尺规作图与定义命题定理（讲练）-2023年中考数学一轮复习（全国通用）

2.1尺规作图与定义、命题、定理

目录

知识梳理.........................................................................1

核心考点归纳....................................................................3

考点1：基本作图................................................................3

考点2:复杂作图................................................................5

考点3：圆中的作图问题..........................................................7

考点4:逻辑推理...............................................................11

考点5:真命题、假命题........................................................13

考点6：互逆命题与互逆定理....................................................15

考点7：反证法.................................................................16

易错点纠错.....................................................................17

★★★真题达标演练★★★......................................................20

知识梳理

一、尺规作图

1.尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图.

2.五种基本作图

D作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条

线段的垂直平分线；5）过一点作己知直线的垂线.

3.根据基本作图作三角形

1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；

3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求

作三角形；

5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形.

4.与圆有关的尺规作图

1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；2）作三角形的内切圆.

5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型.

6.作图题的一般步骤

（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论.

其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.

二、尺规作图的方法

1.尺规作图的关键

1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方

法解决问题.

2.根据已知条件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作

图来完成，如作直角三角形就先作一个直角.

三、定义与命题

I.一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义.

2.判断一件事情的语句叫做命题.

3.命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推

出的事项.

4.命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，

“那么”后接的部分是结论.

二、真命题、假命题

1.正确的命题叫做真命题.

2.要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和己学的有关公理、定理进行说明（推

理、证明）.

3.要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可.

三、逆命题

1.把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做

原命题的逆命题.

2.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第

二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么

另一个命题就叫做它的逆命题.

3.正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论.

4.每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.

四、公理与定理

I.如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假

的原始依据，这样的真命题叫做公理.

2.如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可

以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理.

3.公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据.

4.由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论.

五、互逆命题

I.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆

定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.

2.任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理.

3.角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其

逆定理等都是互逆定理.

六、反证法

1.定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛

盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法.

2.反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公

理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确.

核心考点归纳

考点1：基本作图

1.最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图.

2.基本作图有五种：1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角

的平分线；

4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线.

1.（2021秋•交城县期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作

法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（

D.SSS

【分析】如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF`84=b.根据SSS证明ΔAO8=ACEF.

【解答】解：如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF,BA=CF.

AO=CE

OB=EF,

AB=CF

:.^AOB=^CEF（SSS）,

故选：D.

2.（2021秋•赣州期末）下列画图的画法语句正确的是（）

A.画直线MN=5厘米B.画射线。4=4厘米

C.在射线上截取AB=2厘米D.延长线段A3到点C,使8C=AB

【分析】直接利用直线、射线、线段的定义结合尺规作图分别分析得出答案.

【解答】解：A.画直线MN可以，直线没有长度，故此选项不合题意；

B.画射线可以，射线没有长度，故此选项不合题意；

C.在射线Q4I：截取03=2厘米可以，因为必须从一个端点截取，故此选项不合题意；

D.延长线段AB到点C,使8C=A8,正确，故此选项符合题意.

故选：D.

3.（2022•丽水二模）如图，RtAABC中，ZC=90°,/8=30。，要求用圆规和直尺作图,

把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（）

A

【分析】A.由作法知AD=AC,可判断A;B.由作法知所作图形是线段BC的垂直平

分线，可判断5；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的

性质得到DA=DB,可判断C；D.由作法知Af）是N&4C的平分线，根据角平分线的定

义和等腰三角形的判定得到DB=DA,可判断。.

【解答】解：A.由作法知AD=AC，

.∙.AACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；

B.由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，

/.不能推出ΔACZ）和AABD是等腰三角形，故选项B符合题意；

C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，

DA=DB，

・・.八钻。是等腰三角形，故选项C不符合题意；

D.NC=90。，/8=30。，

NBAC=60。，

由作法知AD是ZBAC的平分线，

.∙.ZβAT>=30o=ZB,

DB=DA1

.∙.AMQ是等腰三角形，故选项O不符合题意；

故选3.

考点2：复杂作图

利用五种基本作图作较复杂图形.

