2023届高考数学导数满分通关：函数的最值

专题09函数的最值

考点一求已知函数的最值

【方法总结】

导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤

(1)求函数兀0的导数/(X)；

(2)求/(x)在给定区间上的单调性和极值；

(3)求人x)在给定区间上的端点值；

(4)将./(X)的各极值与｛x)的端点值进行比较，确定“V)的最大值与最小值；

(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.

【例题选讲】

［例1］⑴函数/(x)=hu，-x在区间(0,e］上的最大值为.

答案一1解析［(x)=1一l,令/(x)=0得x=l.当xd(0,1)时,/(x)>0；当xd(l,e］时

X

当X=1时，兀0取得最大值，且/(x)max=/(l)=ln1—1=-1.

(2)函数寅x)=¥+x—21nx的最小值为.

答案:解析因为/(x)=x+l—2=妇辿二D(x>0),所以人劝在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)

2xx

上单调递增，所以大X)min=7(1)=；+1=；.

(3)已知函数y(x)=；x3+加32+〃工+2,其导函数/(X)为偶函数，7(1)=-则函数8(工)=/(工户在区间［0,

2］上的最小值为.

答案一2e解析由题意可得/(X)=X2+2〃LY+〃，•./(x)为偶函数，，加=。，故

171

・••/(1)=”+2=3.廿-3..W)=/_3X+2,则〃X)=X2-3.故/尸式NT),则g，(x)=Q

—3+2x)=H(x—l>(x+3),据此可知函数g(x)在区间［0,1)上单调递减，在区间(1,2］上单调递增，故函数

g(x)的极小值，即最小值为g(l)=el-(l2-3)=-2e.

(4)已知函数；(x)=2sinx+sin2x,则加:)的最小值是.

答案一孚解析；；心)的最小正周期7=2兀，求兀V)的最小值相当于求寅x)在［0,2利上的最小

值./(工)=28立+2©052工=28&¥+2(2852%-1)=4852%+2(：08^—2=2(2(：0&¥—1)908^+1),令“¥)=0,解得

8&¥=；或COSX=-1,X£［0,2兀］..••由CO&X=­1,得X=7l；由cosx=g,得冗=$或冗=；.二•函数的最值

只能在导数值为0的点或区间端点处取到,/(兀)=25缶兀+5皿271=0,/日=25访：+5［11与=^^,/卜)=

X0)=0,人2兀)=0,.\Ax)的最小值为一平.

(5)设正实数x,则/&)=*的值域为.

答案'e解析令lnx=E,则““尸弓，令《=加，心0,・・.力(加)=也，

erewe2/w

令〃(M=0,解得机=1,当03n<1时，h'(m)>0,函数〃(m)单调递增，当沦1时,h'(m)<Q,函数gn)单调

递减，...〃(/M)max=〃(l)=L：/(0)=0,当加1+8时，僦加)-0,；./(X)=单的值域为“L.

exlnx

(6)已知函数./(x)=ehix和g(x)=x+l的图象与直线y=〃z的交点分别为P(xi,川)，0(x2，㈤，则亢1一足

的取值范围是()

p,+°°1+001

A.[1,+oo)B.[2,+8)C.[2JD.L2J

答案A解析由题意知/(xD=g(X2),所以elnxi=X2+l,即》2=elnxi-1,则x1一X2=xi—elnxi+1,

xi>0.令〃a)=x-elnx+l(『>0),则〃(x)=l—当x>e时，/。)>0,当0<x〈e时，/if(x)<O所以砥0

XXf

在(0,e)上单调递减，在(e,+oo)上单调递增，所以〃(x)min=a(e)=1.又当x-0.时，万㈤一十刃，当x-十

8时，〃(x)—+8,所以〃(X)在(0,+oo)上的值域为[1,4-co),所以X|一X2的取值范围为[1,+8).

(7)已知不等式ex—l>Ax+lnx对于任意的x《(0,+oo)恒成立，则k的最大值为.

