2022年黑龙江高考文科数学真题及答案

2022年黑龙江高考文科数学真题及答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,【分析】先求得a--然后求得日一

只有一项是符合题目要求的.【详解】因为4-6=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以*4=也2+(—3)2=5.

1.集合/={2,4,6,8,10},N={N_1VXV6},贝IJMN=O

故选：D

A.{2,4}B.{2,4,6)C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h),得如下茎叶图:

【答案】A

甲乙

6\5.

【解析】

85306.3

【分析】根据集合的交集运算即可解出.75327.46

64218.12256666

9.0238

【详解】因为M={2,4,6,8,10},^={x|-l<x<6},所以河口2={2,4}.42

10.1

故选：A.则下列结论中错误的是()

2.设(l+2i)a+匕=2i,其中。力为实数，则OA.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

A.a=l,b=-1B.a=l,b=lC.a=—l,b=lD,a=-\,b=-1B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

【答案】AC.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于04

【解析】D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.【答案】C

【详解】因为。泊iR,(a+b)+25=2i,所以a+b=0,%=2,解得：a=tb=-\.【解析】

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.

故选：A.

3.已知向量a=(2,1)石=(-2,4),则卜耳()【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为尊"'=7.4,A选项结论正确.

A.2B.3C.4D.5对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

【答案】D6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1

=8.50625>8

16

【解析】

B选项结论正确.转化目标函数z=2x—y为y=2x-z,

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值以=0.375<0.4,上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，

16

所以2皿=2x4-0=8.

C选项结论错误.

13故选：C.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值7=0.8125>0.6,

16

6.设F为抛物线C:y?=4x的焦点，点A在C上，点3(3,0),若贝"的=()

D选项结论正确.

A.2B.2>/2C.3D.3V2

故选：C

【答案】B

x+y..2,

【解析】

5.若x,y满足约束条件<工+2为4,则z=2x-)，的最大值是()

%0,

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可

A.-2B.4C.8D.12得到答案.

【答案】C

【详解】由题意得，户(1,0),则|AF|=|8F|=2,

【解析】

即点A到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

不妨设点A在x轴上方，代入得，A(l,2),

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

所以|A却=^(3-1)2+(0-2)2=2.

故选：B

7.执行下边的程序框图，输出的〃=()

12।-12।

--2=—r-2=--<0.01,此时输出〃=4.

a~12~144

/输入a=1,b=1,n=

故选：B

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是()

y

/输出“/

(结束)

A.3B.4D.6

2ACOSX2sin犬

D.y

x2+\2

【答案】BA+1

【解析】【答案】A

【解析】

【分析】根据框图循环计算即可.

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】执行第一次循环，6=。+2々=1+2=3,

【详解】设/(*)=：♦，则/(1)=0,故排除B:

-2=->0.01；2xcosx

4设九(x)=当时，Ovcosxvl,

X2+1

执行第二次循环，b=b+2a=3+4=7,

所以〃")=空洋〈号VI,故排除C;

X“+1x~+\

设g(x)=^W，贝Ug(3)=与黑>0,故排除D.

4-2=72

2=—>0.01；『+110

25

故选：A.

执行第二:次循环，6=8+24=7+10=17,

9.在正方体A8CO-ASCQ中，E,尸分别为A民BC的中点，则()

A.平面4Er_L平面80。已平面用后厂,平面人刀。

C.平面用EF〃平面AACD.平面旦EF〃平面AG。5dzl可取…2T),

【答案】A

【解析】同理可得平面ABD的法向量为,4=(1,-1,-1),

【分析】证明所J_平面3。0，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A5=2,分平面AAC的法向量为2=(1,1,0),

别求出平面与七尸，ABD,AC。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.平面ACQ的法向量为%=(1,1,-1),

【详解】解：在正方体ABC。-中，

贝=2-2+1=1声0,

ACJ_B£)且人平面ABCQ,

所以平面B,EF与平面A,BD不垂直，故B借误;

又Mu平面A8CO,所以EF工DR,IU

因为/〃与々不平行，

因为EF分别为4氏8。的中点，

所以平面与£尸与平而AAC不平行，故C错误:

所以所IAC,所以EFLBD,

因为加与均不平行，

又BD「D[=D,

所以平面鼻石尸与平面ACQ不平行，故D错误，

所以所_L平面8。〃，

故选：A.

又£Fu平面旦EF,

所以平面与破，平面B。％,故A正确：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，

则4(2,2,2),E(2,l,0),〃(I,2,0),B(2,2,0)，A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

G(0,2,2),

则E尸=(—1,1,0),鹤=(0,1,2),08=(220),。4=(2,0,2),

M=(0,0,2)MC=(-2,2,0),AG=(-2,2,0),

设平面B,EF的法向量为〃?=(不加zj,

A.14B.12C.6D.3

【答案】D在区间(枭回上/'(6<0,即小)单调递减，

【解析】

又〃。)=〃2)=2,/6)=>2./用=-(与+1)+1=_与，

【分析】设等比数列｛〃”｝的公比为夕，。彳0,易得夕=1,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通7t

项即可得解.

所以“X)在区间[0,2可上的最小值为一毛，最大值为^+2.

【详解】解：设等比数列｛q｝的公比为名夕=0,

故选：D

若4=1,则/一%=0，与题意矛盾，

12.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最

所以夕H1,

大时，其高为()

4(1一4‘)/c[%=96

皿4+%+&=-----=168

则「-3],解得〈1,A.-B.JC.BD.—

2

q二一332

4

a2—a5=a](]-a[q=422

【答案】C

所以％=4夕'=3.

【解析】

故选：D.

