（考前大通关）高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题四《第一讲 不等式的性质与证明》专题针对训练 理

一、选择题1．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()A．a>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2) B.eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC.eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a D.eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2)解析：选C.取特殊值，如令a＝－1，b＝－2，则可得eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a，故选C.2．若a<b，c<d，且(c－a)(c－b)>0，(d－a)(d－b)<0，则()A．a<c<d<bB．c<a<b<dC．a<c<b<dD．c<a<d<b解析：选D.由已知条件(c－a)(c－b)>0可知c<a或c>b；由已知条件(d－a)(d－b)<0又可知a<d<b.又∵c<d，∴c<a<d<b，应选择D.3．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin17°＋cos17°，则下列各式正确的是()A．a<eq\f(a2＋b2,2)<bB．b<eq\f(a2＋b2,2)<aC．a<b<eq\f(a2＋b2,2)D．b<a<eq\f(a2＋b2,2)解析：选C.a＝eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(6),2)>1，b＝eq\r(2)sin62°，于是b>a，排除B、D，又eq\f(a2＋b2,2)>ab>b，从而eq\f(a2＋b2,2)>b>a，故选C.4．(2011年高考湖北卷)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋z，3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，y－z))，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，2)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，3))解析：选D.∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋z，3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，y－z))，且a⊥b，∴a·b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋z))＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－z))＝0，即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))时，zmax＝3.∴z∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，3)).5．设|a|<1，则P＝|a＋b|－|a－b|与2的大小关系是()A．P>2B．P<2C．P＝2D．不确定解析：选B.P＝|a＋b|－|a－b|<|a＋b＋a－b|＝2|a|<2.二、填空题6．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．解析：因为1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))＝2eq\r(\f(xy,12))＝eq\r(\f(xy,3))，所以xy≤3，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2时取等号，故xy的最大值为3.答案：37．若x>1，则x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________．解析：x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥2eq\r(x－1·\f(4,x－1))＋1＝5，等号当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时成立．答案：58．(2010年高考江苏卷)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤y≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是________．解析：由4≤eq\f(x2,y)≤9，得16≤eq\f(x4,y2)≤81.又3≤xy2≤8，∴eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3)，∴2≤eq\f(x3,y4)≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时eq\f(x3,y4)＝27.∴eq\f(x3,y4)的最大值是27.答案：27三、解答题9．已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求5a－b的范围．解：令5a－b＝x(a－b)＋y(a＋b)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,－x＋y＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3≤3a－b≤6，①,4≤2a＋b≤8.②))①＋②得7≤5a－b≤14.10．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．解：(1)如图，设矩形的另一边长为am.则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝eq\f(360,x)，所以y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>0)．(2)∵x>0，∴225x＋eq\f(3602,x)≥2eq\r(225x×\f(3602,x))＝10800.∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360≥10440.当且仅当225x＝eq\f(3602,x)时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．11．一群女生住若干间宿舍，若每间住4人，剩19人无房住；若每间住6人，有一间宿舍住不满，问可能有多少间宿舍？多少名学生？解：设宿舍共有x间，在本题中有如下关系：(1)女生人数为4x＋19；(2)女生人数少于x间宿舍每间住6人时可容纳的总人数；(3)女生人数多于x－1间宿舍每间住6人时可容纳的总人数