数学必修②第一章-空间几何体全部讲练学案

第1讲§柱、锥、台、球的结构特征¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽象概括能力.¤知识要点：结构特征图例棱柱〔1〕两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；〔2〕侧棱平行且相等.圆柱〔1〕两底面相互平行；〔2〕侧面的母线平行于圆柱的轴；〔3〕是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥〔1〕底面是多边形，各侧面均是三角形；〔2〕各侧面有一个公共顶点.圆锥〔1〕底面是圆；〔2〕是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台〔1〕两底面相互平行；〔2〕是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的局部.圆台〔1〕两底面相互平行；〔2〕是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的局部.球〔1〕球心到球面上各点的距离相等；〔2〕是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.¤例题精讲：【例1】请描述以下几何体的结构特征，并说出它的名称.〔1〕由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；〔2〕如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.解：〔1〕特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形.几何体为正五棱柱.〔2〕由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的局部形成的几何体，即空心球.【例2】假设三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高.解：底面正三角形中，边长为3，高为，中心到顶点距离为，那么棱锥的高为.【例3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.解：设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为，.根据相似三角形的性质得，，解得.所以，圆台的母线长为9cm点评：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质〔与底面全等或相似〕，同时结合旋转体中的轴截面〔经过旋转轴的截面〕的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.【例4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为，求与的值.解：设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为a、b、c，相应对角线长为l，那么.，∴=1.，∴=2.点评：从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系“”、“”而求.关键在于找准直角三角形中的三边，斜边是长方体的对角线，角的邻边是各棱长，角的对边是相应矩形面的对角线.第1练§柱、锥、台、球的结构特征※根底达标1．一个棱柱是正四棱柱的条件是〔〕.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱2．以下说法中正确的选项是〔〕.A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D.圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3．以下说法错误的选项是〔〕.A.假设棱柱的底面边长相等，那么它的各个侧面的面积相等B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.六角螺帽、三棱镜都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形4．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是〔〕.A.六边形B.菱形C.梯形D.直角三角形5．以下说法正确的选项是〔〕.A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6．设圆锥母线长为l，高为，过圆锥的两条母线作一个截面，那么截面面积的最大值为.7．假设长方体的三个面的面积分别为6,3,2，那么此长方体的对角线长为.※能力提高8．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长.9．如下图，长方体.〔1〕这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？〔2〕用平面BCNM把这个长方体分成两局部，各局部形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示.如果不是，说明理由.※探究创新10．现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为12×3×3.1(长度单位：米).某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为3×2.4×1，第二种为4×1.5×0.7．假设这两种长方体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面3位)第2讲§简单组合体的结构特征¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体.¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有〔〕.A.1个B.2个C.3个D.4个解：在长方体中，取四棱锥，它的四个侧面都是直角三角形.选D.【例2】球的外切圆台上、下底面的半径分别为，求球的半径.解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为，所以，球的半径为.【例3】圆锥底面半径为１cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.SDEOC1CFD1解：过圆锥的顶点SSDEOC1CFD1设正方体棱长为x，那么CC1=x，C1D1。作SOEF于O，那么SO，OE=1，，∴，即.∴，即内接正方体棱长为cm.点评：此题也可以利用而求.两个几何体相接、相切的问题，关键在于发现一些截面之间的图形关系.常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面图形中各线段长度的计算.PCAPCADBHOEFG设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m∶n，那么截面面积S满足以下关系：.当m=n时，那么〔中截面面积公式〕.解：如图，ABCD是正四棱台的相对侧面正中间的截面，延长两腰交于P，平行于底面的截面为EF.根据棱台上下底面与平行于底面的截面相似的性质，上底面、下底面、截面的相似比为.设PH=h，OH=x，那么,.∴，即.当m=n时，那么.点评：利用台体平行于底面的截面与底面的相似，把面积比转化为相似比，与对应高之比紧密联系，还要求具有较强的字母代数运算能力.关于棱台的平行于底面的截面性质这一结论，也可推广到圆台.我们应特别重视中截面的性质，可以结合梯形的中位线对中截面公式进行理解.第2练§简单组合体的结构特征※根底达标1．右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的〔〕.A.B.C.D.2．以下几何体的轴截面一定是圆面的是〔〕.A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台3．把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是〔〕.快乐快乐4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的外表展开图，假设图中“2”A．