2023-2024学年上海市普陀区高二年级下册期中数学模拟试题1（含答案）

2023-2024学年上海市普陀区高二下册期中数学模拟试题

一、填空题

1.抛物线Y=4y的准线方程是

【正确答案】y=τ

【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2。=4,再直接代入即可求出其准

线方程.

【详解】因为抛物线的标准方程为Y=4），,焦点在y轴上，

所以：2。=4,即p=2,所以］=1,

所以准线方程为：y=-ι,

故答案是∙y=7

该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方

程，属于简单题目.

2.已知用"=8x7x6,则H=.

【正确答案】3

【分析】根据排列数公式求解即可.

【详解】因为咸=8x7x6,所以机=3.

故3

3.若3%+4y=1,3Λ2+4%=1,且N≠Z,则经过Aa,凹）、以刍,必）的直线/的一般方程为

【正确答案】3x+4y-l=0

【分析】根据A（N，X）、B（Λ2,%）都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一

性,即得直线方程.

【详解】若3历+4%=1,3々+4%=1,

则点Aa,y）在直线3x+4y-l=0上，

点8（Λ2,%）在直线3x+4y-l=O上

即Aa,X)、B(W,%)都在同一直线3x+4y—1=0上

因为两点确定一条直线,所以由A(XI,X)、8伍,力)确定的直线即为3x+4y-l=0

故答案为：3x+4y-l=0

4.函数y=∕(x),其中/(x)=2χ2,函数/(x)在区间μυrΛ0+Δx］上的平均变化率为K，在

［⅞-ΔxΛ0］上的平均变化率为k1,则⅛1与k2的大小关系是

【正确答案】k∖>h

【分析】根据平均变化率公式求出勺与再比较大小即可；

【详解】依题意kl=2(2=)一二2次=4x<a+2A√=4x0+2ΔΛ>

x0+Ar-x0Ar

2

,2xθ-2(¾-ΔΛ-)^4xn∆x-2∆x,

*2=Jλ5--------=4⅞-2∆X,

XO-(XO-Aʃ)Ar

所以勺一&2=4©，而Ax>0,所以人>的.

故K>&

5.2名老师和6名学生站成一排，则2名老师恰好不相邻的排法数为

【正确答案】30240

【分析】不相邻的排法使用插空法计算即可.

【详解】先将6名学生排成一排有A：=720种，再将2名老师插入到7个空位中有

A；=7X6=42,所以满足条件的排法共有720x42=30240种排法.

故30240.

6.己知函数y=∕(x),满足/(x)=In(2-3x),则它的导函数y'=(请注明定义

域).

32

【正确答案】—(x<-)

【分析】根据复合函数的导数运算法则求解.

【详解】由题可知，函数/(x)=ln(2-3x)的定义域为卜oo,∙∣

r(χ)=—!—×(2-3x)=---

2-3x`73x-2

32

故答案为：

3x-23

7.6本不同的书全部分给5个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

【正确答案】1800

【分析】先把6本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的4个元素分给5个同学，相

当于在5个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果.

【详解】从6本书中取出两本看做一个元素共有Cl=15种不同的取法，

这一元素与其他4个元素分给5个同学共有A；=120种不同的分法，

根据分步乘法计数原理，共有C>A；=1800种不同的分法.

故答案为:1800.

8.设厂为抛物线V=8x的焦点，AB、C为该抛物线上三点,若尸为43C的重心，则

∣E4∣+∣FB∣+∣FC∣=

【正确答案】12

【分析】根据三角形重心坐标公式以及抛物线的定义求解.

【详解】设三角形的三个顶点凶）,8®,为），Ca3,力），

由条件可知，且p=4,F（2,0）,

根据三角形的重心坐标公式，可得X+,+々=2,所以％+%+鼻=6,

根据抛物线的定义，可得∣E4∣=x∣+5,∣Eβ∣=%2+],∣FC∣=X3+5,

所以|硒+FM+∣EC∣=玉+超+χ3+当=12,

故12.

9.设片,马分别为椭圆Γ∖1+y2=l的左、右焦点，点A8在椭圆「上，且不是椭圆的顶点.若

FlA+ΛF2B=O,且2>0,则实数/1的值为.

【正确答案】1

【分析】由已知向量条件结合椭圆的对称性推出四边形片AgB一定为平行四边形，可得

FtA=BF2,即/1=1.