4.已知线段”,江点A,P位置如图所示.

（1）画射线AP,请用圆规在射线AP上依次截取A8=α,BC=A（保留作图痕迹，不

写作法）

（2）在（1）所作图形中，若M,N分别为A8,BC的中点，在图形中标出点M,N的

位置，再求出当α=4,b=2时，线段MN的长.

b

A,P

【解答】解：（1）如图所示，线段A8、BC即为所求.

a

b

AMMNlCp

(2)∙.Z=4,b=2,即AB=4,BC=2,且M,N分别为48,8C的中点，

.∙.Mβ=-kAB=2,BN=Lc=I,

22

MN=MB+BN=2+1=3.

5.如图，AO是aABC的角平分线，DElAB于点E.

(1)用尺规完成以下基本作图：过点。作。用LAC于点凡连接EF交4£＞于点G.(不

写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)中所作的图形中，求证：ADA.EF.

(2)证明：:A。是AABC的角平分线，DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,

在Rt∆ΛDE和Rt∆ΛOF中,

(AD=AD

IDE=DF'

ΛRt∆ADE^Rt∆ADF(HL),

：.AE=AF,

而DE=DF1

：.AD垂直平分EF,

BPADLEF.

6.作图题：如图，平面内有四个点4、B、C、。，请你利用直尺和圆规，根据下列语句画

出符合要求的图，请保留作图痕迹.

(1)画直线AB,射线Ae线段BC;

(2)在直线AB上找一点使线段MC与线段MC之和最小；

(3)在线段AO的延长线上截4E=3AO,连线段CE交直线AB于点E

C

A.∙B

D

【解答】解：(1)如图，直线AB,射线AC,线段8C为所作；

(2)如图，点例为所作；

(3)如图，点E、F为所作.

考点3：圆中的作图问题

7.如图，放置在直线/上的扇形。4B∙由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图

③.若半径。4=2,ZAOB=45°,则点。所经过的运动路径的长是()

c5πA

A.24+2B.3πcD.—+2

-T2

【分析】利用弧长公式计算即可.

【解答】解：如图，

点O的运动路径的长=OOl的长+。2。3的长+O1O2的长

90万,290•乃.245∙τr∙2

----------------1------------------1----------------

180180180

5π

T

故选：C.

8.如图，在等腰AABC中，AB=AC=2亚,BC=8,按下列步骤作图:

①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F

为圆心，大于gEF的长为半径作弧相交于点H,作射线AH；②分别以点A,B为圆心,

2

大于gAB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线交射线AH于点。；③以点。为

2

则。。的半径为（）

C.4D.5

【答案】D

【分析】如图，设OA交BC于T.解直角三角形求出A7,再在RtAOCr中，利用勾股定

理构建方程即可解决问题.

【详解】解：如图，设OA交BC于T.

VAB=AC=2√5«Ao平分NBAC,ΛA0±BC,BT=TC=4,

ʌAE=√AC2-CT2=7(2√5)2-42=2•在RtZkOCT中，则有8=(r-2)2+42,解得

r=5,故选：D.

9.(2021•宜宾)如图，。的直径A5=4,P为。上的动点，连结AP,Q为A尸的

中点，若点P在圆上运动一周，则点。经过的路径长是_2万_.

【分析】由垂径定理可得OQ_LAP,则点Q在以Ao为直径的圆上运动，即可求解.

【解答】解：如图，连接0Q，

AB=4,

.,.AO=2，

。为AP的中点,

.∙.OQ±APf

.∙.ZAQo=90。，

.∙.点。在以Ao为直径的圆上运动，

•••点Q经过的路径长为2万，

故答案为：2π.

10.（2022.海南海口.海南华侨中学校联考模拟预测）如图，已知,ABC.①以点A为圆心，

以适当长为半径画弧,交AC于点M、交48于点M②分别以M、N为圆心，以大于;MN

的长为半径画弧，两弧在/84C内部相交于点P.③作射线AP交BC于点D④分别

以A、。为圆心，以大于=A。的长为半径画弧，两弧相交于G、H两点.⑤作直线G”，

2

7

分别交AC、AB于点E、F.依据以上作图，若AF=2,CE=3,BD=：,则AE=

4

,CD=.

