2024年高考数学一轮复习第5章第5讲：复数（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第5章第5讲：复数学生版

【考试要求】1.通过方程的解，认识复数2理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数

相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

主干知识

【知识梳理】

I.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a+bi(a,6SR)的数叫做复数，其中丄是复数z的实部，女是复数z的

虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+bi(a,6£R)

［实数3三0)，

壷数(修0)(当。三0时为纯虚数).

(3)复数相等：

a+bi=c+dio〃=c且b=d(a,b,c,d£R).

(4)共胡复数：

a+bi与c+di互为共物复数Oa=c,b=—d(a,b,c,d£R).

(5)复数的模：

向量市的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作近土匈或团,即忸=|a+历|=4石*(“，

Z?SR).

2.复数的几何意义

•*TH*h*

(1)复数z=a+6i(〃，b£R)复平面内的点Z(mb).

(2)复数z=〃+历(“，6CR)一对平面向量波.

3.复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=〃+6i,Z2=c+d\(a,h,c,d£R),贝lj

①加法：zi+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(7?+rf)i；

②减法：zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(6—Gi；

③乘法：z\-Z2=(a+bi)-(c+di)=(ac~~bt/)+(ad+bc)i；

④除法:i(c+diK0).

Z2c+di(c+di)(c—di)c2-\~cP(P-+cP

第1页共21页

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给岀的平行四边形OZZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即市=5方+

历，Z^Z2=~OZ1-'OZ\.

【常用结论】

1.(l±i)2=±2i；-=i；口=-i.

1—i1+i

2.—b+ai=i(a+6i)(a,R).

3.i4n=l,i4n+l=i,i4n+2=-l,i4,,+3=-i(n£N).

4.i4n+i4n+,+i4n+2+i4fl+3=0(〃GN).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)aW|z|W6表示以原点。为圆心，以〃和b为半径的两圆所夹的圆环；

(2)|z—伍+历)|=r(r>0)表示以(a,3)为圆心，厂为半径的圆.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)复数z=a-6i(a,6CR)中，虚部为&.(X)

(2)复数可以比较大小.(X)

(3)已知z=a+6i(a,h&R),当a=0时，复数z为纯虚数.(X)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的

模.(J)

【教材改编题】

I.已知复数z满足z(l+i)=2+3i,则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析因为复数z满足z(l+i)=2+3i,

2+3i(2+3i)(l-i)5+i5,1.

所以z-------------------------------1--1

1+i(l+i)(l-i)222

所以在复平面内z对应的点位于第一象限.

2.若z=(机2+加-6)+(m—2)i为纯虚数，则实数加的值为

答案一3

第2页共21页

3.已知复数z满足(3+4i>z=5(l—i),则z的虚部是.

答案-(

解析因为(3+4i)-z=5(l—i),

济z_5(l-i)_5(l-i)(3-4i)_5(3-7i+4i2)_5(-l-7i)_17.

m以z=---------=-------------------=：----：—=----------=------1

3+4i(3+4i)(3-4i)32-(4i)22555

所以Z的虚部为一；

■探究核心题型

题型一复数的概念

例1（1）（多选）（2023・潍坊模拟）已知复数Z满足忆冃Z-1|=1,且复数Z对应的点在第一象限,

则下列结论正确的是（）

A.复数z的虚部为亜

2

口113.

B.一=----1

z22

C.z2=z+1

D.复数z的共飘复数为一丄+也i

22

答案AB

解析设复数z=a+6i(a,6GR).

因为团=|z-l|=l,且复数z对应的点在第一象限,

=丄

a2+b2=1,2,

所以.(4—1)2+62=1,解得

h=道

心0,/?>0,2，

即z=1+珞

22

对于A,复数z的虚部唔故A正确;

10

--------1

22

对于B,丄十坐,故B正确;

Z1+甄-fP

对于C,因为z2=e+*I=—丄+MiiWz+l,故C错误;

22

对于D,复数z的共扼复数为』一金i,故D错误.

22

第3页共21页

(2)(2022•北京)若复数z满足i-z=3—4i,则团等于()

A.1B.5C.7D.25

答案B

解析方法一依题意可得2=匕生=支乎=-4一3i,所以|z|=N(-4)2+(一3/=5,故选

ii2

B.

方法二依题意可得i2・z=(3—4i)i,所以z=-4—3i,则|z|=)(-4)2+(-3)2=5,故选B.

