点A坐标为（﹣2，5）．把（﹣2，5）代入y＝﹣x+b得5＝1+b，解得b＝4，∴一次函数表达式为y＝x+4，把B（4，n）代入y＝x+4得n＝﹣2+4＝2，∴点B坐标为（4，2），∵点B在反比例函数y＝图象上，∴k＝4×2＝8，∴反比例函数表达式为y＝．（2）把x＝0代入y＝x+4得y＝4，∴点C坐标为（0，4），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×2+×4×4＝12．【点评】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，通过数形结合求解．22．（6分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】解直角三角形求出BC，BD，根据CD＝BD﹣BC求解即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴1.60≈，∴BD≈32（米），在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，∴1.33≈，∴BC≈26.6（米），∴CD＝BD﹣BC≈5.4（米）．答：避雷针DC的长度约为5.4米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（6分）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发6分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．【分析】（1）观察两直线的交点的横坐标判断即可；（2）利用待定系数法求l2所在直线对应的函数表达式；（3）由（2）可得观光车到达景区的时间，进而得出观光车比小军早到达观景点的时间．【解答】解：（1）由图象可知，观光车出发：21﹣15＝6（分钟），追上小军；故答案为：6；（2）设l2所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，15+3000÷300＝25（min），∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x﹣4500（15≤x≤25）；（3）33﹣25＝8（min），故观光车比小军早8分钟到达观景点．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时，首先要理解横纵坐标表示的含义，数形结合思想的应用是解题关键．24．（6分）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率年份、统计量名称20132014201520162017201820192020平均数贫困地区农村居民年人均可支配收入/元607968527653845293771037111567125889117贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%16.512.711.710.410.910.611.58.811.6全国农村居民年人均可支配收入增长率/%12.411.28.98.28.68.89.66.99.3请根据以上信息，解决下列问题：（1）2019年底中国农村贫困人口数量为551万人．（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为6509元．（3）下列结论正确的是①②③（只填序号）．①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．【分析】（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可求得；（2）根据信息三中的表格数据，以及极差的定义即可求得，极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差；（3）根据信息一可得①正确，根据信息三中的表格数据，求得平均年增长率，并且观察每一年的数据贫困地区农村居民人均可支配收入增长率快于全国农村的可支配收入增长率，即可判断②，根据信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入，计算2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入减去中央财政专项扶贫资金即可判断③．【解答】解：（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可知：2019年底中国农村贫困人口数量为551万人；故答案为：551；（2）12588﹣6079＝6509，故答案为：6509；（3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫，故①正确；②∵（16.5+12.7+11.7+10.4+10.9+10.6+11.5+8.8+11.6）÷9≈11.6，且每一年的我国贫困地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全国农村；故②正确；③2016年：1700﹣665＝1035＞1000，2017年：2220﹣865＝1355＞1000，2018年：2780﹣1065＝1715＞1000，2019年：3160﹣1265＝1895＞1000，2020年：3520﹣1465＝2055＞1000，2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．故③正确，故答案为：①②③．【点评】本题考查了求极差，平均数，折线统计图，条形统计图，准确识图，从表格或统计图获取信息是解题的关键．25．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间的距离为ycm．小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；x/cm00.511.522.533.544.55678y/cm6.005.765.535.315.094.884.694.504.334.174.023.793.65a请你通过计算补全表格：a＝3.6；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：y的值逐渐减小；（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是3.50cm．（结果保留两位小数）【分析】（1）如图1中，连接DF．首先证明∠AFD＝∠ACD＝90°，当BD＝8时，如图2中，根据cos∠CAF＝cos∠CAB，可得＝，由此可得结论．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）根据函数图象可得结论．（4）作出直线CD的解析式y＝﹣x+8的图象，两个函数图象的交点的横坐标，即为BD的值．【解答】解：（1）如图1中，连接DF．∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAD＝∠CAF，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠ACF＝∠B，∴∠CFE＝∠ADC，∴A，F，C，D四点共圆，∴∠AFD＝∠ACD＝90°，当BD＝8时，如图2中，在Rt△ACB中，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∵cos∠CAF＝cos∠CAB，∴＝，∴AF＝＝＝3.6（cm），∴a＝3.6，解法二：当BD＝8时，C与D重合，∵∠CAF＝∠CAB，∠ACF＝∠B，∴△ACF∽△ABC，∴＝，∴AF＝3.6．故答案为：3.6．（2）函数图象如图所示：（3）随着自变量x的不断增大，函数y的值逐渐减小．故答案为：y的值逐渐减小．（4）如图，因为直线CD的解析式为y＝﹣x+8，观察图象可知，当CD＝AF时，x≈3.54，∴BD≈3.50（cm），故答案为：3.50．【点评】本题考查动点问题函数图象，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法确定交点坐标，属于中考常考题型．26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及等量代换得出∠AED+∠D＝90°，即∠DAE＝90°，也就是AD⊥AE，进而得出结论；（2）根据锐角三角函数设AE＝a，表示AC、BC、AB，在Rt△ABC中由勾股定理列方程求解即可．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACE+∠BCE＝90°，∵AD＝AC，BE＝BC，∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC，又∵∠BEC＝∠AED，∴∠AED+∠D＝90°，∴∠DAE＝90°，即AD⊥AE，∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）由tan∠ACE＝＝tan∠D可设AE＝a，则AD＝3a＝AC，∵OE＝3，∴OA＝a+3，AB＝2a+6，∴BE＝a+3+3＝a+6＝BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝BC2+AC2，即（2a+6）2＝（a+6）2+（3a）2，解得a1＝0（舍去），a2＝2，∴BC＝a+6＝8．【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是解决问题的前提．27．（8分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．【探究建模】（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．【分析】（1）证明△DAE≌△DCF（ASA），可得结论．（2）①证明△DAE≌△DCF（ASA），可得结论．②如图2中，连接AC交DE于点O，过点D作DK⊥EC于点K，DJ⊥EA交EA的延长线于点J．利用全等三角形的性质证明EJ＝EK，AJ＝CK，可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（ASA），