苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十三、反比例函数与菱形结合(原卷版+解析)

类型十三、反比例函数与菱形结合【解惑】点M为y轴上任意一点，点N为平面内任意一点，若以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标．方法：1.由菱形是由两个等腰三角形组成得菱形的三个点必形成等腰三角形三角形；2.由题已知定点C，D,动点M在y轴上，因此先利用两圆一线分类讨论求出M的坐标；3.再根据平行四边形坐标公式求出N坐标即可。【融会贯通】1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、B在反比例函数的图象上，横坐标分别为1，4，对角线轴．若菱形的面积为，则k的值为（

）A．4 B． C．5 D．62．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．3．如图，菱形的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数的图像上，则反比例函数的表达式为______．【知不足】1．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点．若菱形的面积为，则的值为________．2．如图，在平面直角坐标中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数的图象上，若，菱形的面积为，则k的值为_______．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．4.一次函数与反比例函数（）在第一象限内交于点D．(1)求点D的坐标；(2)若点P是y轴上一点，在平面内是否存在点Q，使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【一览众山小】1.如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形为菱形，D为菱形对角线与的交点，反比例函数在第一象限内的图像经过点A与点D，若菱形的面积为，则点A的坐标为________________．2．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．(1)填空：的值为__________，的值为__________；(2)以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；(3)观察反比例函数的图象，当时，请直接写出自变量的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．(1)求反比例函数的关系式；(2)设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B．(1)求反比例函数的表达式；(2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得的面积等于菱形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点，反比例函数的图像与BC，AB分别交于D、E，．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图像上．【温故为师】1．如图，菱形的对角线轴，它的顶点B在y轴上，C在x轴上，A的坐标为，反比例函数的图象正好经过A．D两点，若．求出反比例函数和直线的表达式．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．3．如图1，一次函数的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到．①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点、的坐标；②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．(1)求点A和点C的坐标；(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、B两点（点A在点B左边），过A、O两点作直线，与双曲线的另一交点为D，过B作直线AO的平行线交双曲线于点C．(1)则点A坐标为，点B坐标为；(2)点M在x轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点P在y轴上，连接PB，交直线AO于点E，连接CE、PA，且，求点P坐标．6．如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求点C的坐标；(3)点M是x轴上的一个动点．①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，7．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A、点，与轴交于点，其中点A的坐标为，点的横坐标为．(1)试确定反比例函数的关系式；(2)直接写出不等式的解集．(3)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标．类型十三、反比例函数与菱形结合【解惑】点M为y轴上任意一点，点N为平面内任意一点，若以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标．方法：1.由菱形是由两个等腰三角形组成得菱形的三个点必形成等腰三角形三角形；2.由题已知定点C，D,动点M在y轴上，因此先利用两圆一线分类讨论求出M的坐标；3.再根据平行四边形坐标公式求出N坐标即可。【融会贯通】1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、B在反比例函数的图象上，横坐标分别为1，4，对角线轴．若菱形的面积为，则k的值为（

