北师大版七年级数学下册同步精讲精练4.1认识三角形-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)

4.1认识三角形知识点一知识点一三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.知识点知识点二三角形的分类按边分类：三角形三边都不相等的三角形按角分类：三角形直角三角形知识点知识点三三角形的内角和内角和定理三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．知识点知识点四直角三角形的性质直角三角形两个内角互余．知识点知识点五三角形的三遍关系三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．知识点知识点六三角形的三条重要线段（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．题型一认识三角形【例题1】（2022秋•玉州区期中）如图所示的图形中，三角形共有A．5个 B．6个 C．3个 D．4个解题技巧提炼此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答．【变式1-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【变式1-2】（2022•南岗区校级开学）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是①有两个角是的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2022秋•路南区期中）观察下列图形，其中是三角形的是A． B． C． D．题型二三角形的内角和定理【例题2】（2022秋•宜州区期中）已知中，，则图中的度数为A． B． C． D．解题技巧提炼本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和定理．知道剪去三角形的一个角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．【变式2-1】（2022秋•渝北区校级期中）如图，、都是的角平分线，且，则A． B． C． D．【变式2-2】将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝°．【变式2-3】定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30°，那么这个“特征角”α的度数为．题型三直角三角形的性质【例题3】（2022春•相城区校级期中）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④解题技巧提炼本题主要考查的是平行线、角平分线、三角形内角和定理，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余．【变式3-1】（2022秋•威县校级月考）有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是A．淇淇说的不对，就是 B．淇淇说得对，且的另一个值是 C．淇淇说得对，且的另一个值是 D．两人都不对，应有三个不同值【变式3-2】（2022秋•东莞市校级期中）在一个直角三角形中，一个锐角等于，则另一个锐角的度数是A． B． C． D．【变式3-3】（2022秋•崇川区期中）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则等于．题型四三角形三条重要线段【例题4】（2022秋•巴南区校级期中）下列说法中正确的是A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内解题技巧提炼本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式4-1】（2022秋•渝北区月考）下列各图中，作出的边上的高，正确的是A． B． C． D．【变式4-2】（2021秋•汇川区期末）如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是A． B． C． D．【变式4-3】如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型五有关三角形三条重要线段的计算问题【例题5】（2022秋•岑溪市期中）如图，已知的周长为，，边上中线，的周长为，则长为．解题技巧提炼考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到的长，题目难度中等．【变式5-1】（2022秋•洛龙区期中）如图，在中，已知点，，分别是，，的中点，的面积是4，则的面积是A．2 B．1 C．0.5 D．0.25【变式5-2】如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为．【变式5-3】（2022秋•南沙区校级期末）如图，中，是边上的中线，是中边上的中线，若的面积是28，则的面积．题型六三角形的三边关系【例题6】（2022秋•霸州市校级期末）已知一个三角形的两条边长分别为3和7，则第三条边的长度不能是A．11 B．9 C．8 D．7解题技巧提炼本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．【变式6-1】（2022秋•洛川县校级期末）若长度为，2，3的三条线段能组成一个三角形，则的值可能为A．6 B．5 C．1 D．3【变式6-2】（2022秋•屯昌县期中）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是A．，， B．，， C．，， D．，，【变式6-3】（2022秋•北京期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，3，6 D．4，6，104.1认识三角形知识点一知识点一三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.知识点知识点二三角形的分类按边分类：三角形三边都不相等的三角形按角分类：三角形直角三角形知识点知识点三三角形的内角和内角和定理三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．知识点知识点四直角三角形的性质直角三角形两个内角互余．知识点知识点五三角形的三遍关系三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．知识点知识点六三角形的三条重要线段（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．题型一认识三角形【例题1】（2022秋•玉州区期中）如图所示的图形中，三角形共有A．5个 B．6个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形的概念数出个数解答即可．【解答】解：三角形的个数有，，，，，共5个，故选：．解题技巧提炼此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答．【变式1-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．【解答】解：三角形根据边分类不等边三角形等腰三角形∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．故选：D．【变式1-2】（2022•南岗区校级开学）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是①有两个角是的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据等边三角形的判定方法逐项的可求解．【解答】解：①有两个角是的三角形是等边三角形，故符合题意；②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故不符合题意：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形是等边三角形，故符合题意；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形不一定是等边三角形，故不符合题意．