2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷（含解析版）

2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）现实世界中，对称无处不在，在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次，把704000000这个数用科学记数法表示为（）A．7.04×107 B．7.04×109 C．0.704×109 D．7.04×1083．（3分）如图所示，图中由7个完全相同小正方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．4．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠05．（3分）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（﹣）▲2的值是（）A．﹣3 B．5 C．﹣ D．6．（3分）下列命题是假命题的是（）A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形7．（3分）下列运算正确的是（）A．（a5）2＝a7 B．x4•x4＝x8 C．＝±3 D．8．（3分）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形9．（3分）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月A，B两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a（元）分布情况如表：支付金额a（元）0＜a≤10001000＜a≤2000a＞2000仅使用A36人18人6人仅使用B20人28人2人下面有四个推断：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的为800人；②本次调查抽取的样本容量为200人；③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．其中正确的是（）A．①③ B．③④ C．①② D．②④10．（3分）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（）A． B． C． D．11．（3分）已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（）A． B． C． D．12．（3分）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则下列结论成立的是（）①BN＝AB；②当点G与点D重合时，EF＝；③△GNF的面积S的取值范围是≤S≤；④当CF＝时，S△MEG＝．A．①③ B．③④ C．②③ D．②④二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.13．（3分）在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是．14．（3分）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝．15．（3分）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．16．（3分）当x＝+3时，代数式的值是．17．（3分）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是元．18．（3分）已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则＝．19．（3分）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y＝（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为．21．（3分）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝．22．（3分）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是．三、解答题（本题共7个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.23．（6分）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是cm．24．（6分）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求，出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．25．（6分）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）26．（8分）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m＝，n＝；（2）求CD和EF所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．28．（9分）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．（1）求证：△CDE≌△CBH；（2）当时，求的值；（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．29．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）现实世界中，对称无处不在，在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．2．（3分）据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次，把704000000这个数用科学记数法表示为（）A．7.04×107 B．7.04×109 C．0.704×109 D．7.04×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．【解答】解：704000000＝7.04×108，故选：D．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）如图所示，图中由7个完全相同小正方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从几何体的左面看，共有三列，从左到右每列小正方形的个数分别为3、1、1．故选：C．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．4．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0【分析】利用分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案．【解答】解：根据题意得：x+1＞0且x≠0，解得：x＞﹣1且x≠0，故选：C．【点评】此题考查的是分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件，掌握其条件是解题的关键．5．（3分）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（﹣）▲2的值是（）A．﹣3 B．5 C．﹣ D．【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（﹣）▲2＝|﹣2|＝4﹣1+2＝5．故选：B．【点评】此题考查了负整数指数幂以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）下列命题是假命题的是（）A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【分析】利用三角形的三边关系、三角形的中位线定理、平行线的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边，正确，是真命题，不符合题意；B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，是真命题，不符合题意；C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意，故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的三边关系、三角形的中位线定理、平行线的性质及平行四边形的判定方法，难度不大．