【详解】因为6A+∕IE3=O,所以6A=Zβ∕ζ,所以耳4//8巴，

XA>O,且AB不是椭圆的顶点.

根据椭圆的对称性可知，四边形F1AF2B一定为平行四边形,

如图:

所以EA=E8,

所以4A=B❷，即4=1,

故1.

关键点点睛：根据椭圆的对称性求解是解题关键.

10.若关于X的方程仄，一日+4Z-3=0有且只有两个不同的实数根，则实数%的取值

范围是.

【正确答案】扇幺5N3*

【分析】分析可知直线/：y=z(x-4)+3与曲线y="7二7有两个公共点，作出图形，求出

当直线/与曲线y=”二7相切时实数%的值，以及直线/过原点时Z的值，数形结合可得

出实数人的取值范围.

【详解】由"XT?_依+4"3=0可得"<_丁2=MX-4)+3,

则直线/：y=Mx—4)+3与曲线y=瓦二7有两个公共点，如下图所示：

由y=j4x-χ220可得周=4x-x2,即（X-2）?+9=4,

所以，曲线y="*--表示圆(x-2y+∕=4的上半圆,

直线/是过点P(4,3)且斜率为左的直线，当直线/与圆相切时，则©瓷=2,解得々=三，

√⅛2+112

当直线/过原点时，k=V3，

4

由图可知，当时，直线/：y=M*—4)+3与曲线y=α∑7有两个公共点.

⅛53

因此，实数攵的取值范围是

⅛53

故答案为•就不

11.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设4A是正六

棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA为底面矩形的一边，则

【分析】根据正六边形的性质分析可得.

【详解】如图所示：

根据正六边形的性质可知，

当另一条边取B用时，顶点可取Z)或R或E或4共4种情况,

当另一条边取C0,EEl,FK时，顶点也各有4种情况，

因此这样的阳马的个数是4x4=16种.

故16

本题考查了分类计数原理，考查了正六边形的性质，属于基础题.

12.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了三种圆锥曲线，其中的一

种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部

分，已知高IPa=2,底面圆的半径为4,M为母线心的中点，平面与底面的交线LAB,

则双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为

3

【正确答案】j/0.6

【分析】以过M点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为X轴建立坐

标系，求出M,E坐标代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，先求出两渐近线所夹锐角的

正切值，再求余弦值即可.

【详解】设EF交OB于N,

以过“点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为X轴建立如图所示坐

标系，

因为圆锥的高IPa=IO'N∣=2,M是PB中点，且截面垂直于底面，

所以IMM=JPOI=1,所以"(1,0),

又因为底面圆半径|。即=4,

所以IoM=Jo8∣=2,∖EN∖=yj∖0E^-∖ON^=2√3,所以42,26卜

22a=∖

设双曲线方程为左=1,将M(1,O),e(2,2√3),代入解得

b=2'

则双曲线的两条渐近线方程为y=±2χ=2x,

a

2x24

由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为—=-,

I-Z7j

I1-3

所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为k4j+1^5,

辽3

故W

二、单选题

13.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()

A.5?种B.3，种C.A；种D.C；种

【正确答案】B

【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.

【详解】将5封信投入3个邮筒，每封信有3种选择，

故共有3x3x3x3x3=35种不同的投法.

故选：B.

14.已知方程χ2+y2-2χ+∕*y+"z=0表示圆，则实数机的取值范围是()

A.(2,+∞)B.(-∞,2)

C.[2,+∞)D.(-∞,2)(2,÷∞)

【正确答案】D

【分析】根据二元二次方程表示圆的要求可直接构造不等式求解.

【详解】方程表示圆，：.(-2)2+加一4m>0,BP(m-2)2>0,解得：m≠2,

,实数机的取值范围是(-8,2)(2,+8).

故选：D.

15.设α,6,c,"eR,若函数y=加+苏+次+〃的部分图像如图所示，则下列结论正确的是

()

A.∕?>O,c>OB.⅛>O,c<O

C.b<O,c>OD,h<O,c<O

【正确答案】A

【分析】根据函数的导数与极值的关系求解.