0B．6C．快D．乐5．圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，那么此正方体的棱长为〔〕.A. B.C.D.6．三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，球的半径为R，那么这个三棱柱的底面边长为.7．〔07年安徽.理15〕在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是〔写出所有正确结论的编号〕.①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.※能力提高8．正四棱锥〔棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形〕有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上.假设棱锥的底面边长为a，高为h，求内接正方体的棱长.9．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为、，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h，求此棱台的侧棱长和斜高〔侧面等腰梯形的高〕.※探究创新10．如右图，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②、③、④、⑤的木块.〔1〕我们知道，正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、⑤的木块的顶点数、棱数、面数填入下表：图号顶点数棱数面数①8126②③④⑤〔2〕观察你填出的表格，归纳出上述各种木块的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系.〔3〕看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确？第3讲§空间几何体的三视图¤学习目标：能画出简单空间图形〔长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合〕的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料〔如：纸板〕制作模型.¤知识要点：1.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”.用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.2.画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧〔和右侧〕、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的局部用虚线表示出来.¤例题精讲：【例1】画出以下各几何体的三视图：解：这两个几何体的三视图如以下图所示.【例2】画出以下三视图所表示的几何体.解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓.如以下图所示.【例3】如图，图〔1〕是常见的六角螺帽，图〔2〕是一个机器零件〔单位：cm〕，所给的方向为物体的正前方.试分别画出它们的三视图.解：图〔1〕为圆柱和正六棱柱的组合体.图〔2〕是由长方体切割出来的规那么组合体.从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如以下图分别所示.点评：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的局部用虚线表示出来.绘制三视图，就是由客观存在的几何物体，从观察的角度，得到反响出物体形象的几何学知识.【例4】某建筑由相同的假设干个房间组成，该楼的三视图如右图所示，问：〔1〕该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？〔2〕最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状.解：〔1〕由主视图与左视图可知，该楼有3层.由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间.〔2〕由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间.楼房大致形状如右图所示.点评：根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力.由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致.依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面.在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件进行加工制作.第3练§空间几何体的三视图※根底达标1．如果一个几何体的正视图是矩形，那么这个几何体不可能是〔〕.A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆锥2．右图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右局部别是〔〕.A.圆锥，圆柱B.圆柱，圆锥C.圆柱，圆柱D.圆锥，圆锥正视图左视图俯视图正视图左视图俯视图A．B.C．D．4．一个几何体的某一方向的视图是圆，那么它不可能是〔〕.A.球体B.圆锥C.圆柱D.长方体5．如图，一个封闭的立方体，它的六个外表各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，那么字母A,B,C对面的字母分别为〔〕.A.D,E,FB.F,D,EC.E,F,DD.E,D,F2030俯视图正视图2030俯视图正视图左视图307．右图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，那么俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______.※能力提高8．找出相应的立体图，并在其下方括号内填写它的序号9．图中所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图.〔注：Φ表示直径，图中为小圆直径；R表示半径，图中为大圆半径〕※探究创新10．用假设干个正方体搭成一个几何体，使它的正视图与左视图都是如右图的同一个图.通过实际操作，并讨论解决以下问题：〔1〕所需要的正方体的个数是多少？你能找出几个？〔2〕画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图.第4讲§空间几何体的直观图¤学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形〔长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合〕的直观图.了解空间图形的不同表示形式.¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规那么能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法.根本步骤如下：〔1〕建系：在图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.〔2〕平行不变：图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.〔3〕长度规那么：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.¤例题精讲：【例1】以下图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.解：依据斜二测画法规那么，逆向进行，如下图.【例2】〔1〕画水平放置的一个直角三角形的直观图；〔2〕画棱长为4cm的正方体的直观图.解：〔1〕画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在的直角三角形ABC中取直角边CB所在的直线为x轴，与BC垂直的直线为y轴，画出对应的轴和轴，使.第二步，在轴上取，过作轴的平行线，取.