北师大版2023-2024学年九年级数学下册同步3.3垂径定理(原卷版+解析)

3.3垂径定理分层练习考查题型一利用垂径定理求线段长（2023•宜昌）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为A．5 B．4 C．3 D．2（2023•和县二模）如图，点是的弦上一点．若，，的弦心距为3，则的长为A．3 B．4 C． D．（2022秋•齐河县期末）如图，的直径弦于点，连接．若，，则的长为A． B． C． D．（2022秋•泗洪县期末）如图，的半径为5，弦，，垂足为点，则的长等于A．2 B．2.5 C．3 D．4考查题型二利用垂径定理求半径、直径长（2022秋•金城江区期末）如图，线段是的直径，于点，若长为16，长为4，则半径是A．5 B．6 C．8 D．10（2023秋•聊城期中）如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是A． B． C．8 D．10（2023秋•福州期中）如图，已知的弦，半径于，，则的半径为．考查题型三弦心距（2022秋•台山市期末）如图，的半径为2，弦，则圆心到弦的距离为A．1 B． C． D．2（2022秋•凤阳县期末）如图，在中，于点．若的半径为10，，则的长为A．4 B．5 C．6 D．8考查题型四最值（2022秋•济源期末）如图，的半径为，弦的长为，是弦上一动点，则线段长的最小值为A．10 B． C．5 D．（2023秋•淮滨县期中）如图，的直径为10，弦的长为8，点在上运动，则的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为A．13 B．14 C．12 D．28考查题型五利用垂径定理求面积（2023•铜梁区校级一模）如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为A．9 B．15 C． D．（2023•肇源县一模）如图，的半径是2，直线与相交于、两点，、是上的两个动点，且在直线的异侧，若，则四边形面积的最大值是A． B．4 C． D．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为A． B． C． D．考查题型六垂径定理的应用（2023秋•长葛市期中）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米（2022秋•郾城区期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为A．5米 B．6米 C．7米 D．8米（2023•滕州市二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是A．1米 B．2米 C．米 D．米（2022秋•沈河区校级期末）如图所示，在中，为弦，交于点，且．为上任意一点，连接，，若的半径为，则的最大值为A． B． C． D．（2023•碑林区校级模拟）如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为A． B． C． D．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为A． B． C． D．

3.3垂径定理分层练习考查题型一利用垂径定理求线段长（2023•宜昌）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案．【解答】解：，，在中，，，．故选：．（2023•和县二模）如图，点是的弦上一点．若，，的弦心距为3，则的长为A．3 B．4 C． D．【分析】根据垂径定理可以得到的长，根据题意可知，然后根据勾股定理可以求得的长．【解答】解：作于点，如图所示，由题意可知：，，，，，，，故选：．（2022秋•齐河县期末）如图，的直径弦于点，连接．若，，则的长为A． B． C． D．【分析】连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接，，过圆心，，，，，，，，由勾股定理，得，故选：．（2022秋•泗洪县期末）如图，的半径为5，弦，，垂足为点，则的长等于A．2 B．2.5 C．3 D．4【分析】如图，连接，由垂径定理得，，由题意知，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．【解答】解：如图，连接，由垂径定理得，，由题意知，由勾股定理得，，，故选：．考查题型二利用垂径定理求半径、直径长（2022秋•金城江区期末）如图，线段是的直径，于点，若长为16，长为4，则半径是A．5 B．6 C．8 D．10【分析】连接，由垂径定理可得，设半径为，结合题意可得，在中，由勾股定理可得，然后代入求值即可获得答案．【解答】解：如下图，连接，线段是的直径，于点，，，设半径为，即，又，，在中，可有，即，解得，半径是10．故选：．（2023秋•聊城期中）如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是A． B． C．8 D．10【分析】作于，延长交于，连接，，由垂径定理，勾股定理即可求解．【解答】解：作于，延长交于，连接，，设，，，，，，，，，，，，直径长是，故选：．（2023秋•福州期中）如图，已知的弦，半径于，，则的半径为．【分析】设的半径为，则，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．【解答】解：设的半径为，则，，，，在中，，解得，即的半径为5．故答案为：5．考查题型三弦心距（2022秋•台山市期末）如图，的半径为2，弦，则圆心到弦的距离为A．1 B． C． D．