【分析】利用作法得4。平分/BAC,石尸垂直平分AD,所以N=ΛFAD,EA=ED,

FA=FD,再证明四边形血下为菱形得到AE=Ab=2,然后利用平行线分线段成比例定

理计算CO的长.

【详解】解：连接EO，FD,如图所示：

..ZEAD=ZFADfEA=ED.FA=FD,

EA=ED,

..ZEAD=ZEDA,

..ZFAD=ZEDAf

.∖DE∕∕AF,

同理可得AEDF,

.•・四边形血不为平行四边形,

而E4=ED,

，四边形AEr尸为菱形，

.∖AE=AF=2,

DE//AB,

CDCE⅛CD<=-3

.∙.——=—,即hπ72,

DBEA4

.∖CD=-.

8

21

故答案为：2,—,

O

考点4：逻辑推理

11.如图，汽车在东西向的公路/上行驶，途中A,B,C,。四个十字路口都有红绿灯∙AB

之间的距离为800米，BC为IOOO米，CD为1400米，且/上各路口的红绿灯设置为：

同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红(绿)灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时

间也相同.若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿/向东行驶，同

时乙汽车从。路口以相同的速度沿/向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到

红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为()

JLJI__II____IL

ABCDI

-Irnl—IIIΓ

A.50秒B.45秒C.40秒D.35秒

【分析】首先求出汽车行驶各段所用的时间，进而根据红绿灯的设置，分析每次绿灯亮的时

间，得出符合题意答案.

【解答】解：,甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿/向东行驶，同时乙汽车从。路

口以相同的速度沿/向西行驶，

.∙.两车的速度为：迎”=竺(m∕s),

36003

AB之间的距离为800米，BC为IoOo米，C£＞为1400米，

.∙.分别通过Λβ,BC,Co所用的时间为：缓=96")，ɪ=120(Λ),翳=168(s),

TTT

,这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，

当每次绿灯亮的时间为50s时，；史=1啰，甲车到达5路口时遇到红灯，故A错误;

5025

・•・当每次绿灯亮的时间为45s时，度=3口，乙车到达。路口时遇到红灯，故3错误；

4515

96120

・•・当每次绿灯亮的时间为40s时，.∙÷=5Z,.∙.甲车到达C路口时遇到红灯，故C错

405

误；

・•.当每次绿灯亮的时间为35$时，—=2—,96+120=69,96+120+168=ɪθɜj-

353535353535

1684168+120o8

3553535

二这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故JD正确；

则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒.

故选：D.

12.图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形.以下是她每次

洗牌的三个步骤：

步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）.

步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）.

步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）.

若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）

相同，则洗牌次数可能为下列何者？（）

A.18B.20C.25D.27

【分析】根据洗牌的规则得出洗牌的变化规律，进而根据各选项分析得出即可.

【解答】解：设5张牌分别为：1,2,3,A,B；第1次洗牌后变为：1,A,2,B,3；

第2次洗牌后变为：1,B,A,3,2；

第3次洗牌后变为：1,3,B,2,A；

第4次洗牌后变为：1,2,3,A,B；

故每洗牌4次，其颜色顺序会再次与图（①）相同，

故洗牌次数可能的数为4的倍数，选项中只有20符合要求.

故选：B.

13.如图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2,3,4,

5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最

小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1,2号座位的票，乙购

买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购

票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序

丙、丁、甲、乙.

舞台

I∕'ιι、I/'、Ij、I/、I/1、IJll、I∕ι、II/"八Ij1、I■/∖I/、I/、Ij、I/1、I

【分析】先判断，丙购4票(3124)后，左余6座，右余5座，即可得出结论.