）A．4 B． C．5 D．6【答案】C【详解】解：连接分别交轴于点E、F．由已知，A、B横坐标分别为1，4，∴，∵四边形为菱形，为对角线∴，∴，设点B的坐标为，则A点坐标为，∵点A、B同在图象上∴，∴，∴，2．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，∴，∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，∴DF=，即点D的纵坐标为，∵反比例函数的图象经过点和点，∴D（2m，），设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，将A（m，n），D（2m，）代入得：，解得：，∴AD所在的直线函数表达式为：，当y=0时，解得x=3m，∴C（3m，0），∴OA=OC=3m，在Rt△OAE中，AE=，∵菱形的面积为，∴OC×AE=，解得：m=，∴AE=，∴A（，2），3．如图，菱形的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数的图像上，则反比例函数的表达式为______．【答案】【详解】解：连接，交y轴于D，四边形为菱形，，且，，菱形的面积为8，，轴，，，反比例函数在第二象限，，．【知不足】1．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点．若菱形的面积为，则的值为________．【答案】10【详解】解：设菱形对角线交于点，点，，，在第一象限，，，又点在反比例函数上，，则．2．如图，在平面直角坐标中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数的图象上，若，菱形的面积为，则k的值为_______．【答案】【详解】解：延长交轴与点，设，∵四边形为菱形，∴，，∴，∴，∴，，∴菱形的面积为，∴，（舍去）；∴，∴，∴，∴．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．【答案】4.一次函数与反比例函数（）在第一象限内交于点D．(1)求点D的坐标；(2)若点P是y轴上一点，在平面内是否存在点Q，使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，分别为，，，【详解】（1）解：联立，解得：或（舍去），∴点D的坐标为；（2）解：由一次函数知，E点坐标为，∵点P是y轴上一点，∴设点P坐标为，设点Q的坐标为，则，，，①当时，即：，解得：，当时，点P坐标为，此时，要使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形，应满足：，解得：，∴此时点Q的坐标为；当时，点P坐标为，此时，要使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形，应满足：，解得：，∴此时点Q的坐标为；②当时，即：，解得：或（与点E重合，舍去），当时，点P坐标为，此时，要使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形，应满足：，解得：，∴此时点Q的坐标为；③当时，，即：，解得：，当时，点P坐标为，此时，要使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形，应满足：，解得：，∴此时点Q的坐标为；综上所述，存在这样的Q点，其坐标分别为，，，．【一览众山小】1.如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形为菱形，D为菱形对角线与的交点，反比例函数在第一象限内的图像经过点A与点D，若菱形的面积为，则点A的坐标为________________．【答案】2．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．(1)填空：的值为__________，的值为__________；(2)以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；(3)观察反比例函数的图象，当时，请直接写出自变量的取值范围．【答案】(1)，4；(2)(3)【详解】（1）解：把代入，∴，∴将代入，∴（2）一次函数与轴相交于点，，解得，点的坐标为，如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，，，，，，在中，，四边形是菱形，，，，轴，轴，，在与中，，，，，，点的坐标为；（3）令时，，∴，∴的取值范围为．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．(1)求反比例函数的关系式；(2)设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．【答案】(1)y(2)或【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图1所示．∵点的坐标为，，∵四边形为菱形，，三点共线，∴点坐标为．∵点在反比例函数y的图象上，；∴y；（2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为y，设点的坐标为，的面积是菱形面积的，，，或，或．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B．(1)求反比例函数的表达式；(2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得的面积等于菱形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；或，【详解】（1）解：延长交轴于点，∵四边形是菱形，∴，，∴轴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵点在双曲线上，∴，∴反比例函数的表达式为：；（2）解：存在；设点的横坐标为，∵，∴，∴，当时，，即：，当时，，即：；综上，存在点或，使的面积等于菱形的面积．5．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点，反比例函数的图像与BC，AB分别交于D、E，．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图像上．【答案】(1)，(2)(3)点G的坐标为或都在反比例函数图像上【详解】（1）∵，∴．∵，∴，所以点，将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得，故反比例函数表达式为，当时，，故点；【温故为师】1．如图，菱形的对角线轴，它的顶点B在y轴上，C在x轴上，A的坐标为，反比例函数的图象正好经过A．D两点，若．求出反比例函数和直线的表达式．【答案】反比例函数的表达式；直线的表达式为．【详解】解：菱形的对角线的交点为G，∵四边形是菱形，A的坐标为，∴，，∵．∴，∴，∴A的坐标为，D的坐标为，∴反比例函数的表达式；设直线的表达式为，∴，解得，∴直线的表达式为．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)2．5(3)存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形（1）解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（5，4），∴OC=AB=5，∵点D的坐标为（-3，0），∴OD=3，∴CD=8，∵点Q的运动速度为每秒2cm，点P的运动速度为每秒1cm，∴（2）：如图1，连接PM，由（1）可知点AP=t，点M的横坐标为5，∴点P的坐标为（t，4），∵点P在反比例函数上，∴，∴反比例函数解析式为，当时，，∴点M的坐标为（5，），∴，∴，∵，∴，∴，解得（负值已舍去）；（3）解：由题意得，DQ=2t，AP=t，点C的坐标为（5，0）∴点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），∴，，；当PQ=PC时，则，解得（不合题意，舍去）；当PQ=CQ时，，解得（负值已舍去）；当PC=CQ时，解得（负值已舍去）；综上所述，存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形．