答案e—1解析Vxe(O,+oo),不等式e"—l》Lt+lnx恒成立，等价于Vx£(O,+oo),A<---~也^

x

恒成立，^(p(x)=eA-1-lnx(x>0),则当xe(o,1)时，d(x)<0,当%e(l,+8)时，d(x)>0,

XX2

；・9(尢)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，，研x)min=9(l)=e-1,・••仁e—1.

v-|—pIH

(8)(多选)设函数/(x)=££,则下列选项正确的是()

A./)为奇函数B.Hx)的图象关于点(0,1)对称

C._/(x)的最大值为1+1D._/(x)的最小值为一1+1

ee

答案BCD解析人x)=?+l,不满足负一x)=一/)，故A项错误；令g(x)=，，则以一》)=辞=二三

e凶e囚d川e国

=一蚣)，所以g(x)为奇函数，则人X)关于点(0,1)对称，B项正确；设危)=系+1的最大值为则蛉)

e同

的最大值为M-1,设小尸片+1的最小值为N,则g(x)的最小值为NT,当x>0时，g(x)=工，所以g'(x)

1—y

=——，当OVxVl时，g，(x)>0,当x>l时，g，(x)VO,所以当OVxVl时，g(x)单调递增，当x>l时，

g(x)单调递减，所以g(x)在x=l处取得最大值，最大值为g(l)=1，由于g(x)为奇函数，所以g(x)在X=-1

e

处取得最小值，最小值为g(—1)=一1，所以作)的最大值为用=1+1,最小值为N=-'+l,故C、D项

eee

正确.故选B、C、D.

［例2］已知函数/(x)=e'cosx—x.

⑴求曲线尸危)在点(0,./(0))处的切线方程；

(2)求函数人只在区间L2」上的最大值和最小值.

解析(1)因为/fjOne'cosx—x,所以/(x)=e，(cosx-sinx)—1,/(0)=0.

又因为/(0)=1,所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=l.

(2)设/?(x)=e'(cosx—sinx)—1,则h'(x)=ex(cos%—sinx—sinx—cosx)=­2ersinx.

当xG10'42j时，h\x)<0,所以〃(x)在区间L0'支2」上单调递减.

司矶

所以对任意xelf'o2」，有〃(x)</;(0)=0,即/(x)<0.所以函数«r)在区间Fo‘2」上单调递减.

因此外)在区间"5上的最大值为的)=1,最小值为为=一

［例3)(2017•浙江)已知函数.危)=。一\6=

(1)求人x)的导函数；

--U解…

当X变化时，网,/(X)的变化如下表:

15

X1

2即132仔+q

一0+0一

1115

用)-e—0-e—

2222

/Q=^e—p,/(1)=0,7^)=^e—|,则人尤)在区间；，+°°)上的最大值为(eg.

又於)=(x一诉二1把一"=；(诉=1-l)2e-v>0.

「1工］A1n

综上，加)在区间|_2，J上的取值范围是LF22_

［例4］(2021•北京)已知函数以)=^^.

x2+a

(1)若a=0,求夕=/(x)在(1,{1))处的切线方程；

(2)若函数y(x)在》=-1处取得极值，求人x)的单调区间，以及最大值和最小值.

解析(1)当〃=0时，/(x)=—,则/(》)=/(-2)-：3-涮&=与6.

X2X4X3

当x=l时，/(1)=-4,

故y=/(x)在(1,7(I))处的切线方程为y—1=—4(x—1),整理得4x+y—5=0.

⑵已知函数外)=守，则&)=(/+次一?一『2》)&=2(七3*7).

x2+a(x2+a)2(x2+a)2

若函数兀0在x=-l处取得极值，则八一1)=0,即第2=0,解得。=4.

经检验，当。=4时，x=-1为函数/(x)的极大值，符合题意.

此时倜二号,其定义域为R"㈤=型"

令/(x)=0,解得制=-1,X2=4..危)，/(X)随X的变化趋势如下表:

X(-00,-1)-1(-1.4)4(4,+oo)

+0一0+

以)/极大值极小值/

故函数兀V)的单调递增区间为(一8,-1),(4,+oo),单调递减区间为(一1,4).

由上表知/(x)的极大值为/(—1)=1,极小值为/(4)=—L

又因为x<|时，"0；x>|时，.危)<0,

所以函数人外的最大值为八一1)=1,最小值为火4)=-1.

4

—工3~|~丫2,x^-1,

［例5］已知函数y(x)=-''

qlnx,x>l.

(1)求<X)在区间(一8,1)上的极小值和极大值；

(2)求人x)在［-1,e］(e为自然对数的底数)上的最大值.

解析(1)当x<l时，/(X)=-3X2+2X=-X(3X-2),

令/(x)=0,解得X—0或x=~.

当X变化时，/(X),火幻的变化情况如下表:

2

X(—8,0)0

3即

f(x)—0+0—

./w极小值极大值

故当x=0时，函数/(X)取到极小值，极小值为./(0)=0,

当x=|时，函数y(x)取到极大值，极大值为_^=上.

(2)①当一1%vl时，根据(1)知，函数大x)在［-1,0)和1)上单调递减，在_0':上单调递增.

因为人-1)=2,£1=捺，10)=0,所以外)在［-1,1)上的最大值为2.