【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3,1,2,4号票，

此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，

即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，

①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，

即丙(3,1,2,4)、丁(5,7,9,11,13),甲(6,8)、乙(10,12,14),

或丙(3,1,2,4)、T(5,7,9,11,13)、乙(6,8,10)、甲(12,14)；

②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5,7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买

6,8,10,12,14号票，

此时，四个人购买的票全在第一排，

即丙(3,1,2,4)、甲(5,7)、T(6,8,10,12,14)、乙(9,11,13),

或丙(3,1,2,4)、乙(5,7,9)、丁(6,8,10,12,14)、甲(11,13),

因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第

一排，

故答案为：丙、丁、甲、乙.

考点5：真命题、假命题

1.判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是

陈述句(包括肯定句和否定句)，而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事

作出肯定或否定的判断.

2.辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定

理、公理、定义.要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决.命题的反例

是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例.

14.(2022∙达州)下列命题是真命题的是()

A.相等的两个角是对顶角

B.相等的圆周角所对的弧相等

2

C.若a<b,则。c?vbc

D.在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子

里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1

3

【分析】根据对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式判断即可.

【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；

8、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；

C、若aV匕,C=O时，则疝=。<?,原命题是假命题；

。、在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子

里任意摸出1个球，摸到白球的概率是,，是真命题：

3

故选：D.

15.（2022∙衡阳）下列命题为假命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是矩形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形

D.有一组邻边相等的矩形是正方形

【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可.

【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故5是真命题，不符合题意；

有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；

有一组邻边相等的矩形是正方形，故。是真命题，不符合题意；

故选：C.

16.（2021•衡阳）下列命题是真命题的是（）

A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和

B.正六边形的每一个内角为120。

C.有一个角是60。的三角形是等边三角形

D.对角线相等的四边形是矩形

【分析】根据多边形的外角和都是360度对A作出判断；

根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角对8作出判断；

根据等边三角形的判定对C作出判断；

根据矩形的判定对。作出判断.

【解答】解：Λ.每个多边形的外角和都是360。，故错误，假命题；

B.正六边形的内角和是720。，每个内角是120。，故正确，真命题；

C.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；

D.对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题.

故选：B.

17.下列判断正确的是（）

A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查

B.一组数据6,5,8,7,9的中位数是8

C.甲、乙两组学生身高的方差分别为S,2=2.3,S”=i8.则甲组学生的身高较整齐

D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题

【分析】根据抽样调查、中位数定理、命题的判断进行分析即可；

【详解】解：A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，所以

A选项错误；

B.一组数据6,5,8,7,9的中位数是7,所以8选项错误；

C,甲、乙两组学生身高的方差分别为S,∕=2.3,SzJ=1.8.则乙组学生的身高较整齐，所

以C选项错误；

D.命题“既是矩形乂是菱形的四边形是正方形”是真命题，所以。选项正确.故选：D.

考点6：互逆命题与互逆定理

I.如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中

一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个

定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.

3.“题设与结论正好相反"可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题

的结论是第二个命题的题设.

18.下列定理中，没有逆定理的是（）.

A.两直线平行，同旁内角互补B.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的

距离相等

C.等腰三角形两个底角相等D.同角的余角相等

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.再分析逆命题是否为真命题.

【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意：

B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故

选项不符合题意：

C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本

选项不符合题意；

D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故选项符合

题意.故选：D.

19.下列命题：（1）对于y=A（Z≠O）,当氏〉0时，y随X的增大而减小；（2）菱形的对

X

bC

角线互相垂直；（3）若一>一，贝IJah>ac；（4）若孤=版，则〃=〃；其中原命

aa

题和逆命题均为真命题的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据逆命题的书写方法，写出逆命题，判断原命题，逆命题的真假性即可.

【详解】A.原命题：对于y="（左≠0）,当左>0时，y随X的增大而减小；假命题

X

逆命题：对于y=K（Z≠O）,当y随X的增大而减小时，4>0；假命题

X

B.原命题：菱形的对角线互相垂直；真命题逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形；

假命题

hcbC

C.原命题：若一>—,则αb>αc;真命题逆命题：若ab>ac,则一>—；真命题

aaaa

D.原命题：若孤=探，则/=/；真命题逆命题：若“2=/,则。Z=探；假命

题故选：B.