第三步，连接，即得到该直角三角形的直观图.〔2〕画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD，使.第二步，过A作轴，使.分别过点作轴的平行线，在轴及这组平行线上分别截取.第三步，连接，所得图形就是正方体的直观图.点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图.注意被遮挡的局部画成虚线.【例3】如右图所示，梯形是一平面图形的直观图.假设，，，.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取；.在过点D的y轴的平行线上截取.在过点A的x轴的平行线上截取.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为，直角腰长度为，所以面积为.点评：给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规那么，更要求我们具有逆向思维的能力.画法关键之处同样是关键点确实定，逆向的规那么为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y’轴的为垂直.第4练§空间几何体的直观图※根底达标1．以下说法正确的选项是〔〕.A.相等的线段在直观图中仍然相等B.假设两条线段平行，那么在直观图中对应的两条线段仍然平行C.两个全等三角形的直观图一定也全等D.两个图形的直观图是全等的三角形，那么这两个图形一定是全等三角形4503245032A.2倍B.倍C.倍D.倍3．如下图的直观图，其平面图形的面积为〔〕.A.3B.6C.D.4．正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，那么此正方形的面积是〔〕.A.16B.16或64C.64D.以上都不对5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，假设按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为〔〕.A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．4cm，06．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，那么原图形的高是.7．利用斜二测画法得到的图形，有以下说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形.其中说法正确的序号依次是.※能力提高8．〔1〕画棱长为2cm的正方体的直观图；〔2〕画水平放置的直径为39．如图，正方形O’A’B’C’的边长为1cm※探究创新10．某几何体的三视图如下.〔1〕画出该几何体的直观图；〔2〕判别该几何体是否为棱台.第5讲§柱体、锥体、台体的外表积¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的外表积的计算公式〔不要求记忆公式〕；能运用柱、锥、台的外表积进行计算和解决有关实际问题.¤知识要点：外表积相关公式外表积相关公式棱柱圆柱〔r：底面半径，h：高〕棱锥圆锥〔r：底面半径，l：母线长〕棱台圆台〔r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长〕¤例题精讲：【例1】圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：设圆台的母线长为，那么圆台的上底面面积为，圆台的上底面面积为，所以圆台的底面面积为.又圆台的侧面积，于是，即为所求.【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的外表积.解：由三视图知正三棱柱的高为2mm由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为.设底面边长为a，那么，∴.∴正三棱柱的外表积为.【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？〔精确到0.01m解：上局部圆锥体的母线长为，其侧面积为.下局部圆柱体的侧面积为.所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为〔m2〕.点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题.注意区分是面积计算，还是体积计算.【例4】有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，那么铁丝的最短长度为多少厘米？〔精确到解：如图，把圆柱外表及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.由题意知，BC=10cm,,点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.∴. 所以，铁丝的最短长度约为27.05cm点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题.探究几何体外表上最短距离，常将几何体的外表或侧面展开，化折〔曲〕为直，使空间图形问题转化为平面图形问题.空间问题平面化，是解决立体几何问题根本的、常用的方法.第5练§柱体、锥体、台体的外表积※根底达标1．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为〔〕.A.8B.C.D.2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，那么圆台较小底面的半径为〔〕.A.7B.6C.5D.33．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是〔〕.A. B. C. D.4．一个直棱柱〔侧棱垂直于底面的棱柱〕的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm，那么这个直棱柱的侧面积是〔〕.A.160cm2B.320cm2C.cm2D.5．〔04年湖北卷.文6〕四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，那么四面体EFGH的外表积与四面体ABCD的外表积的比值是〔〕. A． B． C． D．6．如图，圆柱体底面圆的半径为，高为2，分别是两底面的直径，是母线．假设一只小虫从A点出发，从侧面爬行到点，那么小虫爬行的最短路线的长度是〔结果保存根式〕．7．两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，那么它们的高之比为.※能力提高8．六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为9．一个圆锥的底面半径为R，高为H，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.当x为何值时，圆柱的外表积最大？最大值是多少？※探究创新10.现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm．设水箱里盛有深为cm的水，假设往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，第6讲§柱体、锥体、台体的体积¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式〔不要求记忆公式〕；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.¤知识要点：1.体积公式：体积公式体积公式棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台2.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.因而体积会有以下的关系：.¤例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，那么长方体的体积是.解：设长方体的长宽高分别为，那么，三式相乘得.所以，长方体的体积为6.【例2】一块边长为10的正方形铁片按如下图的阴影局部裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.在中，,所以,于是.依题意函数的定义域为.