②当l-e时，./(x)=alnx,当好0时，/(x)$0；

当a>0时，段)在［1,e］上单调递增.则以)在［1,e］上的最大值为J(e)=a.

故当它2时，｛x)在［-1,e］上的最大值为a；

当a<2时，八x)在［-1,e］上的最大值为2.

【对点训练】

1.函数在［0,2］上的最大值是()

121

A.-B・白C.0D.+

ee22\e

1.答案A解析易知了=二三，xe［0,2］,令y>0,得0夕<1,令y'VO,得IV烂2,所以函数y

=工在［0,1］上单调递增，在(1,2］上单调递减，所以y=工在［0,2］上的最大值是ymax=L故选A.

ere

2.函数危)=2x—Inx的最小值为.

17r——1i1

11

2.答案l+ln2解析危)的定义域为(0,+oo),=当Oav^•时，/(X)〈0；当x》时，

xx22

/O0..7/(x)在O'J上单调递减，在+°°)上单调递增，.4)min=/@=lTn3=l+ln2.

3.已知/(x)=2x3—6/+加(加为常数)在［―2,2］上有最大值3,那么此函数在［-2,2］上的最小值是()

A.-37B.-29C.-5D.以上都不对

3.答案A解析•••/(x)=6x2—12x=6x(x-2),在(一2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，，

x=0为极大值点，也为最大值点，.；/(0)=机=3,；.加=3..\/(—2)=—37,人2)=—5..•.最小值是一

37.故选A.

4.已知函数兀v)=x+2sinr,xG［O,2n］,则7(x)的值域为()

A."X间C.停+e2.

D.[0,2兀]

4.答案D解析f(x)=1+2co&x,%G[0,2K],令/(X)=0,得cosx=-J.•.》二年或x=g,又/[3)

p>7i|12T?|

=y+^,后)号-S/(0)=0,<2兀)=2兀，.⑴=个_2s<0,.V(0)</-l3j</l3j</(2n),

•*../(X)max=X2lt)—271>Xx)min=/(0)=0,.\/(X)的值域为[0,27tl.

5.设0〈x。，则函数尸2-cosx的最小值是

sinx

5.答案3解析片西可詈回=量.因为—所以当广加时,卢。；当

时，y'<0.所以当x=:时，ymin=3.

6.若曲线^=心「+鼻(一一1)存在两条垂直于y轴的切线，则加的取值范围为.

”Io]掰

6.答案Ie4J解析由题意可得，y=(x+l)ex---：=0,即〃z=(x+1)3cx在(一8,—1)上

。+1)

有两个不同的解.设危)=(工+1)3^(工〈一1),/(尤)=(工+1)2可(工+4).当xv—4时，/(x)〈0；当一4Vx〈一1

27(-21()]

时，/(x)>0.所以<X)min=A-4)=一—，当X<一1时，Ax)<0,故机e4'J.

e4

7.已知实数x,歹满足4、+9，=1,则2•巾+3>山的取值范围是______.

7.答案(2,V13]解析由4，+9"=1得22、+32>=1,3>=十一2汽其中2筋6(0,1),所以2'6(0,

1),所以2-1+3>'+1=2'2，+3'3"=2'2，+3/予，令f=2l则/(f)=2f+3后彳则/(。=2—

q=,令/⑺=2一J占=。得♦=噜，所以函数7W在1'嘤)上单调递增，在偿I上单调

12Vm

递减，且/(0)=3,A13J=亚，­)=2,所以2巾+3内的取值范围为(2,V13].

8.己知函数｛r)=lm—"，其中xG【l，+8),若不等式y(x)W()恒成立，则实数0的取值范围为()

f1—」工+oo]

A.[1>+°°)B.l-8,ejC.LeJD.+°°)

8.答案C解析当xG【l，+8)时，不等式/(x)WO恒成立等价于地上在[1，+8)上恒成立，

X

令g(x)="，贝"g'(x)=^一当O〈xve时，gr(x)>0；当x>e时，gr(x)<0；所以g(x)max=g(e)=L所以

xx1e

a^~.故选C.

e

9.已知函数｛x)=R—3x—l,若对于区间[-3,2]上的任意制，X2,都有1/(XD-/U2)|WK则实数，的最小

值是()

A.20B.18C.3D.0

9.答案A解析因为/(工)=3工2—3=3(工一1)(工+1),xE［-3,2］,所以於)在［-1,1］上单调递减，

在［1,2］和［—3,—1］上单调递增.八-3)=—19,大-1)=1,义1)=一3,负2)=1,所以在区间［—3,2］

上，4v)max=l,./(x)min=-19,又由题设知在［-3,2］上依］)一加2)|勺(外网一於)0^=20,所以，220,故

选A.