7．（3分）下列运算正确的是（）A．（a5）2＝a7 B．x4•x4＝x8 C．＝±3 D．【分析】分别根据同底数幂的乘法、算术平方根、开立方运算及幂的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．（a5）2＝a10，故本选项不合题意；B．x4•x4＝x8，故本选项符合题意；C.＝3，故本选项不符合题意；D.＝﹣3﹣，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、算术平方根、开立方运算及幂的乘方运算，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．8．（3分）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，依题意得（n﹣2）×180°＝360°×4，解得n＝10，∴这个多边形是十边形．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和＝（n﹣2）•180（n≥3且n为整数），而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°．9．（3分）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月A，B两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a（元）分布情况如表：支付金额a（元）0＜a≤10001000＜a≤2000a＞2000仅使用A36人18人6人仅使用B20人28人2人下面有四个推断：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的为800人；②本次调查抽取的样本容量为200人；③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．其中正确的是（）A．①③ B．③④ C．①② D．②④【分析】根据样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义逐一判断可得．【解答】解：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的大约有2000×＝800（人），此推断合理，符合题意；②本次调查抽取的样本容量为200，故原说法错误，不符合题意；③样本中仅使用A种支付方式的员工，第30、31个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理，符合题意；④样本中仅使用B种支付方式的员工，上个月的支付金额的众数无法估计，此推断不正确，不符合题意．故推断正确的有①③，故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义．10．（3分）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（）A． B． C． D．【分析】设原计划平均每天可生产x箱药品，则现在平均每天可生产（x+500）箱药品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设原计划平均每天可生产x箱药品，则现在平均每天可生产（x+500）箱药品，依题意得：＝．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．11．（3分）已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（）A． B． C． D．【分析】作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，当B、E、F'共线且与AB'垂直时，即求BD的长即可．【解答】解：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，∴∠BAB'＝30°，EF＝EF'，∴FE+EB＝BE+EF'，∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时，BE+EF'长度最小，即求BD的长，即作BD⊥AB'于D，在△ABD中，BD＝，故选：B．【点评】本题主要考查轴对称的知识，将BE+EF转化为求线段BD是解题的关键．12．（3分）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则下列结论成立的是（）①BN＝AB；②当点G与点D重合时，EF＝；③△GNF的面积S的取值范围是≤S≤；④当CF＝时，S△MEG＝．A．①③ B．③④ C．②③ D．②④【分析】①错误．说明BN的长度是变化的即可．②正确．利用面积法求出EF即可．③错误．求出△GNF面积的最大值，即可判断．④正确，利用勾股定理求出AE，可得结论．【解答】解：∵AB＝3是定值，BN＝BG，BG的长是变化的，∴BN的值也是变化的，∴BN与AB不一定相等，故①错误．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折的性质可知FB＝FG，∠EFB＝∠EFG，∴∠GEF＝∠EFG，∴GE＝GF＝BF，∵GE∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形，∵FB＝FG，∴四边形BEGF是菱形，∴BE＝EG，当D，G重合时，设BE＝DE＝x，则有x2＝32+（6﹣x）2，∴x＝，∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝6，∴BD＝＝＝3，∴S菱形BEDF＝DE•AB＝•BD•EF，∴EF＝＝，故②正确，当D，G重合时，△GNF的面积最大，最大值＝××3＝，∴S△GNF≤，故③错误，如图2中，当CF＝时，BF＝BE＝EG＝FG＝BC﹣CF＝6﹣＝，∴AE＝EM＝＝＝，∴S△MEG＝•ME•GM＝××3＝，故④正确．故选：D．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法解决线段问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.13．（3分）在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是．【分析】先数出“mathematics”中共多少个字母，让字母“t”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．【解答】解：“mathematics”中共11个字母，其中共2个“t”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“t”的可能性有两种，故其概率是；故答案为：．【点评】本题考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（3分）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝a（b+）（b﹣）．【分析】解决此题，要先找到公因式a，提取公因式之后变为a（b2﹣2），运用平方差公式．将2看成是（）2．【解答】解：ab2﹣2a，＝a（b2﹣2）﹣﹣（提取公因式）＝a（b+）（b﹣）．﹣﹣（平方差公式）【点评】本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．15．（3分）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为40cm．【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【解答】解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，，解得，r＝40cm．故应填40．【点评】解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程．16．（3分）当x＝+3时，代数式的值是．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝，当x＝+3时，原式＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．17．（3分）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是330元．