20.（2022•湖州）命题“如果Ial=I勿，那么q=b."的逆命题是如果α=b,那么∣〃l=⅜A∣

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.

【解答】解：命题''如果IaI=|“，那么α=6.”的逆命题是如果α=A,那么|"Rb|,

故答案为：如果a=b,那么IaI=IZ

考点7：反证法

①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”"无限'"'无数”"唯一”时常用反证法.

②矛盾的类型：a.与已知定义、定理、公理相矛盾；b.与已知条件相矛盾；c.推出自相

矛盾的结果.

③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法

证明时，每一步都要有依据，直到推出矛盾.

21.用反证法证明命题：”如图，如果A8//CO,ABHEF,那么8〃£F"，证明的第一

个步骤是（）

A---------------B

C---------------D

E---------------F

A.假定8//E尸B.假定CD不平行于EF

C.己知AB//EFD.假定Ae不平行于所

【分析】根据要证8//M,直接假设8不平行于所即可得出.

【解答】解：∙用反证法证明命题：如果AB//8，ABllEF,那么8∕∕EP.

.•・证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CO不平行于EE.

故选：B.

22.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（

）

A.点在圆内B.点在圆上

C.点在圆心上D.点在圆上或圆内

【分析】由于反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设

不成立，则结论成立.

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种

就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.由此即可解决问题.

【解答】解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：

点在圆上或圆内.

故选：D.

23.用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是假设这两条直

线不平行.

【分析】先根据已知条件和反证法的特点进行假设，即可求出答案.

【解答】解：根据反证法的第一步：从结论的反面出发假设命题不成立，

故用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是：假设这两条直线

不平行.

故答案为：假设这两条直线不平行.

易错点纠错

易错题Ol作图一应用与设计作图

ɪ.（2022春•滨海新区期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物

上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：

①以NAoB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交边于点M,交03边于点N;

②作一条射线Cr＞，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线Cn交于点E；③以点E

为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点P；④过点尸作射线CP,则

ZPCD=ZBOA.如图1:

李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线/的平行线«.如图2.

（I）李强同学能借助上述方法作出直线/的平行线〃吗？（填“能”或“不能”）.

（II）如果能，请在图2中作出直线α,保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的

理

由：.

【分析】（I）利用同位角相等两直线平行，解决问题；

（Il）过点Q作直线交宜线/于点C,作NEQF=NECD即可.

【解答】解：（I）能.

故答案为：能；（H）如图，直线•即为所求.

由作图可知，NEQF=NECD,

.∙.直线a//直线/（同位角相等两直线平行）.

故答案为：同位角相等两直线平行.

2.（2022春•安宁市期末）在数学课上，王老师拿出一张如图1所示的长方形A4纸（对

道ABI/CD,ADHBC,四个角都是直角），要求同学们用直尺和量角器在ΛB边上找

一点E,使NAEC=I50。.

（1）甲同学的思路：在A5边上任取一点E,以£为顶点，以他为一边，用量角器作150。

角，则NAEC即为所求.

（2）乙同学的思路：以CD为始边，在长方形的内部，利用量角器作NZ）CE=30。，射线CF

与AB交于点E,如图2所示，则NAEC即为所求.

你支持乙同图依据

是Sl图2

【分析】支持乙同学的思路.利用三角形的外角的性质证明即可.

【解答】解：支持乙同学的思路.

如图1中,

图1

四边形A88是矩形，

.∖ZB=ZDCB=90°,

NDCE=30°,

ZfCB=90。-30。=60。，

.∙.ZAEC=ZS+ZECB=90o+60o=I50°.

作图依据是：三角形的外角等丁•不相邻的两个内角的和.

易错题02作图一代数计算作图

3.（2022秋•西安期中）作图题：在数轴上作出表示布的点.（保留作图痕迹，不写作

法，但要作答）-4-7-1∩—1—?―24'

【分析】因为10=9+1,则首先作出以1和3为直角边的直角三角形,则其斜边的长即是√IU.

再以原点为圆心，以Jid为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可.

【解答】解：因为10=9+1,则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即

是痴.

