2022届新高考开学数学摸底考试卷6

2022届新高考开学数学摸底考试卷6

一、单选题(每小题5分，计40分)

I.若集合4={x[y=/x+2b8=卜y=一”,则A「18=()

A.[1,+8)B.[-2,—l]U[h+°°)

C.[2,+00)D.[―2,-1]U[2,+oo)

2,设i是虚数单位，则复数一L在复平面内所对应的点位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2V2

3.若方程」x一+二一=1表示椭圆，则相的取值范围是()

5-mm+3

A.(-3,5)B.(-5,3)C.(—3,1)1(1,5)D.(-5,1)U(1,3)

“、(3Q-1)X+4G,X<1

4.若函数〃x)=l7是R上的减函数，则。的取值范围为()

-ax,x>1

C.(+8)D.TJ8

5.下列函数中，最小值为4的是()

4

A.y=x+—B.y=sinx+—(0<x<1)

xsinx

D.y=>Jx2+l+——

C.y=e"+4eT

Vx+1

6.已知函数/(力是定义在R上的偶函数，当x»0时，/(X)=X2-4X,则不等式〃x+2)<5的解集

为()

A.(-3,7)B.(-4,5)C.(-7,3)D.(-2,6)

7.函数f(x)=21业二的图象大致为()

x3+sinx

8.已知函数/（x）=x-asinx,对任意的百，Xje（-oo,+oo）,且玉片马，不等式办一''''>a恒

%一%

成立，则实数a的取值范围是（）

111、1

A.u<一B.a<—C.u>一D.ci—

2222

二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）

2a,„03

9.若数列｛%｝满足《，则数列｛%｝中的项的值可能为（）

10.下面命题正确的是（）

A.“a>1”是“工<1”的充分不必要条件

a

B.命题“对任意xeR,%2+%+1<0”的否定是“存在xeR,使得f+x+lzo”

C.设x,y&R,则且>22”是“2+yN4”的必要不充分条件

D.设a,beR,则“a。0”是“ab。（）”的必要不充分条件

11.已知函数〃力="3+芯+｛ac<0）,则函数y=/（x）的图象不可能是（）

yy

设函数/(x)=xlnx,g(x)=J3,给定下列命题，其中是正确命题的是()

12.

A.不等式g(x)>0的解集为4,+。

B.函数g(x)在(O,e)单调递增，在(e,+o。)单调递减

C.若mNl,则当工1>々>0时，有三卜；一工；)>〃％)-/(%2)

D.若函数/(x)=/(x)—以2有两个极值点，则实数

三、填空题(每小题5分，计20分)

13.已知/(力=炉+奴3+"一8,若"—2)=10,则/(2)=.

14.设函数/(x)是定义在R上的奇函数，且"X)=<30，则g[/(-7)]的值为

15.已知P：实数加满足加2+12。2<7卬"。〉0),q:方程工+。_=1表示焦点在y轴上的椭圆.若

m—12-m

〃是夕的充分不必要条件，则实数。的取值范围是.

16.已知函数〃x)=%—2Zlnx+H，若x=2是函数〃尤)的唯一极值点，则实数z的取值集合是

四、解答题(共6小题，计70分)

17.【本题满分10分】

在①〃+缶C=+02,®4zcosB=Z?sinA,③sin3+cos3=J5这三个条件中任选一个，补充在下

面的问题中，并解决该问题.

己知△ABC的内角A，B,C的对边分别为。，b,c,A=§,。=&,求△A8C的面积.

18.【本题满分12分，6+61

已知函数"X）=a^-x+b^a#0）,若函数”力在点（1,/。））处的切线方程是2x—y+3=0.

（1）求函数的解析式；

（2）求“X）的单调区间.

19.【本题满12分，6+6J

在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈

不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象.某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程

度，随机调查了观看该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）

男女总计

喜爱4060100

不喜爱202040

总计6080140

（1）根据以上列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关；（精

确至U0.001）

（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两

名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率.

附表:

P(K2>k)

00.100.050.250.0100.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

n(ad-bc)~

其中〃=〃+/?+c+d.

(a+8)(c+d)(a+c)(b+d)

20.【本题满分12分，6+6】

如图，在四棱锥P—A8CD中，底面ABC。，BCAD,AB1BC,PA=AB=O，

AD=2BC=2,M是PO的中点.

（1）求证：CM平面PAB；

（2）求二面角M—AC—。的余弦值.

21.【本题满分12分，3+6+3]

某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本了（元）与

生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：

X1234567

y611213466101196

根据以上数据，绘制如图所示的散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模

型y=a+blnx和指数函数模型y=c-d\c,d>0）分别对两个变量的关系进行拟合.

（1）根据散点图判断，哪一个函数模型适宜作为V关于x的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，建立〉关于x的回归方程；

(3)已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千

件产品.

参考数据：V,.=1gX,v=匕.

IO0-54

i=]i=]

参考公式：对于一组数据(%,w),(〃2，岭)，…，(4，匕,)，其回归直线v=a+例的斜率和截距的最小二

__

zuivi_nuv

乘估计公式分别为£=弓-------,a=v-j3u.

-nu

22.【本题满分12分，6+61

已知函数/(x)=Xs+k\nx{kGR),fr(x)为f(x)的导函数.

(I)当左=6时，

(i)求曲线y=F(x)在点(1,7。))处的切线方程；

o

(ii)求函数g(x)=/(x)-/'(x)+,的单调区间和极值；

(II)当42—3时，

求证：对任意司，马«1,+8),且%＞々，有/'(%)+/'(/)〉"七)二八々).