【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20﹣m）个，根据购买A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出m≥6，设购买总费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，依题意得：，解得：．设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20﹣m）个．∵A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，∴m≥（20﹣m），∴m≥，又∵m为整数，∴m≥6．设购买总费用为w元，则w＝20m+15（20﹣m）＝5m+300，∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝5×6+300＝330．故答案为：330．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式是解题的关键．18．（3分）已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则＝﹣．【分析】由于m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝3，mn＝﹣2，而＝，再把m+n、mn的值整体代入计算即可．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，∴m+n＝3，mn＝﹣2，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．19．（3分）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向向正六边形的边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．【解答】解：连接OA，OB，作OG⊥AB于点G，∵正六边形的边长为4cm，∴正六边形的外接圆的半径4cm，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是GO＝×4＝2，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y＝（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为﹣24．【分析】根据轴对称性可知AG＝GE，OA＝AE＝EC，进而得出AG＝AC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S△ABC，再根据同高的两个三角形的面积比等于对应底边的比，可求出S△OAB，进而求出S△OBC，最后根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可．【解答】解：如图，连接OB，由于Rt△DOE与Rt△BCA关于MN成轴对称，且OA＝AE，由对称性可知，AG＝GE，OA＝AE＝EC，∴AG＝AC，∵S△AEF＝1，∴S△AFG＝S△AEF＝，∵MN∥BC∥OD，∴△AFG∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝×16＝8，又∵OA＝AC，∴S△OAB＝S△ABC＝4，∴S△OBC＝8+4＝12，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBC＝12＝|k|，∵k＜0，∴k＝﹣24，故答案为：﹣24．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的前提．21．（3分）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝1或或．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、OB，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∴OB＝2，∵PB＝3PC，∴设PC＝x，则PB＝3x，有三种情况：①点P在BC上时，如图2，∵AD＝4，PB＝3PC，∴PC＝1；②点P在AC上时，如图3，在Rt△BPO中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，（3x）2＝（2）2+（2﹣x）2，解得：x＝（负数舍去），即PC＝；③点P在CD上时，如图4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC2+PC2＝BP2，42+x2＝（3x）2，解得：x＝（负数舍去），即PC＝；综上，PC的长是1或或．故答案为：1或或．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．22．（3分）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是n2+n﹣1．【分析】通过观察图中三角形的个数与图形的序号的关系可得结论．【解答】解：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律：第一个图形：12+0，第二个图形：22+1，第三个图形：32+2，第四个图形：42+3，••••••，第n个图形：n2+n﹣1．故答案为：n2+n﹣1．【点评】本题主要考查了图形的变化规律．准确发现图中的三角形的个数与图形的序号之间的数量关系是解题的关键．三、解答题（本题共7个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.23．（6分）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是9cm．【分析】（1）连接PC，作线段PC的垂直平分线MN交AC于点E，连接PE，点E即为所求．（2）证明△PAE的周长＝PA+AC即可．【解答】解：（1）如图，点E即为所求．（2）∵MN垂直平分线段PC，∴EP＝EC，∴△APE的周长＝AP+AE+EP＝AP+AE+EC＝AP+AC＝3+6＝9（cm），故答案为：9．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．24．（6分）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求，出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．【分析】（1）根据位似变换的性质作出图形即可，注意有两种情形．（2）利用勾股定理，弧长公式求解即可．【解答】解：（1）如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．（2）如图，△OA1B1即为所求．OB＝＝2，线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2+＝4+π．【点评】本题考查作图﹣位似变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．25．（6分）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）【分析】方法一：过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，证四边形MFND是矩形，利用特殊角三角函数求EF即可；方法二：过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，证四边形EGHF是矩形，利用特殊角三角函数求EF即可．【解答】解：方法一：如图1，过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，∴DM∥FN，∴∠MDB＝∠ABC＝60°，在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°＝，∴DN＝×100＝50（cm），∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，∴四边形MFND是矩形，∴DN＝MF＝50，∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，∵DE＝70（cm），∴ME＝DE•sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2（cm），∴EF＝ME+MF＝50+18.2≈104.8≈105（cm），答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．