(3)(2022・泰安模拟)已知复数z满足土=i,则z=.

Z

答案"当

22

解析由士=i,得z+i=zi,

Z

・——i——i(l+i)_J—i_Ji

.・z=.......-------------------------------.

1-i(l-i)(l+i)222

则z=丄+£

22

思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只

需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为。+历(。，6CR)的形式，以确定实部和虚部.

跟踪训练1(1)(2023•淄博模拟)若复数z=必的实部与虚部相等，则实数a的值为()

a+i

A.-3B.-1C.1D.3

答案A

解析z=2+i=(2+i)(a-i)=2a+1+(a-2)i

a+i(a+i)(〃一i)a2+1

因为复数z="的实部与虚部相等，

a+i

所以2a+l=a—2,解得a=-3,

故实数〃的值为一3.

(2)(2022•全国甲卷)若z=l+i,则|iz+3z|等于()

A.B.4也C.23D.2也

答案D

解析因为2=1+i,所以iz+3z=i(l+i)+3(l—i)—i—1+3—3i=2—2i,

第4页共21页

所以|iz+3z|=|2—2i|=422+(―2)2=23.故选D.

(3)(2022•新高考全国I)若i(l—z)=l,则z+z等于()

A.-2B.-1C.ID.2

答案D

解析因为i(l—z)=l,所以z=l—5=l+i,所以z=1—i,所以z+z=(1+i)+(l—i)=2.

1

故选D.

题型二复数的四则运算

例2(1)(2022•全国甲卷)若z=-l+3i,则T一等于()

ZZ—\

A.—1+SiB.一1一后

C.一丄+重in1有

D.--------1

3333

答案c

缶力土二——-——_______—1+血_______7+血］丄收一

解析一=-------7=------------------7==--------=1--1,故选C.

zz(-1+V3i)(-1-V3i)-1333

（2）（多选）（2022•福州模拟）设复数zi,Z2,Z3满足Z3#0,且,尸㈤，则下列结论错误的是（）

A.zi=±Z2B.z+=z2

C.ZfZ3—Z2'Z3D.\zrZ3\—\Z2'Zj\

答案ABC

解析取Zl=l—i,Z2=l+i,显然满足匕1|=%|=/，但Z1#Z2,Z1W—Z2,故A错误；因为

Z?=—2i,z5=2i,故B错误；再取Z3=l,显然C错误.

思维升华（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.（2）复数的除法：除法的关键

是分子分母同乘以分母的共机复数.

跟踪训练2（1）（2022・新高考全国II）（2+2i）（l—2i）等于（）

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

答案D

解析(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i+4=6-2i,故选D.

（2）（2023•济宁模拟）已知复数z满足z（3=l-2i,则z的虚部为（）

A.1B.-1C.2D.-2

答案B

解析：z43=l—2i,

第5页共21页

・・z升*+、

Z的虚部为一1.

题型三复数的几何意义

例3(1)(2023•文昌模拟)棣莫弗公式(cosx+isin;v)"=coswx+isin其中i为虚数单位)是由

cos-+isin-|.

法国数学家棣莫弗(1667—1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数.66中在复

平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

COS+iSin

(65=cos^+iSin^

Tt..兀

解析由已知得cosl—cos—ism-=

6666

1.

-1

22

三上KiW,位于第三象限.

.cos%ism”7在复平面内所对应的点的坐标为

，复数

(2)在复平面内，O为坐标原点，复数zi=i(—4+3i),Z2=7+i对应的点分别为Zi,Z2,则

NZQZ2的大小为()

A5BT潭D?

答案C

解析Vzi=i(—4+3i)=—3—4i,z2=7+i,

：.OZ\=(-3,-4),反=(7,1),

OZ\,OZ2=-21—4=-25,

OZxOZi-?s

：.COSZZIQZ=；=-------r=--

2\OZ\WOZ2\5X5/2

37r

又NZQZ2£[0,71],AZZ1OZ2=-.

4

(3)设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确的是()

A.若忆|=1,则2=±1或z=±i

B.若匕+1|=1,则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆

第6页共21页

C.若1W|Z|W/,则点Z的集合所构成的图形的面积为兀

D.若|z-l|=|z+i|,则点Z的集合中有且只有两个元素

答案c

解析若团=1,则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数Z

对应，故A错误；

若|z+l|=l,则点Z的集合为以(一1,0)为圆心，1为半径的圆，故B错误；

若lW|z|W@,则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和也为半径的两圆所夹的圆环，所

以点Z的集合所构成的图形的面积为TtX(啦/一nXl2=7t,故C正确；

若匕一1|=匕+”,则点Z的集合是以点(1,0),(0,—1)为端点的线段的垂直平分线，集合中有

无数个元素，故D错误.

