5.1.2 垂线（教学设计）

人教版初中数学七年级下册5.1.2垂线教学设计一、教学目标：1.理解垂线的有关概念、性质及画法；2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.二、教学重、难点：重点：垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.难点：对点到直线的距离的概念的理解.三、教学过程：情境引入观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？知识精讲在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b所成的角∠α也会发生变化.当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b.当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.如上图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD，垂足是O；

直线m与直线n垂直，记作：m⊥n；

“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；

而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.垂直的定义有以下两层含义：1.∵AB⊥CD(已知)2.∵∠1=90°(已知)

∴∠1=90°(垂直的定义)∴AB⊥CD(垂直的定义)日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的木条.你能再举出其他例子吗？做一做1.你能借助三角尺画出两条互相垂直的直线吗？2.如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？3.利用下面的方法可以折出互相垂直的线，你试试看!探究：1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？

2.经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？

3.经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.典例解析例1.如图所示，P是∠AOB的边OB上一点.(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C;(2)过点P画OA的垂线，垂足为H.解:(1)直线PC为所求;(2)直线PH为所求.【针对练习】画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线.知识精讲思考：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使渠道最短？探究：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，A4，A5，…，其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO，PA1，PA2，PA3，PA4，PA5，…的长短，这些线段中，哪一条最短？连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长？则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.我们如何测量立定跳远的成绩？典例解析例2.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【针对练习】1.如图，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列说法错误的是（）A．点A到BC的距离是AD的长度 B．点B到AD的距离是BD的长度C．点C到AD的距离是DE的长度 D．点B到AC的距离是AB的长度2.已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线m的距离为(

)A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm例3.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.【针对练习】如图，AB交CD于O，OE⊥AB．若∠AOC:∠BOC=1:2，求∠EOD的度数．解：∵∠AOC:∠BOC=1:2，∠AOB=180°，∴∠AOC=1∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠DOE=180°-90°-60°=30°．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.下列说法正确的有()①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图(2)，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是()A.20°B.40°C.50°D.60°3.如图(3)，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1,若∠α=44°，则∠β等于()A.56°B.46°C.45°D.44°4.已知点A，与点A的距离是5cm的线段可画()A.1条B.2条C.3条D.无数条5.如图，ON⊥l,OM⊥l，则OM与ON重合的理由是()A.过两点只有一条直线B.经过一点只有一条直线垂直于已知直线C.在同一平面内，过一点只能作一条已知直线的垂线D.垂线段最短6.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离,可用哪条线段的长来表示()A.POB.ROC.OQD.PQ7.看图(1)填空:(1)直线AD与直线CD相交于点____;(2)___⊥AD,垂足为点____;AC⊥____，垂足为点____.8.如图(2)，当∠1和∠2满足______________时，能使OA⊥OB(只需填一个条件即可).9.如图(3)，直线AB,CD相交于点O,若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是____________.10.如图，点M、N分别在直线AB、CD上,MF⊥CD.(1)点M和点N的距离是线段______的长;(2)M点到CD的距离是线段______的长.11.如图，三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,DE⊥BC.(1)点A到直线BC的距离是线段______的长度;(2)点B到直线AC的距离是线段______的长度;(3)点D到直线BC的距离是线段______的长度;(4)线段AD的长度是点____到直线_______的距离.12.如图,在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便(即距离最近)，请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.13.如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路行程最短，请画出行走路径，并说明理由.14.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD,OF⊥AB，求∠BOE和∠AOC的度数.15.如图，已知直线AB、CD、EO相交于O点，∠EOF=31°，∠AOC=28°，OF平分∠DOE，则OE,OB是什么位置关系?请说明理由?【参考答案】BCBDCC(1)D;(2)BE,E,CD,C∠1+∠2=90°OE⊥ABMN,MFAB,BD,DE,A,BD12.解:过点P作PQ⊥l,垂足为Q，则点Q为所求作的点.理由:垂线段最短.13.解:连接AB，过点B作BC⊥l，垂足为C，则AB+BC的行程最短.理由:两点之间线段最短及垂线段最短.14.解:∵OF⊥AB，OE⊥CD(已知)∴∠BOF=∠DOE=90°(垂直定义)∴∠BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°∴∠BOE=∠DOE-∠BOD=9O°-25°=65。∴∠AOC=∠BOD=25°(对顶角相等)15.解:OE⊥OB.理由如下:∵OF平分∠DOE∴∠DOF=∠EOF=31°(角平分线定义)∵∠BOD=∠AOC=28°(对顶角相等)∴∠EOB=∠EOF+∠DOF+∠BOD=31°+31°+28=90°∴OE⊥OB(垂直定义)四、教学反思：本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况—垂直，可类比前面两条直线