方法二：如图2，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），同方法一得，DH＝BD•sin60°＝50（cm），∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，∴∠BDH＝30°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，∴DG＝DE•sin15°≈18.2（cm），∴GH＝DG+DH＝18.2+50≈104.8≈105（cm），∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，∴EF＝GH≈105（cm），答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．26．（8分）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m＝16，n＝；（2）求CD和EF所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．【分析】（1）通过数形结合进行分析：A点是小刚先走了4秒，B点小亮追上小刚，相遇，C点是小刚开始加速，D点是小刚追上小亮，E点是小刚到达乙地，F点是小亮到达乙地，则根据A点的意义，可以求出的值，根据E点的意义可以求出n的值；（2）根据题意分别求得C、D、E、F各点坐标，代入直线解析式，用待定系数法求得解析式；（3）根据题意分别求出写出BC，CD，DE，EF四条直线的解析式，令S＝30，即可求解．【解答】解：（1）∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，B点小亮追上小刚，相遇，∴4m+16＝5m，解得：m＝16，∵E点是小刚到达乙地，∴n＝[]×（6﹣5）＝，故答案为：16；，（2）由题意可知点C横坐标为16+＝48，∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，∴纵坐标为（5﹣4）×（48﹣16）＝32，∴C（48，32），设SCD＝k1t+b1，将C（48，32），D（80，0）代入，，解得：，∴SCD＝﹣t+80（48≤t≤80），∴E点横坐标为，E点纵坐标为，∴E（，），设SEF＝k2t+b2，将E，F两点坐标代入可得，，解得：，∴SEF＝﹣5t+720（），（3）∵B（16，0），C（48，32），D（80，0），E（，），F（144，0），设SBC＝k3t+b3，将B，C两点坐标代入可得，，解得：，∴SBC＝t﹣16（16＜t≤48），设SDE＝k4t+b4，将D，E两点坐标代入可得，，解得：，∴SDE＝t﹣80（80＜t≤），当S＝30时，SBC＝t﹣16＝30，解得t＝46；SCD＝﹣t+80＝30，解得t＝110；SEF＝﹣5t+720＝30，解得t＝138；综上，t为46，50，110，138时，两人相距30米．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的解析式，数形结合理解函数图像的意义，理解图像的各拐点的意义是解题的关键．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．【分析】（1）连接OD，先判断出∠ODB＝∠ACB，进而得出OD∥AC，进而判断出DE⊥OD，即可得出结论；（2）连接OM，先求出MG＝，设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，进而求出OG＝r，最后用勾股定理求解，即可得出结论；（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成BC＝﹣1，连接AD，再求出CD＝，再判断出△DEC∽△ADC，得出比例式求解，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OM，∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN＝，∴MG＝MN＝，设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，∵，∴AG＝AB＝r，∴OG＝OA﹣AG＝r，在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，∴（r）2+（）2＝r2，∴r＝1，即⊙O的半径为1；（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝36°＝∠BAC，∴AF＝BF，设AF＝BF＝x，在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BC＝BF＝x，由（2）知，⊙O的半径为1，∴AB＝AC＝2，∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，∵∠CBF＝∠CAB，∴∠C＝∠C，∴△BCF∽△ACB，∴，∴，∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍），∴BC＝﹣1，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴CD＝BC＝，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠ADC，∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ADC，∴，∴，∴CE＝．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造直角三角形或相似三角形是解本题的关键．28．（9分）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．（1）求证：△CDE≌△CBH；（2）当时，求的值；（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．【分析】（1）由正方形的性质得BC＝CD，∠DCB＝90°，再证∠DCE＝∠BCH，然后由SAS即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，再证∠EDH＝90°，设BH＝a，则DH＝5a，则DE＝BH＝a，然后由勾股定理得EH＝a，过C作CM⊥EH于M，过D作DN⊥FH于N，则DN∥CM，由三角形面积关系求出DN＝a，最后证△FDN∽△FCM，的＝，即可求解；（3）过点E作PE∥DH交CF于P，过点E作EQ⊥CF于Q，先证△PED为等腰直角三角形，得DE＝PE，再证△BHG≌△PEF（ASA），得HG＝EF＝4，然后求出QE＝PD＝，最后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCB＝90°，∵∠ECH＝90°，∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECH﹣∠BCE，即∠DCE＝∠BCH，在△CDE和△CBH中，，∴△CDE≌△CBH（SAS）；（2）解：由（1）得：△ACDE≌△CBH，∴∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDB＝∠DBC＝45°，∴∠CDE＝∠CBH＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDH＝135°﹣45°＝90°，∵BH：DH＝1：5，∴设BH＝a，则DH＝5a，∴DE＝BH＝a，在Rt△HDE中，EH＝＝＝a，过C作CM⊥EH于M，过D作DN⊥FH于N，如图1所示：则DN∥CM，∵△DEH的面积＝DN×EH＝DE×DH，∴DN×a＝×a×5a，解得：DN＝a，∵CE＝CH，∠ECH＝90°，∴CM＝EH＝a，∵DN∥CM，∴△FDN∽△FCM，∴＝＝＝；（3）解：过点E作PE∥DH交CF于P，过点E作EQ⊥CF于Q，如图2所示：∵PE∥DH，∴∠BHG＝∠PEF，∠FPE＝∠FDH＝135°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠HBG＝∠FDH＝135°，∴∠HBG＝∠EPF＝135°，∵∠CDE＝135°，∴∠EDQ＝45°，∠EPQ＝45°，∴△PED为等腰直角三角形，∴DE＝PE，由（1）得：△CDE≌△CBH，∴DE＝BH，∴DE＝BH＝PE＝3，在△BHG和△PEF中，，∴△BHG≌△PEF（ASA），∴HG＝EF＝4，∵△PED是等腰直角三角形，∴PD＝DE＝3，∵EQ⊥PD，∴QE＝PD＝，在Rt△FEQ中，sin∠CFE＝＝＝．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等和三