思维升华由于复数、点、向量之间建立了---对应的关系，因此可把复数、向量与解析几

何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

跟踪训练3(1)设复数z满足(1—i)z=2i,则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析由z=2~=2i(1+i)=_[+「故z在复平面内对应的点为(-1,1),

1-i(l-i)(l+i)

所以z在复平面内对应的点位于第二象限.

(2)设复数z满足|z—1|=2,z在复平面内对应的点为(x,y),贝)

A.(%—1)2+^=4B.(工+1)2+产=4

C.x2+0^—1)2=4D.x2+(y+l)2=4

答案A

解析z在复平面内对应的点为(x,y),则复数z=x+yi(x,y£R),贝怩一l|=|(x—l)+yi|=2,

由复数的模长公式可得(x—l)2+f=4.

⑶已知复数z满足匕+i|=|z—i|,则|z+l+2i|的最小值为()

A.1B.2C.3D由

答案B

解析设复数z在复平面内对应的点为Z,

因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离

相等，

所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，

又|z+l+2i|表示点Z到点(一1,—2)的距离,

所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(一1,一2)距离的最小值，

第7页共21页

所以|z+l+2i|的最小值为2.

课时精练

理基础保分练

1.（2022,浙江）已知a,bWR,a+3i=（b+i）i（i为虚数单位）,则（）

A.a—1,b——3B.a——\,6=3

C.a=-1,Z>=—3D.a=1,b=3

2.（2022・济南模拟）复数z="-（i为虚数单位）的虚部是（）

i+1

A.-1B.1C.-iD.i

3.（2023・烟台模拟）若复数z满足（l+2i）z=4+3i,则z等于（）

A.-2+iB.-2-i

C.2+iD.2-i

4.（2023•焦作模拟）复数z=n—i5在复平面内对应的点位于（）

2+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.（2022•西安模拟）已知复数z满足（1—i>z=2-4i,其中i为虚数单位，则复数z的虚部为

（）

A.1B.-1C.iD.-i

6.（2022・临沂模拟）已知复数2=辻且，i为虚数单位，则团等于（）

1—i

A.23B.2-^3C.2#D.2a

1.（2023・蚌埠模拟）非零复数z满足z=一勿，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.实轴B.虚轴

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

8.（2022・文昌模拟）已知复数z=T@（adR,i是虚数单位）的虚部是一3,则复数z在复平面

i

内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9.i是虚数单位，设（l+i）x=l+yi,其中x,y是实数，则孙=,|x+yi|=.

10.（2022•潍坊模拟）若复数z满足z-i=2—i,则|z|=.

第8页共21页

立综合提升练

11.欧拉公式公=cos0+isin。（其中e=2.718…,i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创

立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉

为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）

A.e讥的实部为0

B.e"在复平面内对应的点在第一象限

C.恰叫=1

D.邮的共辄复数为1

12.（多选）（2022•济宁模拟）已知复数zi=-2+i（i为虚数单位），复数Z2满足区一1+2i|=2,

Z2在复平面内对应的点为M（x,y）,则下列说法正确的是（）

A.复数zi在复平面内对应的点位于第二象限

D121.

zi55

C.（x+1）2+&-2）2=4

D.|Z2-Z1|的最大值为3啦+2

13.若复数（x—3）+yi（x,y£R）的模为2,则上的最大值为（）

x

A挫BWcfiD.-

5233

14.在数学中，记表达式"一儿为由「）所确定的二阶行列式.若在复数域内，zi=l+i,

Z2=—,Z3=Z2,则当「Z2|=!-i时，Z4的虚部为________.

1-iIz3Z4I2

立拓展冲刺练

15.方程z2-4团+3=0在复数集内解的个数为（）

A.4B.5C.6D.8

16.投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和

n,则复数竺士也为虚数的概率为_______.

〃+mi

第9页共21页

2024年高考数学一轮复习第5章第5讲：复数教师版

【考试要求】1.通过方程的解，认识复数2理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数

相等的含义3掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

・落实主干知识

卿识梳理】

1.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如“+bi(a,6CR)的数叫做复数，其中丄是复数z的实部，2是复数z的

虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+bi(a,6WR)

［实数3三0),

金数(匡0)(当a三0时为纯虚数).