3．如图1，一次函数的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到．①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点、的坐标；②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．【答案】(1)，；(2)存在，点坐标为；(3)①点，，点，；②点的坐标为，或或．（1）解：将点代入一次函数，得，解得，一次函数的表达式：，将点代入反比例函数，得，反比例函数表达式：，（2）点的横坐标为3，过点作轴的平行线与该反比例函数的图像交于点，点，点，，设点，点到的距离等于它到轴的距离，，解得，点坐标为；（3）①连接，如图所示：根据平移的性质可得，直线的解析式：，联立，解得或（不合题意，舍去），点，，根据平移的性质，可得点，；②点，设直线的解析式：，代入点，得，解得，直线的解析式：，根据平移，可得，设直线的表达式为，直线的解析式为，设平移后的点为，则点，将点坐标代入，得，解得，直线的表达式为：，当时，，点，，，，以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当，为边时，，解得或（舍去），点，，当、为边时，，解得，点；当、为边时，，解得（舍或，点，综上，点的坐标为，或或．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．(1)求点A和点C的坐标；(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（1，0），C（3，-4）(2)t=2s(3)存在，点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．【详解】（1）解：∵y=-2x+2与x轴交于点A，∴0=-2x+2，得x=1，∴点A（1，0）；过点C作CH⊥y轴于点H，∴∠CHB=∠BOA=90°，∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，∴∠BAC=45°，又∵BC⊥AB，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB=BC，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，∴∠OAB=∠CBH，在△AOB和△BHC中，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，∴点C（a，-a-1），∵点C在直线l上，∴-a-1=-2a+2，∴a=3，∴C（3，-4）；（2）解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，∴1×3t=3×（-4+3t），∴t=2；（3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），则，，，当EF为对角线时，则PE=PF，即，∴，解得：b=，∴P（，0），点P（，0）向左平移个单位、向上平移3个单位到E（0，3），∴点F（3，2）向左平移个单位、向上平移3个单位到Q（3-，2+3），∴Q（，5）；当EP为对角线时，则EF=PF，即，∴，解得：b=+3或+3，∴P（+3，0）或（+3，0），当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；当EQ为对角线时，则EF=PF，即，∴，解得：b=1或-1，∴P（1，0）或（-1，0），当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、B两点（点A在点B左边），过A、O两点作直线，与双曲线的另一交点为D，过B作直线AO的平行线交双曲线于点C．(1)则点A坐标为，点B坐标为；(2)点M在x轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点P在y轴上，连接PB，交直线AO于点E，连接CE、PA，且，求点P坐标．【答案】(1)(-6，4)，(-3，8)(2)存在，或或或（10，-6）；(3)（0，-4）或（0，28）（1）解：联立得：，解得：或，∴点A(-6，4)，B(-3，8)；（2）解：根据题意得：点D与点A关于原点对称，∵点A(-6，4)，∴点D（6，-4），设直线AD的解析式为，把点A(-6，4)代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为，∵，∴可设直线BC的解析式为，把点B(-3，8)代入得：，解得：b=6，∴直线BC的解析式为，联立得：，解得：或，∴点C（12，-2），∴，设点M（a，0），点N（m，n），当CD=CM且DM和CN的中点重合时，，解得：或（舍去），∴点N的坐标为（0，-2）；当DM=CD且CM和DN的中点重合时，∴，解得：或，∴此时点N的坐标为或；当DM=DN且CD与MN的中点重合时，∴，解得：，∴此时点N的坐标为（10，-6）；综上所述，点N的坐标为（0，-2）或或或（10，-6）；6．如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求点C的坐标；(3)点M是x轴上的一个动点．①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，【答案】(1)反比例函数的关系式为：y=-；(2)C（-8，0）；(3)①M（-4，0）；②点N的坐标为：（2，4）或（，4）或（-8，8）．【详解】（1）解：∵点A的坐标为（-2，6），∴k=-2×6=-12，∴反比例函数的关系式为：y=-；（2）解：当x=-6时，y=-=2，∴B（-6，2），把点A（-2，6）和B（-6，2）代入y=ax+b得：，解得：，∴y=x+8，当y=0时，x+8=0，x=-8，∴C（-8，0）；（3）解：①设M（x，0），∵D（0，8），∴OD=8，∵=8，∴=8，∴×8×6-•(x+8)×2-×6(-x)=8，x=-4，∴M（-4，0）；②如图2，过A作AEy轴，过B作BEx轴，∵A（-2，6），B（-6，2），∴AE=BE=4，∴AB=4，过B作BF⊥x轴于F，如图2，则BF=2，分两种情况：①以AB为边，当M在F的右侧时，∵FM==2，∴OM=2-6，∴点M（2-6，0），根据“点B向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点A”的平移规律，可