-4Y-?-1O

4.（2021春•邹城市期中）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：

①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上：

②连接三个格点，使之构成直角三角形.

小华在左边的正方形网格中作出了RlΔABC,请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网

格中各画出一个直角三角形，并求出这个直角三角形的面积.（要求：三个网格中的直角三

角形互不全等）

【分析】画的直角三角形的三边应符合两直角边的平方和等于斜边的平方.第一个图形和第

二个图形的面积可让两条直角边的积÷2即可.

易得图1三边长为如、√10,√20,符合两边和的平方等于第三边的平方，面积为:

i×√I0×√10=5;

2

图2中三边长分别为衣、如俪符合两边和的平方等于第三边的平方，面积为:

[χ0XM=3.

2

★★★真题达标演练★★★

1.（2022•巴中）如图，在菱形ABCD中，分别以C、。为圆心，大于』CD为半径画弧，

2

两弧分别交于点M、N,连接MN,若直线MN恰好过点A与边8交于点E,连接BE,

则下列结论错误的是（）

AD

BC

A.ZβCD=120oB.若AB=3,则BE=4

CCE=3BCD.SAAOE=—SAΛBE

【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可.

【解答】解：连接AC.

由作法得MN垂直平分CD,

.∙.AD=AC,CM=DM,NAED=90°,

四边形ABCD为菱形，

/.AB=BC=AD,

..AB=BC=AC,

.∙.ΔABC为等边三角形，

/.ZABC=60°,

.-.ZBCD=120°,即A选项的结论正确，不符合题意；

3

当AB=3,MlJCE=DE=-,

2

ZD=60。，

/.AE=y∣AD2-ED2=J32-(∣)2=ɪ,ZZME=30o,ZBAD=UOo,

.∖ZBAE=ZBAD-ZDAE=l20o-30o=90o,

在RtAABE中，BE=√AB2+AE2=^32+(ɪ)2ɪʒɪ,所以3选项的结论错误，符合题

忌J⅛.；

四边形AβCO是菱形，

.∙..BC=CD=ICE,即CE=IBC,所以C选项的结论正确，不符合题意；

2

AB//CD,AB=2DE,

所以。选项的结论正确，不符合题意.

.∙.SM4irlD*√CE.=-2SMt-vBʌθEɛ,

故选：B.

2.（2022•黄石）如图，在AABC中，分别以A,C为圆心，大于』AC长为半径作弧，

2

两弧分别相交于M,N两点，作直线MN,分别交线段BC,AC于点O,E,若

AE2cm,ΔAβQ的周长为11的，则AABC的周长为（）

A.13C∕MB.∖AcmC.15CmD.16cm

【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC,则根据线段垂直平分线的性质得到D4=DC，

AE=CE=Icm,再利用等线段代换得到4?+BC=Ik7〃，然后计算AWC的周长.

【解答】解：由作法得MN垂直平分AC,

DA=DC,AE=CE=2cm,

ΔABZ）的周长为IlCTn,

：.AB+BD+AD=Wcm,

AB+BD+DC=ilσn,KPAB+BC=Iicm,

.∙.ΔA8C的周长=A8+8C+4C=11+2x2=15（cm）.

故选：C.

3.（2022∙资阳）如图所示，在AASC中，按下列步骤作图：

第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE,使AT>=AE；

第二步：分别以点。和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点

F；

第三步：作射线AF交BC于点用；

第四步：过点M作MIVJ_AB于点N.

下列结论一定成立的是（）

A.CM=MNB.AC=ANC.ZCAM=ZBAMD.ZCMA=ZNMA

【分析】根据题意可知，AM平分NC4B,即可得出正确答案.

【解答】解：由题意可知，AW平分Nc4B,

NC不一定等于90。，.1CM..MV，因此A选项不符合题意；

NC不一定等于90。，.∙.AC不一定等于4V,因此B选项不符合题意；

AM平分NC4B,.∙.NC4Λ∕=NBAM,因此C选项符合题意；

.NC不定等于90。，.∙.NCM4不一定等于NMw4,因此。选项不符合题意.