2【分析】过作于，连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可．【解答】解：过作于，连接，，过圆心，，，，由勾股定理得：，即圆心到弦的距离为1，故选：．（2022秋•凤阳县期末）如图，在中，于点．若的半径为10，，则的长为A．4 B．5 C．6 D．8【分析】如图，连接．利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接．，，，，，故选：．考查题型四最值（2022秋•济源期末）如图，的半径为，弦的长为，是弦上一动点，则线段长的最小值为A．10 B． C．5 D．【分析】过点作于，连接，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：过点作于，连接，如图，，在中，，线段长的最小值为．故选：．（2023秋•淮滨县期中）如图，的直径为10，弦的长为8，点在上运动，则的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当时，的值最小．连接，在直角三角形中由勾股定理即可求得的长度．【解答】解：当时，的值最小，则，如图所示，连接，在中，，，则根据勾股定理知，即的最小值为3，故选：．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为A．13 B．14 C．12 D．28【分析】由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．【解答】解：连接，，，点、点关于原点对称，，，若要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，过点作轴于点，则、，，又，，；故选：．考查题型五利用垂径定理求面积（2023•铜梁区校级一模）如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为A．9 B．15 C． D．【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出，再根据三角形面积公式进行计算即可．【解答】解：是的直径，，，是的半径，，，是的中位线，，由于，可设，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），即，△，故选：．（2023•肇源县一模）如图，的半径是2，直线与相交于、两点，、是上的两个动点，且在直线的异侧，若，则四边形面积的最大值是A． B．4 C． D．【分析】过点作于，交于、两点，连接、、、、、，根据圆周角定理推出为等腰直角三角形，求得，根据已知条件即可得到结论．【解答】解：过点作于，交于、两点，连接、、、、、，如图，，，为等腰直角三角形，，，当点到的距离最大，的面积最大；当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形面积的最大值．故选：．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为A． B． C． D．【分析】根据垂径定理，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据平行线的判定，得出，再根据中位线的判定，得出为的中位线，再根据中位线的性质，得出，再根据勾股定理，得出，解出得到，根据即可求解．【解答】解：，，，是的直径，，，，为的中点，为的中位线，，，在中，，，解得：，，．故选：．考查题型六垂径定理的应用（2023秋•长葛市期中）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是．连接．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是连接．根据垂径定理，得，设圆的半径是，根据勾股定理，得，解得．故选：．（2022秋•郾城区期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【分析】以为圆心，连接、、，根据三线合一定理可得，，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，以为圆心，连接、、，由题意可得，为弧的中点，，，，，设，则，在中，，，，解得：，主桥拱所在圆的半径；由题意得，水面下降为，连接，水面下降1米，，则，，即水面的宽度为．故选：．（2023•滕州市二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是A．1米 B．2米 C．米 D．米【分析】连接，交于，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可．【解答】解：连接，交于，由题意得：米，，（米，，（米，米，即点到弦所在直线的距离是米，故选：．（2022秋•沈河区校级期末）如图所示，在中，为弦，交于点，且．为上任意一点，连接，，若的半径为，则的最大值为A． B． C． D．【分析】连接，如图，利用垂径定理得到，，再根据可得到，所以，由勾股定理，则．底不变，当高越大时面积越大，即点到距离最大时，的面积最大．则当点为所在优弧的中点时，此时，的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连接，如图，，，，，，．当点为所对的优弧的中点时，的面积最大，此时．的面积的最大值为：．故选：．（2023•碑林区校级模拟）如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为A． B． C． D．【分析】根据垂径定理求出，，，求出，求出，求出，解直角三角形求出