【分析】先证明当四楂锥顶点0到底面ABC。所在小圆距离•定时，底面A8CD面枳最大值为2/，进而

得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高

II.函数〃x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间[0,2可的最小值、最大值分别为O

的值.

nit3nn八%兀、^3花兀〜

A.一一，一B.——C.一一，一十2D.——，一十2【详解】设该四棱锥底面为四边形A8CQ,四边形A6C。所在小圆半径为八

22222222

设四边形A8CD对角线夹角为。，

【答案】D

则臬86=；4。.8。《出2«；408£)工；2>2厂二2，

【解析】

【分析】利用导数求得/(x)的单调区间，从而判断出/(x)在区间口2可上的最小值和最大值.(当且仅当四边形48CD为正方形时等号成立)

【详解】/'(汇)=-sinx+sinx+(x+1)cos工=(x+1)cosx,即当四棱锥的顶点。到底面A8co所在小圆距离一定时，底面A8CO面积最大值为2/

又八〃2=/

所以f(x)在区间(og)和2兀)上r(力>0,即/(x)单调递增：

贝IJ%3="/=日历右4百岁可考

当且仅当r2=2/r即〃邛时等号成立，【答案】口一2)2+()，-3)2=13或(x-2y+()，-l)2=5或(工一3)=V或

故选：C

(8丫/N169

卜+()，-1)=后；

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

【解析】

13.记S“为等差数列｛《,｝的前”项和.若2s=3邑+6,则公差4=.【分析】设圆的方程为Y+)，2+DX+EV+F=O,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可：

【答案】2【详解】解：依题意设圆的方程为丁+产+瓜+4+产=0,

【解析】F=0|F=0

若过(0,0),(4,0),(-1.1),则(16+4。+尸=0,解得。=—4,

【分析】转化条件为2(q+2/)=M+d+6,即可得解.

\+i-D+E+F=0E=-6

【详解】由2s3=3S?+6可得2(9+02+05)=3(4+%)+6,化简得24=4+/+6,

所以圆的方程为/+),2-4工—6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13；

即2(q+2d)=%+"+6,解得4=2.

产=0[F=0

若过()则16+4D+尸=0,解得。=—4,

故答案为：2.(0,0),(4,0),4,2,

16+4+4O+2E+尸=0E=-2

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为一

所以圆的方程为Y+)尸-4x-2y=0,即(大一2)2+(y-l)2=5；

3

【答案】—##0.3

【解析】「F口=八0尸二0

o

若过(0,0),(4,2),(-1.1),则I+1-O+E+尸=0,解得。=-q,

【分析】根据古典概型计算即可

16+4+4O+2E+尸=0u

E=-----

【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C；=103

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率P=6所以圆的方程为“*+J—gx-与y=0,即(1_彳)+(),_彳)=；

故答案为：京3

15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为一

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

rL=--1-6

l+l-D+£：+F=O5

八16

若过(T.l),(4,0),(4,2),则,16+4。+/=0,解得L)-----17.记AABC的内角A,B,C的对边分别为小江c,已知sinCsin(A-8)=sin5sin(C-4).

5

16+4+4D+2£+F=0

E=-2(1)若A=23,求G

(2)证明：2€T=b2+c2

所以圆的方程为/+9一］工—2y—^=0,即(x-gj+(y-i)2=,；

【答案】⑴

O

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

16.若/(x)=ln。++%是奇函数，则〃=__,b=

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sin8(sinCcosA-cosCsinA),再根据正弦定理，余弦定理化简即可证

【答案】①.一!；②.In2.

出.

2

【解析】【小问1详解】

【分析】根据奇函数的定义即可求出.由A=28,sinCsin(A-4)=sinBsin(C-A)可得，sinCsinB=sinZ?sin(C-A),而所以

【详解】因为函数/(4)=''+占卜〃为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

sinBe(0,1),即有sinC=sin(C-A)>0,而0<C<兀,0<。一4V兀，显然CwC-A,所以，

5TU

由〃+■；工0可得，(1-力1/+1—ax)H。，所以x=-----=-1»解得：a=——,即函数的定义域为C+C—A=n,而A=2B，A+B+C=n,所以C=《.

1-x八Ja2

(―再由"0)=0可得，匕=历2.即/(x)=h+g+占+In2=ln|^^,在【小问2详解】

由sinCsin(4—B)=sin8sin(C—A)可得,

定义域内满足/(一可=一/(力，符合题意.

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

故答案为：-不；In2.

2accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根据余弦定理可知,

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考

-b2)-^b2+c2一/)=；(从+c2-a2)-i(«2+b2-c2),化简得:由于DEcBD=D，O£8Oi平面BE。，

所以AC_L平面BED，

2a2=b2+c\故原等式成立.

由于ACu平面AC。，所以平面8E£)_L平面AC£).

18.如图，四面体A5C。中，ADA.CD,AD=CD&DB=NBDC,E为AC的中点.

【小问2详解】

依题意AB=BD=BC=2,Z4CB=60°,三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,AE=CE=l,6E=b，

由于AO=CQAOJ,C。，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2＞所以DE上BE,

由于ACcBE=E,AC,B£u平面ABC,所以0E_L平面ABC.

(1)证明：平面8ED_L平面4c£＞；由于△AQBn△CD3,所以/FBA=NFBC,

(2)设AB=8O=2,NACB=60。，点尸在8。上，当尸C的面积最小时，求三棱锥尸-A3C的体积.

BF=BF

由于N月%=所以

【答案】(1)证明详见解析NF8C,AE8A=&fBC,

AB=CB

⑵B

4所以Ab=CF,所以M_LAC,

【解析】由于=；-AC.£7"所以当E尸最短时，三角形AFC的面积最小值•

【分析】(1)通过证明AC_L平面BTO来证得平面8EDJL平面ACO.