故选：C.

4.（2022•安顺）如图，在ΔABC中，NABC<90。，AB≠BC,BE是Ae边上的中线，

按下列步骤作图：①分别以点8和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交

2

于点用，N；②作直线MN,分别交3C,BE于点、D,O；③连结CO,DE.则下

列结论错误的是（）

A.OB=OCB.ABOD=ΛCODC.DE//ABD.NBOC=ABDE

【分析】根据线段的垂直平分线的性质一一判断即可.

【解答】解：由作图可知，垂直平分线段BC,

/.OB=OC，

../BOD=NCOD,

AE=EC,CD=DB,

.∖DE//AB,

故A,B,C正确，

故选：D.

5.（2022∙威海）过直线/外一点P作直线/的垂线尸。.下列尺规作图错误的是（）

【分析】根据作图痕迹结合线段垂直平分线的判定和性质进行分析判断.

【解答】解：选项A,连接∕¾,PB,QA,QB,

・•.6P在线段AB的垂直平分线上，

QA=QB,

；.点Q在线段AB的垂直平分线上，

.-.PQn,故此选项不符合题意；

选项8,连接∕¾,PB,QA,QB,

PA=QA,

点A在线段PQ的垂直平分线上,

PB=QB`

点B在线段尸。的垂直平分线上，

:.PQLl,故此选项不符合题意；

选项C，无法证明尸Q_L/,故此选项符合题意;

选项£＞，连接RA,PB,QA,QB,

.∙.点A在线段P。的垂直平分线上，

PB=QB`

二点B在线段PQ的垂直平分线上，

:.PQVl,故此选项不符合题意；

故选：C.

6.（2022•滨州）正方形ABCC）的对角线相交于点O（如图1）,如果NBOC绕点O按顺时

针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F（如图2）,连接£F,那么在

点E由3到A的过程中，线段印的中点G经过的路线是（）

图1图2

A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线

【分析】建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1,证明ΔAOE三ABOF（ASA）,

推出AE=班■,设AE=3F=α,则尸（4,0）,£（0,1-«）,由题意Gdα,i-iβ）,推出点

222

G在直线y=-x+g上运动，可得结论.

【解答】解：建立如图平面直角坐标系，设正方形/WCO的边长为1,

图2

■四边形ABCz)是正方形，

.∙.ZOAE=ZOBF=45°,OA=OB,

ZAOB=AEOF=90°,

.∙.ZAoE=NBOF,

.∙.ΔAOE≈ABOF(ASA),

..AE=BF,

设AE=M=",则F(α,O),E(O,l-a),

EG=FG,

G(—a>--------O)»

222

，点G在直线y=-x+；上运动，

点G的运动轨迹是线段，

故选：A.

7.(2021•百色)下列四个命题：

①直径是圆的对称轴；

②若两个相似四边形的相似比是1:3,则它们的周长比是1:3,面积比是1:6；

③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；

④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.

其中真命题有()

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【分析】根据相似三角形的性质、平行线的判定、正方形的判定和对称判断即可.

【解答】解：①直径所在的直线是圆的对称轴，原命题是假命题；

②若两个相似四边形的相似比是1:3,则它们的周长比是1:3,面积比是1:9,原命题是假

命题；

③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；

④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题；

故选：C.

8.（2021•玉林）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也

与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”.下列判断正确的是（）

A.两人说的都对

B.小铭说得对，小熹说的反例不存在

C.两人说的都不对

D.小铭说的不对，小熹说的反例存在

【分析】根据垂径定理判断即可.

【解答】解：被宜径平分的弦也与直径垂直，这个结论错误，当弦是宜径时，不一定满足条

件，结论不成立，

反例：当弦是直径，且与已知直径的夹角为60。时，结论不成立.

故选：D.

9.（2021•浙江）能说明命题“若X为无理数，则V也是无理数”是假命题的反例是（

）

A.x=>∕2—1B.x=y∣2+1C.X=3x∣2D.x=>∕3--J2

【分析】根据题意，只要/是有理数，即求出各个选项中K