(3)复数相等：

a+6i=c+4i今a=c且b=d(a,b,c,46R).

(4)共轨复数：

a+历与c-+历互为共钝复数oa=c,b=—d(a,b,c,JeR).

(5)复数的模:

向量流的模叫做复数Z=〃+bi的模或绝对值，记作出+例|或团,即团=|〃+加=炉后(4,

6WR).

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+6i(〃，b£R)“复平面内的点Z(a,b)・

―•—■对应__―►

(2)复数z=a+6i(a,b£R)平面向量OZ.

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则:

设zi=a+bi,Z2=c+di(。，b,c,d£R),则

①加法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+亦；

②减法：zi-Z2=(a+(i)—(c+di)=(a—c)+(b-rf)i；

③乘法：zi・Z2=(a+bi)•(c+=6t7)+(qd+6c)i；

z\a-\-b\(a+bi)(c-di)ac+bd,be-ad.,...x

④除法:—=-------=-------------------=-----------1-----------\(c十"i子()).

Z2c+di(c+di)(c-di)^+6/2c2+cP

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

第10页共21页

如图给出的平行四边形OZZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即方=西+

OZ2,Z1Z2—OZz—OZ\.

【常用结论】

1.(l±i)2=±2i；—=i；­=-i.

1-i1+i

2.—b+ai=i(a+bi)(a,R).

3.i4,,=l,i4,,^l=:i,i4,,+2=—1,i4n+3=—i(nGN)

4.i4"+i4"+1+i4〃+2+j4»+3=o(〃GN).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)aW|z|<6表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；

(2)|z—(a+6i)|=r(r>0)表示以(a,6)为圆心，r为半径的圆.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)复数z=a一历(a,bGR)中，虚部为b.(X)

(2)复数可以比较大小.(X)

(3)已知z=a+bi(a,6GR),当a=0时，复数z为纯虚数.(X)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的

模.(V)

【教材改编题】

1.已知复数z满足z(l+i)=2+3i,则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析因为复数z满足z(l+i)=2+3i,

所以z=2i=®l二込=耳厶

1+i(l+i)(l-i)222

所以在复平面内z对应的点位于第一象限.

2.若2=(〃户+〃7—6)+(w—2)i为纯虚数，则实数的值为

答案一3

3.已知复数z满足(3+4i>z=5(l-i),则z的虚部是

第11页共21页

答案u

解析因为(3+4i)-z=5(l—i),

所以=5(1—i)_5(l—i)(3—4i)_5(3-7i+4i2)_5(-l-7i)_17,

z3+4i(3+4i)(3-4i)32-(4i)22555

所以z的虚部为一；

■探究核心题型

题型一复数的概念

例1（1）（多选）（2023・潍坊模拟）已知复数z满足团=上一1|=1,且复数z对应的点在第一象限,

则下列结论正确的是（）

A.复数z的虚部为止

2

B.———--------1

z22

C.z2=z~\~1

D.复数z的共辗复数为一丄+也i

22

答案AB

解析设复数z=a+6i(a,b^R).

因为团=匕-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,

_1

次+〃=1,a~2,

所以《4—1>+加=1,解得b=置

a>0,b>0,L2

art1I,

即z=-+—1.

22

对于A,复数z的虚部衅，故A正确;

2

对于B,-=故B正确;

Z

对于C,因为22=6+?12=一丄+亚iWz+1,故C错误;

22

对于D,复数z的共扼复数为丄一亚i,故D错误.

22

（2）（2022•北京）若复数z满足iz=3-4i,则|z|等于（)

第12页共21页

A.1B.5C.7D.25

答案B

解析方法一依题意可得z=匕曳=纪学=-4—3i,所以|z尸N(_4)2+(—3)2=5,故选

ii2

B.

方法二依题意可得i2-z=(3—4i)i,所以z=-4—3i,则团=叱_4)2+(—3)2=5,故选B.

(3)(2022•泰安模拟)已知复数z满足辻则z=.

Z

答案!+当

22

解析由士=i,得z+i=zi,

Z

・=T=T(l+i)=Li=]i

*1-i(l-i)(l+i)222,

则z=1+丄i.

22

思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只

需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为。+历伍，6WR)的形式，以确定实部和虚部.