2x,-X.

2022届新高考开学数学摸底考试卷6

参考答案

1-8：BBCACCCB9-12：ABCABDACDACD

13,-26:14.-2:15.:

.38.

re21

16.---,+8

L4）

解：函数定义域（0,+8）,/（同=>一：,2疣*_竺+7=卜+依Jx—2）,

XXX

由题意可得，x=2是/'（尤）=0唯一的根，故"+西2=0在（0,+oc）上没有变号零点

即—攵=£•在x>0时没有变号零点，令g（x）=S，尤>0,则g，（x）',（22）,

XXX

当x>2时，g'（x）>0,函数单调递增，当0<x<2时，g'（x）<0,函数单调递减,

222

故当x=2时，g（x）取得最小值g（2）=］，故一攵4亍即左之一］.

17.解：若选择①/??+血&:=/+/，

则由余弦定理得cosB=o"=交丝=—,

2ac2ac2

因为8e（0,兀），所以8=色.

4

若选择②acosB=/?sinA，

则sinAcosB=sinBsinA，

因为sinAwO,所以sin3=cos5,

因为B£（0,兀），所以3=1.

若选择③sinB+cosB=V2，

则血sin（8+：）=&,所以sin（8+（1=l,

因为3£（0,7C）,所以B+/W（w）'

7E7T7E

所以3+—二一，所以8=一.

424

ab

由正弦定理----二-----，

sinAsinB

OsinA2、彳r-

得"一^=-f=3

sinBy/2

~T

因为4='，B=-f所以C二兀一工一四二2,

343412

rr-Kl-.5兀..兀71兀.兀V6+V2

所以smC二sm二二sm7+吃=sin-cos—+cos—sin—=----------

12V46；46464

所以S4ABc='absin='义6xO义显逑=三叵

2244

18.解：(1)由/(x)=al-x+力，

得/'(x)=3以2一］,

所以/'(l)=3a—1=2,所以a=l.

把x=l代入2x—y+3=0,得切点为(1,5),

所以/。)=1—1+8=5,得力=5,

所以/(X)=X3-X+5.

(2)由⑴知，/,(x)=3x2-1,

令尸(力=3%2一1>0,

解得x〉@或彳<_且；

33

令/'(尤)=3——1<0,

解得_£1<走.

33

所以/(%))的增区间为—00,—,减区间为

3’3,

…D由…黑端蒜…,

所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关.

(2)抽样比为二=4,样本中喜爱该演讲的观众有40乂々=4名，不喜爱该演讲的观众有6—4=2名.记

601010

喜爱该测讲的4名男性观众为。，b,C,d,不喜爱该演讲的2名男性观众为1,2,则基本事件分别为：

[a,b),(a,c),(a,d),(a,l),(a,2),(伍c),也d),(b,l),(b,2),(c,J),(c,l),(c,2),(d,l),

(d,2),(1,2),共15个.其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故所求概率为2=0.4.

20.解：(1)如图，取AP的中点E,连接BE,EM.

又3c4)且AO=2BC,.•.EM&C，.•.四边形3cME为平行四边形,

：.BECM,又CMz平面PA8,BEu平面PAB,二川。平面

(2)由题意知：PA,AB,AO两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、

丁轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系:

则A（0,0,0）,£＞（0,2,0）,C（V2,l,0）,M\0,1,—LP（0,0,V2）

AC=（V2,l,0）,AM=0,1,—,AP=（0,0,&）,

设平面M4c的法向量”=(x,y,z),

AC-n=y/2x+y=0

则〈,令y=6,,则x=—1,z=—2>n=(—l,y/2,—2\.

AMn=y+—z=0''

I2

,/PAJ_平面ABCD,•••AP为平面ACD的一个法向量,

APn-2V22币

,COS(AP,/?)=ij~~;r—■­

、/研WV2xV7~^T

V二面角M-aC-D为锐二面角，，二面角M-AC-D的余弦值为宜彳.

7

21.解：(1)根据散点图判断，y=c-d'适宣作为非原料总成本关于生产该产品的数量x的回归方程类型.

(2)由y=两边同时取常用对数得lgy=lg(c-d')=lgc+xlgd.

设lgy=v,，u=lgc+xlgd,

7

；x=4，v-1.54，=140,

<=1

7__

^x,.v,,-7xv

50.12-7x4x1.547…

二号-----------------------：——=——=0.25.

••Jgd2

Ex.2-7%2140-7x428

/=1

把(4,1.54)代入丫=尼。+了坨4,得lgc=0.54,

v=0.54+0.25%>•>-1gy=0.54+0.25x，

...y=10054+025x=347x1Q025A,

即丁关于x的回归方程为y=3.47x10°-25A'.

(3)设生产了x千件该产品则生产总成本为g(x)=3.47x10025x+xx10x1000.

又g(x)=3.47xl0025*+i0000r在其定义域内单调递增，Jig(12)=3.47xlO3+120000=123470,故最

多能生产12千件产品.

22.【详解】(I)⑴当％=6H寸，/(x)=x3+61nx,/(X)=3X2+-.可得〃1)=1,/⑴=9,

所以曲线y=/(x)在点(1J(1))处的切线方程为y—l=9(x—l),即y=9x-8.

3

(ii)依题意，^(x)=x3-3x2+61nx+—,xe(O,+oo).

x

从而可得g'(x)=3x2—6x+9V，整理可得：g,(x)=3(xT),(/+l),

xxxz

令g[x)=O,解得x=l.

当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表:

X(o/)x=i(l,+oo)

g'(x)—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递