人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题第17章勾股定理单元测试(基础过关卷)(原卷版+解析)

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】第17章勾股定理单元测试（基础过关卷）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023秋•福田区期末）下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，62．(2023秋•绥化期末）△ABC的三边长分别为a、b、c，若满足a2＝b2+c2，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形3．(2023秋•景德镇期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2： C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：54．(2023秋•北林区期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2等于（）A．5 B．25 C．50 D．1005．(2023秋•新城区期中）线段AB在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（﹣1，4），B（﹣5，1），线段AB的长为（）A．5 B．4 C．4 D．36．(2023秋•邗江区校级月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm7．(2023秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米8．(2023秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．1699．(2023•天津模拟）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183 B．87 C．119 D．8110．(2023秋•南岸区期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．(2023秋•武侯区校级月考）在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝8，b＝15，则c＝；（2）若a＝9，c＝15，则b＝．12．(2023秋•姜堰区期中）若直角三角形两直角边平方和为36，则它的斜边长为．13．(2023春•绥江县期中）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）到原点的距离是．14．(2023秋•蒲江县校级期中）我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积为平方米．15．(2023秋•高邮市期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，则正方形B的面积为．16．(2023秋•西湖区校级期中）如图，一根2.5m长的木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7m，木杆的顶端沿墙面下滑0.4m，那么点B将向外移动m；木杆在下滑过程中，△ABC面积最大为m2．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）已知b＝2，c＝3，求a的值；（2）已知a：c＝3：5，b＝32，求a、c的值．18．(2023秋•槐荫区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．（1）求DC的长；（2）求AB的长．19．(2023秋•埇桥区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求AD的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．20．(2023秋•宿豫区期中）一架梯子AB长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离BC为5.1米．（1）求梯子的顶端与地面的距离AC；（2）如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？21．(2023•杭州模拟）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A'处时，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A'F．22．(2023秋•兴庆区校级期末）阅读下列文字，然后回答问题．已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），它们之间的距离P1P2＝．（1）已知A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离．（2）已知△DEF各顶点的坐标为D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．23．(2023秋•代县期末）综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】第17章勾股定理单元测试（基础过关卷）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023秋•福田区期末）下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算即可求解．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．故选：C．2．(2023秋•绥化期末）△ABC的三边长分别为a、b、c，若满足a2＝b2+c2，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为a、b、c，满足a2＝b2+c2，∴△ABC为直角三角形．故选：C．3．(2023秋•景德镇期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2： C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】A．应用股沟定理的逆定理进行计算即可得出答案；B．应用股沟定理的逆定理进行计算即可得出答案；C．应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案；D．应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案．【解答】解：A．设AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因为AB2+BC2＝（3a）2+（4a）2＝25a2，AC2＝（5a）2＝25a2，即AB2+BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；B．设AB＝a，BC＝2a，AC＝a，因为AB2+AC2＝a2+（a）2＝4a2，BC2＝（2a）2＝4a2，即AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；C．由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，可得∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意；D．因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以＝45°，＝60°，，所以△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意．故选：D．4．(2023秋•北林区期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2等于（）A．5 B．25 C．50 D．100【分析】利用勾股定理求解．【解答】解：在Rt△ABC中，斜边BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2＝25，故选：B．5．(2023秋•新城区期中）线段AB在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（﹣1，4），B（﹣5，1），线段AB的长为（）A．5 B．4 C．4 D．3【分析】根据勾股定理即可求解．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝5，故选：A．6．(2023秋•邗江区校级月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．7．(2023秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【分析】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选：C．8．(2023秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．