跟踪训练1(1)(2023・淄博模拟)若复数z=H的实部与虚部相等，则实数。的值为()

a+i

A.-3B.-1C.1D.3

答案A

缶力4匚2+i(2+i)(a—i)2a+\+(a—2)i

解析z=—―=-；----------=-------------------,

a+i(a+i)(a—i)a2+l

因为复数的实部与虚部相等，

a+i

所以2〃+1=。-2,解得。=—3,

故实数。的值为一3.

(2)(2022•全国甲卷)若z=l+i,则|iz+3Z|等于()

A.4為B.4/C.2^/5D.2/

答案D

解析因为z=l+i,所以iz+3z=©+。+3(1—i)=i—1+3—3i=2—2i,

所以|iz+3z|=|2-2i产亚S工？=2也做选D.

第13页共21页

(3)(2022•新高考全国I)若i(l-z)=l,则z+z等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案D

解析因为i(l—z)=l,所以z=l—丄=l+i,所以z=1—i,所以z+z=(1+i)+(l—i)=2.

i

故选D.

题型二复数的四则运算

例2（1）（2022•全国甲卷）若z=—l+3i,则T一等于（）

zz—1

A.—1+3iB.-1-^i

C.一丄+赵13；

Dn.-----------1

3333

答案c

Z_________1+6_—l+^/3i_1,A/3,好济「

解析rr____________________十1,政博C.

ZZ—1(-1+V3i)(-1-V3i)-1333

（2）（多选）（2022•福州模拟）设复数zi,Z2,Z3满足Z3#0,且㈤=。|,则下列结论错误的是（）

A.Z1=±Z2B.z彳=z3

C.Z]23=2223D.|zrZ3|=|Z2*Z3|

答案ABC

解析取Z1=1—i,Z2=l+i,显然满足|zi|=|Z2|=仍，但Z1#Z2,Zl#—Z2,故A错误；因为

z?——2i,故B错误；再取Z3=l,显然C错误.

思维升华（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.（2）复数的除法：除法的关键

是分子分母同乘以分母的共瓢复数.

跟踪训练2（1）（2022•新高考全国H）（2+2i）（l—2i）等于（）

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

答案D

解析(2+2i)(l-2i)=2—4i+2i+4=6—2i,故选D.

⑵(2023・济宁模拟)已知复数z满足z“3=l—2i,则z的虚部为()

A.1B.-1C.2D.-2

答案B

解析•户=-2i,

.•.-zi=l-2i,

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...Z的虚部为一1.

题型三复数的几何意义

例3⑴(2023・文昌模拟)棣莫弗公式(cosx+isinx)"=cos〃x+isin〃x(其中i为虚数单位)是由

[os匹+isin。

法国数学家棣莫弗(1667—1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数16'弓,在复

平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

cos+isin

斛加析新由rh已P知付IfA66J—cos-7-兀--_1H_.s.in—77r=cosl6j+isi.nLP+T6IJ=-cos—兀i.s.m兀-=

6666

••・复数E°s%+⑸在复平面内所对应的点的坐标为1一3,2J,位于第三象限.

(2)在复平面内，O为坐标原点，复数zi=i(-4+3i),Z2=7+i对应的点分别为Zi，Z2，则

/Z1OZ2的大小为()

答案C

解析：zi=i(—4+3i)=-3-4i,Z2=7+i,

：.OZ,^(-3,-4),反=(7,1),

.•.次次=-21—4=-25,

0Z\0Zi—75

.,.cosZZiOZ==■-------干=一半

2|OZ1||OZ2|5X5/2

又NZQZ2G[0,n],AZZ,OZ=—.

24

(3)设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确的是()

A.若|z|=l,则2=±1或z=±i

B.若|z+l|=l,则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆

C.若lW|z|W/,则点Z的集合所构成的图形的面积为n

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D.若|z-l|=|z+i|,则点Z的集合中有且只有两个元素

答案C

解析若团=1,则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数Z

对应，故A错误；

若|z+l|=l,则点Z的集合为以(一1,0)为圆心，1为半径的圆，故B错误；

若则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和/为半径的两圆所夹的圆环，所

以点Z的集合所构成的图形的面积为兀义(啦＞一兀乂口=兀，故C正确；

若|z—1|=匕+"，则点Z的集合是以点(1,0),(0,一1)为端点的线段的垂直平分线，集合中有

无数个元素，故D错误.