10.(多选)已知函数/3)=皿，g(x)=xei,若存在X|W(O,+oo),x2eR,使得7(xi)=g(X2)=%/V0)成立,

X

则下列结论正确的是()

A.Inx\=X2B.ln(­X2)=­xi

C.田2W的最大值为WD.O&e*的最大值为4

e2e2

答案AC解析由｛)得也&.,.0<<l,x<0.由(*)可得

10.xi)=g(X2=A(AV0),=X2e—X2<0(*),Xl2

Xi

—此也=—X2e—X2>0,两边同时取对数可得ln(—Inxi)—In修=ln(一也)一》2.*•>函数y=\nx+x在(0,

x\

+s)上为增函数，...一lnxi=—%2,.•・lnxi=X2,・=®*=Z,故设/?(左)=庐・淤(%〈0),

XiX［

k2

：.h\k)=e(k+2k)9由次(%2+2%)>0,可得ZV—2,故〃(%)在(一8,—2)上单调递增，在(一2,0)上单

调递减，故M£)max=/?(—2)=4，因此H.y的最大值为综上，AC正确.

e2e2

11.设函数/(X)=R2+1一出工.

⑴求火X)的单调区间；

12一

(2)求函数g(x)=/(x)—x在区间匕」上的最小值.

11.解析(1)易知外)的定义域为(0,+oo),/(x)=2x--,

X

由/(x)>0,得x>当由/(x)<0,得0<x<*.

.•.{x)的单调递减区间为当，单调递增区间为停’十°°1

(2)由题意知g(x)=x2+1—Inx~x,gf(x)=2x—~—1=(入+一。

XX

由g'(x)>。，得x>1,由gr(x)<0,得0<x<l,

••.g(x)在，'［上单调递减，在(1,2］上单调递增，...在上，g(x)的最小值为g(l)=l.

ax2+bx+c

12.已知函数兀v)=-------(a>0)的导函数/(x)的两个零点为一3和0.

ex

(1)求7(x)的单调区间；

(2)若兀0的极小值为一e3,求人x)在区间［-5,+8)上的最大值.

(2ax+。贮一(af+•加+(2a-6)x+b—c

解析(1W)=

令S(x)~~ax2-^-(2a—b)x+b—c,

因为ev>0,所以/(x)的零点就是g(x)=-〃/+(2.-6)x+b—c的零点，且/(x)与g(x)符号相同.

又因为心0,所以当一3Vx<0时，g(x)>0,即f(x)>0,

当x<—3或x>0时，g(x)<0,即/(x)〈0,

所以/(X)的单调递增区间是(一3,0),单调递减区间是(一00,-3),(0,+8).

(2)由⑴知,x=—3是人》)的极小值点，

9a~3b+c

ft-3)=—~---e3,

所以有,小,二

g(0)=6—c=0,

g(-3)——9a—3(2a—b)-hb—c—0,

x*2-I-5x-I-S

解得a=l,b=5,c=5,所以/(x)=----:---.

ev

由(1)可知当x=0时段)取得极大值.40)=5,

故於)在区间［—5,+oo)上的最大值取/(—5)和大0)中的最大者.

而火-5)=a=5e5>5=/(0),

e5

所以函数y(x)在区间［-5,+oo)上的最大值是5e5.

13.(2019・全国HI)己知函数HX)=2J3—办2+2.

(1)讨论外)的单调性；

(2)当0<"3时，记人初在区间［0,1］的最大值为最小值为加，求M一m的取值范围.

13.解析的定义域为R,/(X)=6X2—2"X=2X(3X—〃).令/(x)=0,得x=0或x=；.

若心0,则当xG(—8,O)uk+8)时，/(x)>0,当xM力时，/(x)〈0,

故兀V)在(一8,0),+°°)上单调递增，在3上单调递减；

若。=o,则人不)在(-8,+oo)上单调递增；

若"0,则当xe〔一8,fu(0,+co)时，/(x)>0,当xet，°)时，/(x)vo,

故_/(x)在［一孙3,(0(+8)上单调递增，在°)上单调递减.

'T上单调递减，在R'1)上单调递增，所以./(X)在［0,1］的最小值为

(2)当0＜。＜3时，由(1)知，.

^+2,最大值为X0)=2或次1)=4一心

2—a0<a<2,

4—a,0<a<2,.

于是m=----1-2,M=所以M—rn—32*3.

272,2<a<3.

①当0＜。＜2时，可知y=2—。+台单调递减，所以加一机的取值范围是［了’2).