【详解】由图可知，函数y=0√+62+3+4的极小值点为为<0,极大值点z>0,

且由图可知天>一玉，即办+工2>。

且函数N="'+法+以+”在(-∞,%)单调递减，

(布工2)单调递增，(Λ2,4∞)单调递减，

y'=3ax2+2bx+c,

所以当xe(→≈,x∣)时，y'<0,当Xea,赴)时，/>0,当X∈(Λ2,+∞)时，y'<0,

3a<0

所以，x∣+々=-?>0,解得b>O,c>O,

故选:A.

16.若存在实常数k和b,使得函数尸(X)和G(X)对其公共定义域上的任意实数X都满足：

F(X)≥kx+b^WG(X)≤履+b恒成立，则称此直线y=丘+。为F(X)和G(X)的“隔离直线”，已

知函数f(x)=d(XeR)，g(x)=L(x<0),力(X)=2eInx(x>0),有下列两个命题：

X

命题a：.f(x)和∕2(x)之间存在唯一的“隔离直线"y=2j嬴-e；

命题4:F(X)和g(x)之间存在“隔离直线”,且6的最小值为T.

则下列说法正确的是()

A.命题a、命题尸都是真命题B.命题a为真命题，命题仅是假命题

C.命题α为假命题，命题/是真命题D.命题a、命题夕都是假命题

【正确答案】B

【分析】对命题a：/(x)和MX)有公共点(五，e),故隔离直线过该公共点，设为

y-e=%(x-瓦)，结合二次函数性质对参数分类讨论研究/(x)≥丘-A√≡+e(x>0)恒成立

得k=2捉,则直线为y=2√^x-e,再用导数法证〃(X)≤2八x-e恒成立即可；

X2-kx-h≥O

对命题尸：设隔离直线为N=履+。，则有对任意XVO恒成立,结合二次函数

kx2+bx-∖≤O

性质对参数分类讨论即可

【详解】(1)对命题夕：

XiNkX+b(χ2-kx-b≥0

设/(x),g(x)的隔离直线为了=履+方，则1,,对任意x<0恒成立，即〈，2,,^λ

-<kx+hH^+⅛x-l≤0

对任意。恒成立，若记)，=小+云_2则二次函数有两个不同

XV4>0,1,Δ=⅛+4⅛>0,

零点，记为百，工2，由玉工2=-!<0，不妨设王<工2，解不等式y=丘2+⅛γ-l≥0可知，

K

即与日对任意恒成立矛盾，故

X∈(→Λ,XI]∪[Λ2,+∞),2+bχT≤oXVOk≤0,

若k=o,则〃=0符合题意，

若上<0,由V-依一匕≥0对任意X都成立，注意至Uy=X2-h-6的对称轴为X=；氏<0,从

2

而4=∕+4∕7≤O,^k≤-4b,所以b≤0,又y=A√+⅛x-i的对称轴为χ=-4≤0,

2

ΛΔ2=⅛+4⅛≤0,即4-4%,.1K416^4-64人,故T≤Z<0,同理可得，

⅛4≤16⅛2≤-64⅛,即T≤Z><0,匕的最小值为T,故命题/为假命题；

(2)对命题a：

注意到函数〃X)和〃(X)均经过(C,e),若存在“X)和MX)的隔离直线，那么该直线过这

个公共点，设隔离直线的斜率鼠则隔离直线方程y-e=Mx-A),^y=kχ-ky∕i+e,

由f(x)≥Ax-A∖∕^+e(x>O)恒成立，即f2fcr-%∙7^+e,整理得：

X2-e-k^x-∖[e^=(x+>∕e—ʌ/ej≥0对于VX>0均成立.

若五-%=-五，则上述不等式转化成(X-五y≥0,显然对于Tx>0恒成立；

若正-Z≠-√L记"X)=(X-五)(χ+血-%),则该二次函数有两个不同零点且至少一个正

零点：X=/，W=&-正，此时h(x)是开口向上的二次函数,必有X轴以下的部分，即〃(X)≥O

对于VX>0无法成立.故Z=2&,此时直线y=2∖∕ex-e,

下面证明MX)≤2√^x-e,

令G(X)=2八x-e-%(x),则G，(X)=三处二2^1，于是当0<x<五时，G'(x)<0,函数

单调递减；当x>6时，G(X)>(),函数单调递增，故当X=6时，函数取得极小值0,也

是最小值，所以G(x)≥0,故MX)V2通-e,所以〃x)和MX)存在唯一的隔离直线

y=2∙∖∕1x-e,故命题α为真命题.