所以等边三角形的个数为2个，故选：．【变式1-3】（2022秋•路南区期中）观察下列图形，其中是三角形的是A． B． C． D．【分析】在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．根据三角形的定义判断即可．【解答】解：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，故不是三角形；满足三角形的定义，故是三角形；有2条线段相交，没有首尾顺次相接，所以不是三角形，故不是三角形；有1条线段的观点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，故不是三角形．故选：．题型二三角形的内角和定理【例题2】（2022秋•宜州区期中）已知中，，则图中的度数为A． B． C． D．【分析】先根据三角形内角和定理求得的和是130度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得的值．【解答】解：，．，．故选：．解题技巧提炼本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和定理．知道剪去三角形的一个角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．【变式2-1】（2022秋•渝北区校级期中）如图，、都是的角平分线，且，则A． B． C． D．【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【解答】解：、都是的角平分线，，，，，故选：．【变式2-2】将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝°．【分析】先用三角形内角和定理求出角4的度数，即可得出结论．【解答】解：由题意得：∠2＝60°，∠3＝45°，根据三角形的内角和得，∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°，∴∠1＝∠4＝75°，故答案为：75．【变式2-3】定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30°，那么这个“特征角”α的度数为．【分析】可分三种情况：当“特征角”为30°时；当β＝30°时；当第三个角为30°时，根据“特征角”的定义，结合三角形的内角和定理分别计算即可求解．【解答】解：当“特征角”为30°时，即特征角”α＝30°；当β＝30°时，“特征角”α＝2×30°＝60°；当第三个角为30°时，“特征角”12综上，这个“特征角”α的度数为30°或60°或100°．故答案为30°或60°或100°．题型三直角三角形的性质【例题3】（2022春•相城区校级期中）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【解答】解：①，，又是的角平分线，，故正确；④无法证明平分，故错误；③，，平分，，．，且，，即，，故正确；②，，，，，，，故正确．正确的为：①②③，故选：．解题技巧提炼本题主要考查的是平行线、角平分线、三角形内角和定理，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余．【变式3-1】（2022秋•威县校级月考）有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是A．淇淇说的不对，就是 B．淇淇说得对，且的另一个值是 C．淇淇说得对，且的另一个值是 D．两人都不对，应有三个不同值【分析】由轴对称的性质得到，，，分两种情况，应用三角形内角和定理，平角定义列出关于的方程，求出即可解决问题．【解答】解：，，，，关于对称，，，，令，则，，，，中有两个内角相等，只有，，当时，，，；当时，，，，或．故选：．【变式3-2】（2022秋•东莞市校级期中）在一个直角三角形中，一个锐角等于，则另一个锐角的度数是A． B． C． D．【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解．【解答】解：在一个直角三角形中，一个锐角等于，另一个锐角的度数是：．故选：．【变式3-3】（2022秋•崇川区期中）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则等于．【分析】求出，即可解决问题．【解答】解：，，，由折叠可知，，，故答案为：．题型四三角形三条重要线段【例题4】（2022秋•巴南区校级期中）下列说法中正确的是A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．【解答】解：、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法错误，不符合题意；、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故本选项说法错误，不符合题意；、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意；、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；故选：．解题技巧提炼本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式4-1】（2022秋•渝北区月考）下列各图中，作出的边上的高，正确的是A． B． C． D．【分析】根据三角形高的定义，过点与边垂直，且垂足在边上，然后结合各选项图形解答．【解答】解：根据三角形高线的定义，只有选项中的是边上的高．故选：．【变式4-2】（2021秋•汇川区期末）如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是A． B． C． D．【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义即可得到，，．进而判断即可．【解答】解：，，分别是的中线，角平分线，高，，，，故选项、、正确，选项错误，故选：．【变式4-3】如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．题型五有关三角形三条重要线段的计算问题【例题5】（2022秋•岑溪市期中）如图，已知的周长为，，边上中线，的周长为，则长为．【分析】先根据周长为，，，由周长的定义可求的长，再根据中线的定义可求的长，由的周长为，即可求出长．【解答】解：，，周长为，，是边上的中线，，的周长为，．故长为，故答案为：．解题技巧提炼考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到的长，题目难度中等．【变式5-1】（2022秋•洛龙区期中）如图，在中，已知点，，分别是，，的中点，的面积是4，则的面积是A．2 B．1 C．0.5 D．0.25【分析】根据点是的中点，可得的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积，的面积，从而可求出的面积，然后再根据点是的中点，可得的面积的面积，进行计算即可解答．【解答】解：点是的中点，的面积是4，的面积的面积的面积，点是的中点，的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积的面积，点是的中点，的面积的面积，故选：．【变式5-2】如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为．【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ACD的周长28cm，∴AC+AD+CD＝28（cm），∵AC＝10cm，∴AD+CD＝28（cm），即AD+BD＝28（cm），∵AB＝13cm，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝41（cm），故答案为：41cm．【变式5-3】（2022秋•南沙区校