思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几

何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

跟踪训练3(1)设复数z满足(1—i)z=2i,则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析由2i(1+?_=_]+「故z在复平面内对应的点为(-1,1),

1-i(l-i)(l+i)

所以z在复平面内对应的点位于第二象限.

(2)设复数z满足|z—1|=2,z在复平面内对应的点为(x,刃，则()

A.(x—l)2+y2=4B.(x+l)2+^2=4

C.x2+(y—1)2=4D.x2+(y+l)2=4

答案A

解析z在复平面内对应的点为(x,y),则复数z=x+yi(x,y£R),则|z—l|=|(x—l)+yi|=2,

由复数的模长公式可得(x—1)2+V=4.

⑶已知复数z满足忆+i|=|z—i|,则|z+l+2i|的最小值为()

A.1B.2C.3D忑

答案B

解析设复数z在复平面内对应的点为Z,

因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离

相等，

所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，

又|z+1+2i|表示点Z到点(一1,—2)的距离,

所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(一1,一2)距离的最小值，

所以|z+l+2i|的最小值为2.

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课时精练

应基础保分练

1.（2022•浙江）已知a,bQR,a+3i=3+i）i（i为虚数单位）,则（）

A.a=l,h=-3B.a=-1,b=3

C.a—-1,b=-3D.u=1,b=3

答案B

解析（Z）+i）i——1+bi,则由a+3i=­1+历，得a=—1,b—3,故选B.

2.（2022・济南模拟）复数z=，一（i为虚数单位）的虚部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

答案A

解析因为2=爲=箭含T专

所以复数Z的虚部为一1.

3.（2023・烟台模拟）若复数z满足（l+2i）z=4+3i,则z等于（）

A.-2+iB.-2-i

C.2+iD.2-i

答案C

43.（4.）（1-2,）,.所以.

解析由（l+2i）z=4+3i=>z±=+3=22=2+

l+2i（l+2i）（l-2i）

4.（2023•焦作模拟）复数2=二一i5在复平面内对应的点位于（）

2+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案c

j5=T（2T）-l-2i

解析因为z=—^一i

2+i（2+i）（2-i）555

所以z在复平面内对应的点为位于第三象限.

5.（2022•西安模拟）已知复数z满足（1—i）2z=2-4i,其中i为虚数单位，则复数z的虚部为

（）

A.1B.-1C.iD.-i

答案B

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7—4i?—4i?i-k4

解析由题意，化简得z=2"三=丄卫=组工=2+i,则z=2—i,

(1-i)2-2i2

所以复数z的虚部为一1.

6.(2022・临沂模拟)已知复数2=让①，i为虚数单位，则团等于()

1—i

A.2/B.23C.2mD.2#

答案C

解析Z=(2+6I)(1+i)=(2+6i)(l+i)=+3现1+i)=_2+4i,团川4+16=2砧.

(l-i)(l+i)2

7.(2023・蚌埠模拟)非零复数z满足z=-zi,则复数z在复平面内对应的点位于()

A.实轴B.虚轴

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

答案C

解析由题意，设2=。+历(°,6£R),

故z=一力04_万=_(。+8i)i=_ai+b,

故a=b,—b=­a,

即复数z=a+ai,在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上.

8.(2022・文昌模拟)已知复数z=@±2(adR,i是虚数单位)的虚部是一3,则复数z在复平面

i

内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析由题意，z=K2="空=2—泊的虚部是一3,

ii2

所以z在复平面内对应的点的坐标为(2,-3),在第四象限.

9.i是虚数单位，设(l+i)x=l+yi,其中x,y是实数，贝Uxy=,|x+yi|=.

答案1电

仅=1,“,

解析因为(l+i)x=l+yi,所以x+xi=l+yi,即，所以x=y=l,

所以中=1,|%+^|=|1+i|=,\/l2+l2=^.

10.(2022•潍坊模拟)若复数z满足z・i=2—i,则|z|=.

答案他

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2-i(2-i)(-i)

解析由z-i=2-i,得zl-2i,

-i2

•••kl=V(-D2+(-2)2=^.

9合提升练

11.欧拉公式eW=cos6+isin。（其中e=2.718…，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创

立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉

为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）

A.声的实部为0

B.e》在复平面内对应的点在第一象限

C.|ei6|=l

D.e加的共的复数为1

答案C

解析对于A,ein=cosn+isin7t=-1,则实部为一1,A错误；

对于B,e2i=cos2+isin2在