②当2%＜3时，夕=号单调递增，所以加一机的取值范围是昌’D

综上，“"的取值范围是岛4

考点二已知函数的最值求参数的值(范围)

【例题选讲】

［例1】(1)函数负x)=x3-3x2—9x+A在区间［-4,4］上的最大值为10,则其最小值为.

答案一71解析/(x)=3x2—6x—9=3(x—3)(x+l).由/(x)=0得x=3或x=-l.又八一4)=%—76,

{3)=%—27,火-1)=后+5,犬4)=左一20.由Hx)max=a+5=10,得左=5,.\Xx)min=2-76=-71.

(2)若函数_/(x)=asinx+卜n3x在x=；处有最值，则。等于()

A.2B.1C.-D,0

3

答案A解析区)在尸：处有最值，技函数於)的极值点.又/(x)=〃c°sx+c°s3x,，周

=acos-+cos7t=0,解得a=2.

(3)函数/(x)=3x一始在区间(序―12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是.

2

答案(一1,2］解析/(x)=3-3x=-3(x+l)(%-1),令/(x)=0,得xi=-1,x2=l.当x变化时,

/(x),/(x)的变化情况如下表：

X(—00,-1)-1(-1，1)1(1,+8)

/(X)—0+0一

火X)极小值一2极大值24

又由力一/=一2,得(》+1/(》-2)=0.；.X3=-1,X4=2.在开区间(标一12,a)上有最小值，

CT—12<—1<ZZ,

最小值一定是极小值・・•・,解得一1々32.

aW2,

(4)已知函数人工)=瓜丫-or存在最大值0,则a—.

答案-解析x>0.当aWO时，/(x)=L—。>0恒成立，函数段)单调递增，不存在最

exx

大值；当〃>0时，令/(x)=1一a=o,解得x=l.当0<x<l时，/(x)>0,函数｛x)单调递增；当时,

xaaa

/(x)<0,函数/(x)单调递减..\/(x)max=/E)=lnL—1=0,解得a=L

ae

上有最大值，则。的取值可能为()

A.—6B.—5C.—4D.—3

答案ABC解析令/(x)=2x(3x-a)=o,解得制=0,》2=：他<0),当:<x<0时，/(x)<0；当x<

;或x>0时，〃x)>0,则以)的单调递增区间为卜°°'力，(0,+8),单调递减区间为

P,()］

bJ,从而危)在工

=:处取得极大值月=一祟由/)=一第得卜肥+工。,解得X-T，又於)在甘制

36

上有最大值，所以gv竺&一旦，解得好一4.所以选项A,B,C符合题意.

336

(6)设函数人》)=。*—cosx—2a,g(x)=x,若存在内，X2^［0,用使得./(xi)=g(x2)成立，则冷一xi的最小

值为1时，实数。=()

A.—1B.——C.-D.1

22

答案B解析令尸(x)=/(x)—虱工)=。*—cosx—x—2a,由/(x［)=g(x2)得X2=e\—COSXL2〃，则由一

x\=ex\—cosX］—x\—2a,则也一x1的最小值即尸(x)在［0,兀］上的最小值.'.•F'a)=e"+sinx—1K)恒成立，x

G［0,呼，如)在［0,兀］上单调递增，."(X)min=F(0)=-2a=(X2-X|)min=l,."=一3.

【对点训练】

1.已知函数人x)=2%3-6x2+”在［-2,2］上有最小值一37,则a的值为,/)在［-2,2］上

的最大值为.

1.答案33解析〃x)=6F—12x=6x(x-2).由〃x)=0,得x=0或x=2.当x变化时，/(x),/(x)

的变化情况如下表:

X-2(-2,0)0(0.2)2

/(X)+0—0

兀0-40+«极大值a-8+a

所以当X=—2时，/(x)min=—40+。=—37,所以。=3.

所以当x=0时，./(x)取得最大值3.

2.若函数y=x3+$2+加在［-2,1］上的最大值为玄则〃?等于()

A.0B.1C.2D.-

2

2.答案C解析y=3x2+3x=3x(x+l),易知当一IvxvO时，JO,当一2<t<-1或0〈x〈l时，•/>0,

所以函数了=始十1%2+机在(-2,-1),(0,1)上单调递增，在(一1,0)上单调递减，又当》=一1时，y

=w+-,当x=1时，y="i+.，所以最大值为机+'=2,解得施=2.

2222

2.已知函数7(X)=X3+3X2-9X+1,若兀r)在区间伏，2］上的最大值为28,则实数上的取值范围为()

A.［-3,+oo)B.(_3,+oo)C.(—co,-3)D.(—co,—3］

2.答案D解析由题意知八x)=3x?+6x—9,令/(x)=