【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为.解：容器中水的体积为.流出水的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为α，那么，解得.所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.点评：抓住流水之后空出局部的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱.从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.hr解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的.设扇形半径为x，圆半径为rhr，∴x=4r，.又AB=，∴，解得.圆锥的高，∴.点评：求的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系.搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化.第6练§柱体、锥体、台体的体积※根底达标1．圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，那么〔〕.A.B.C.D.2．三棱锥V—ABC的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，那么点C到侧面VAB的距离为〔〕.A.3B.4C.5D.63．假设干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，假设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，那么水面的高度是〔俯视图主视图左视图A. B. C. D.俯视图主视图左视图4．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时,所形成的几何体的体积之比为〔〕.A.B.C.D.5．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，那么其体积是〔〕.A．B.C.D.6．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，7．〔04年广东卷.15〕由图(1)有面积关系:那么由(2)有体积关系:※能力提高8．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假设它的两底面边长分别等于60cm和40cm353517h129．用上口直径为34cm、底面直径为24cm、深为35cm的水桶盛得的雨水正好为桶深的，问此次降雨量为多少？〔精确到※探究创新10．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐〔供融化高速公路上的积雪之用〕，已建的仓库的底面直径为12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m〔1〕分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；〔2〕分别计算按这两种方案所建的仓库的外表积；〔3〕哪个方案更经济些？第7讲§球的体积和外表积¤学习目标：了解球的外表积和体积的计算公式〔不要求记忆公式〕；能运用球的外表积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.¤知识要点：1.外表积：〔R：球的半径〕.2.体积：.¤例题精讲：【例1】有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径〔钢的密度为，精确到〕．解：设空心球内径(直径)为，那么钢球质量为，∴，∴，∴直径，即空心钢球的内径约为.【例2】外表积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的外表积.解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，那么作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴.【例3】〔04年辽宁卷.10〕设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，那么球的体积是〔〕.A． B． C． D．【解】由可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.∵AB=BC=CD=DA=3，∴四边形为正方形.∴小圆半径.由得，解得.∴球的体积.所以选A.点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质，体积和外表积公式.【例4】推导球的外表积公式.解：设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，那么球的外表积.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高.因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：，又∵，且，∴可得.又∵，∴，∴即为球的外表积公式点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的外表积公式推导球的体积公式.假设把半球中垂直于底面的半径作等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积.由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和.探究的关键都是先极限分割，然后求和.第7练§球的体积和外表积※根底达标1．正方体的内切球和外接球的半径之比为〔〕.A.B.C.D.2．设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是〔〕.A. B. C. D.3．，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如以下图所示，那么〔〕.A.以上四个图形都是正确的B.只有(2)(4)是正确的C.只有(4)是错误的D.只有(1)(2)是正确的4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，那么这个球的外表积是〔〕.A.B.C.D.都不对5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为〔〕.A.B.C.D.6．假设三个球的外表积之比是，那么它们的体积之比是.7．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，那么这个球的外表积为，体积为.※能力提高8．过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的外表积.9．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，假设正方体棱长为，求球的外表积和体积.※探究创新10．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.第8讲第一章空间几何体复习¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形〔长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合〕的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；会画某些建筑物的视图与直观图〔在不影响图形特征的根底上，尺寸、线条等不作严格要求〕；了解球、棱柱、棱锥、台的外表积和体积的计算公式〔不要求记忆公式〕.¤例题精讲：【例1】〔06年四川卷〕如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，那么球的外表积是A.B.C.D.解：如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，解得R=2，那么球的外表积是，选D.