【解答】解：设大正方形的边长为c，∵大正方形的面积是13，∴c2＝13，∴a2+b2＝c2＝13，∵直角三角形的面积是＝3，又∵直角三角形的面积是ab＝3，∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．故选：C．9．(2023•天津模拟）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183 B．87 C．119 D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：，，，，如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S4＝135﹣48＝87，故选：B．10．(2023秋•南岸区期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理得OB＝＝＝，OC＝＝＝，OD＝，按照这个规律，根据勾股定理得OI＝＝2，作HM⊥OI于点M，根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1，根据勾股定理得OB＝＝＝，在Rt△OBC，根据勾股定理得OC＝＝＝，在Rt△OCD，根据勾股定理得OD＝，按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理得OI＝＝2，如图，作HM⊥OI于点M，∴OI•HM＝OH•HI，∴×2×HM＝××1，∴HM＝，∴点H到OI的距离是．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．(2023秋•武侯区校级月考）在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝8，b＝15，则c＝17；（2）若a＝9，c＝15，则b＝12．【分析】根据勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解．【解答】解：（1）若a＝8，b＝15，则c＝；（2）若a＝9，c＝15，则b＝；故答案为：（1）17；（2）12．12．(2023秋•姜堰区期中）若直角三角形两直角边平方和为36，则它的斜边长为6．【分析】当∠C＝90°时，由勾股定理得，c2＝a2+b2＝36，可得c的值．【解答】解：当∠C＝90°时，由勾股定理得，c2＝a2+b2，∵直角三角形两直角边平方和为36，∴c2＝36，∵c＞0，∴c＝6，故答案为：6．13．(2023春•绥江县期中）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）到原点的距离是．【分析】点到原点的距离为点横坐标与纵坐标的平方和的平方根．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2），∴点A（1，﹣2）到原点的距离是：＝．故答案为：．14．(2023秋•蒲江县校级期中）我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积为24平方米．【分析】连接AC，由勾股定理求出AC＝5，再由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，然后由S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD，列式计算即可．【解答】解：如图，连接AC，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（米），在△ABC中，AB＝13米，BC＝12米，∵52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝AC•BC﹣AD•CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米），故答案为：24．15．(2023秋•高邮市期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，则正方形B的面积为10．【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，∴S正方形B+4＝20﹣6，∴S正方形B＝10．故答案为：10．16．(2023秋•西湖区校级期中）如图，一根2.5m长的木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7m，木杆的顶端沿墙面下滑0.4m，那么点B将向外移动0.8m；木杆在下滑过程中，△ABC面积最大为m2．【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2.5m，BC＝0.7m，∴AC＝＝＝2.4m，又∵AA′＝0.4m，∴A′C＝2.4﹣0.4＝2m，在Rt△A′B′C中，B′C＝＝1.5m，则BB′＝CB′﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m．如图，作AB边上的中线CD，在Rt△ABC中，CD＝AB＝×2.5＝1.25m．当CD为高时，△ABC取得最大面积为：×2.5×1.25＝m2．故答案为：0.8，．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）已知b＝2，c＝3，求a的值；（2）已知a：c＝3：5，b＝32，求a、c的值．【分析】（1）根据题意画出图形，直接根据勾股定理求出a的值即可；（2）设a＝3x，则c＝5x，再根据勾股定理求出x的值，进而得出结论．【解答】解：（1）如图所示：∵△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3，∴a＝＝＝；（2）设a＝3x，则c＝5x，∵a2+b2＝c2，即（3x）2+322＝（5x）2，解得x＝8，∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40．18．(2023秋•槐荫区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．（1）求DC的长；（2）求AB的长．【分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长；（2）在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝5，DB＝3，∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝52﹣32＝16，∴CD＝4．（2）在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝82﹣42＝48，∴AD＝4，∴AB＝AD+DB＝4+3．19．(2023秋•埇桥区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求AD的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）应用勾股定理，求出CD，再运用勾股定理即可求出AD；（2）判断出AC2+BC2＝AB2，即可判断△ABC为直角三角形．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，由勾股定理得：，在Rt△BCD中，由勾股定理得，（2）△ABC是直角三角形，理由：由（1）知：AD＝16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，在△ABC中，∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．20．(2023秋•宿豫区期中）一架梯子AB长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离BC为5.1米．（1）求梯子的顶端与地面的距离AC；（2）如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长即可；（2）根据梯子的顶端上升4.0米后，梯子底部在水平方向移动的距离，即可得出答案．【解答】（1）解：根据勾股定理可得，梯子的顶端与地面的距离为：（米），答：梯子的顶端与地面的距离为1.0米．；（2）解：梯子的顶端上升4.0米后，梯子的顶端与地面的距离为：A'C＝1.0+4.0＝5（米），此时梯子的底部离墙的底端的距离为：（米），梯子底部在水平方向移动的距离为：BB'＝5.1﹣1.4＝3.7（米），∵3.7≠4.0，∴梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4.0米．21．(2023•杭州模拟）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A'处时，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A'F．【分析】先证明△ACB≌△BFA'，即可得到A'F＝BC，再求出BC即可得到答案．【解答】解：∵A'F⊥BD，AC⊥BD于C，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，在△ACB和△BFA'中，，∴△ACB≌△BFA'（AAS），∴A'F＝BC，∵BD＝2.5m．AE＝CD＝1.5m，∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1m，即A'到BD的距离A'F为1m．22．(2023秋•兴庆区校级期末）阅读下列文字，然后回答问题．已知在平面内有两点P1（x