【例2】如图〔单位：cm〕，求图中阴影局部绕AB旋转一周所形成的几何体的外表积和体积.BCABCAD452圆台下底面、侧面和一半球面.S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π.故所求几何体的外表积为68π.由，.所以，旋转体的体积为.【例3】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱=8.假设水平放置时，液面恰好过的中点，那么当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？解：当水平放置时，纵截面中水液面积占，所以水液体积与三棱柱体积比为.当底面ABC水平放置时，液面高度为.点评：容器中水的体积不会减少，无论是竖着还是横着，正是由于这种等积思想，才能寻找到不用计算体积，而通过体积比进而化为高度比.我们可以练习这样一个题：三棱锥V—ABC的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，那么点C到侧面VAB的距离为.〔答案：4〕【例4】如图是一个奖杯的三视图.求这个奖杯的体积.〔精确到0.01cm3〕解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体.由所以，这个奖杯的体积为.点评：由三视图研究几何体的外表积和体积，需先发挥空间想象力，按正视图、侧视图、俯视图顺序，逐步构造出几何体形状，分析清楚组合体的结构特征，按相应外表积或体积公式进行计算.第8练第一章空间几何体复习※根底达标1．〔06年福建卷〕正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于〔〕. A.B.C.D..2．〔06年全国卷II〕过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，那么所得截面的面积与球的外表积的比为〔〕. A.B.C.D.3．有一个几何体的三视图及其尺寸如下〔单位：cm〕，那么该几何体的外表积及体积为〔〕. A.24πcm2，12πcm3B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3D.以上都不正确4．〔04年广东卷.7〕在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,那么截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是〔〕. A.B.C.D.5．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是〔〕. 6．一个边长为2cm的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的外表积为，体积为.7．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y’轴，长度变为原来的；②画与直角坐标系xoy对应的x’o’y’时，∠x’o’y’必须是45°；③在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；⑤梯形的直观图仍然是梯形；⑥正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中说法正确的序号依次是.※能力提高8．设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.59．一个几何体的三视图如右，试求它的外表积和体积.〔单位：cm〕※探究创新10．〔1〕给出两块相同的正三角形纸片〔如图1、图2〕，要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型,另一块剪拼成正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等.请设计一个剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明；〔2〕试比拟你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；〔3〕如果给出的是一块任意三角形的纸片〔如图3〕,要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一个剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明.第1练§柱、锥、台、球的结构特征【第1练】1～5DCDDC；6.；7..8.解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么，而对角线长.9.解：〔1〕是棱柱，并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.〔2〕截面BCNM的上方局部是三棱柱，下方局部是四棱柱.10.解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图(Ⅰ)和(Ⅱ).切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第二种长方体.取3块原料，2块按切法(Ⅰ)切割，1块按切法(Ⅱ)切割．得到29个第一种长方体和30个第二种长方体．因此，取90块原料，其中60块按切法(Ⅰ)切割，30块按切法(Ⅱ)切割，共得到870个第一种长方体和900个第二种长方体．至此，没产生任何余料，但还差30个第一种长方体．再取2块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得30个第一种长方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各900个，至少需90＋2＝92块原料.此时，材料的利用率为第2练§简单组合体的结构特征【第2练】1～5ACDBC；6.；7.①③④⑤.8.解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x，那么，解得9.解：上、下底面正方形的边长为、，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，那么侧棱长为=；斜高为=.10.解：〔1〕通过观察各几何体后，得到下表：图号顶点数棱数面数①8126②695③8126④8137⑤10157〔2〕由特殊到一般，归纳猜测得到：顶点数V＋面数F－棱数E=2；〔3〕该木块的顶点数为10，面数为7,棱数为15，有10+7—15=2，与〔2〕中归纳的数量关系式“V+F—E=2”第3练§空间几何体的三视图【第3练】1～5DADDD；6.球、圆柱、圆锥等；7.100π，8.解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与三视图比拟，所以依次为C、A、D、B.9.解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如下图.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计10.解：〔1〕所要正方体个数为7、8、9、10、11都行.〔2〕最少7个，其俯视图样子不唯一，如以下图.111111111331111111113最多11个，其俯视图如右图.〔图中数字表示在该处的小正方体的个数〕第4练§空间几何体的直观图【第4练】1～5BCBBB；6.4；7.①③8.解：〔1〕画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD，使.第二步，过A作轴，使.分别过点作轴的平行线，在轴及这组平行线上分别截取.第三步，连接，所得图形就是正方体的直观图.〔2〕画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在的圆O中取直径AB所在的直线为x轴，与AB垂直的半径OD所在的直线为y轴，画出对应的轴和轴，使.第二步，在轴上取，在轴上取，.第三步，圆的直观图是椭圆，把连成椭圆，即得到圆O的直观图.9.解：如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上取；在y轴上取；在过点B的x轴的平行线上取.连接O,A,B,C各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC为平行四边形，,∴平行四边形OABC的周长为，面积为.10.