故选：B

三、解答题

17.已知圆C:f+(y-i)2=5,直线/:〃氏一y+l-〃7=0

(1)求证：对"z∈R,直线/与圆C总有两个不同的交点；

(2)设/与圆C交于AB两点，若∣A8∣=g,求/的倾斜角

【正确答案】(1)证明见解析；(2)日或4

Jɔ

【分析】(I)直线过定点(1,1),(1,1)在圆内，故得到证明.

(2)先根据屋=/J网］计算得到［=在，再利用点到直线的距离公式得到

I2J2

m=±^3,计算得到答案.

【详解】(1)Γ.mx-y+l-m=0W(X-I)-V+1=。过定点0』)

I2+(1-1)2=1<5在圆内，故直线/与圆C总有两个不同的交点.

(2)∣AB∣=√Γ7,r=√5，则一(四］=>.∙.d=昱

242

d==—.∙.m=±y∣3:.tana=±6α=工或<z=二

J'"233

本题考查了直线和圆的位置关系，倾斜角的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18.已知抛物线Γ∖y2=2px(p>0).

(1)若「上一点M(Ij)到其焦点的距离为4,求r的方程;

(2)若p=2,斜率为2的直线/交「于A、B两点，交X轴的正半轴于点M,O为坐标原点,

OA-08=0，求点例的坐标.

【正确答案】(I)V=12x；

(2)(4,0).

【分析】(1)根据给定条件，利用抛物线定义列式求解作答.

(2)设出直线/的方程，与抛物线方程联立，再利用数量积的坐标表示求解作答.

【详解】⑴抛物线-V=2px(p>0)的准线方程为X=',依题意，M=1+勺4,

解得P=6,

所以「的方程为V=12x.

(2)设M(加,θ),∕n>(),A(x∣,y),3(w,y2),则直线/：y=2(x-m),而抛物线Γ∖y2=4x,

由W'X-Zn)消去。得:x1-(2m+l)x+m2=0,则卜十〜U"+∣,

[/=4x'、/[x1x2=m~

2

OAOB=xix2+yiy2=XlX2÷4(x1-m)(x2-∕τι)=5x1x2-4m(x1+x2)÷4n?

22

=5nr-4m(2∕n+l)+4∕∕z=∕n-4m=O9而∣∏>O,解得加=4,

所以点M坐标为(4,0).

19.某科学考察队在某地考察时，在距离。点20千米处的西侧、东侧分别设立了站点A、B

现以。为坐标系原点，。的东侧为X轴正方向，。的北侧为y轴正方向建立平面直角坐标系.

（1）若考察发现一点P满足∣E4∣TPBl=20（千米），据此写出「所在的曲线方程；若进一步观察

到，P在。的北偏东60。方向处，求P点的坐标；

（2）若考察发现一点。满足I。AHQ臼=30（千米）.为进一步得到Q位置，该考察队在距离。点

15千米处的南侧、北侧分别设立了站点c、D,且IQCHQq=1°（千米），求。。的距离（精

确到1米）和点Q相对于O的方向（精确到1。）.

22I5√25√6"

【正确答案】(1)£-E=I(X≥10),

IOO300v,2'丁

7

（2）∣C>α=19,点。在东偏北24。

【分析】（1）由己知结合双曲线的定义，即可得出户所在的曲线方程.易知OP方程为

y=Bχ,代入双曲线方程，即可得出P点的坐标；

3

（2）根据已知即可推得点。所在的两条双曲线方程，且点。为双曲线K和G在第一象限的

交点.联立两个双曲线的方程，即可得出点。的坐标，进而得出点。相对于O的方向.

由题意知，∣Λ4∣-∣PB∣=20<∣AB∣=40,

所以，点P在以48为焦点的双曲线上.

22

由已知可设,双曲线方程为»1(6z>0,Z?>0),

由已知可得2a=20,2c=40,

所以Q=I0,C=20,所以=/—/=300.

又∣∕¾A∣PB∣,所以尸为双曲线右支上的一点,

∙>∙>

故双曲线的方程为工-工=I(X≥10).

因为NPOB=30。，则OP方程为y=

22

代入双曲线方程工-工=I(X≥10),

解得X="也，y=侦，

22

bπ­115&5⑹

即尸点坐标为一-1,三一.

\/

(2)由题意知，I例—∣Q同=30<|明=40,

所以，点。在以48为焦点的双曲线用上.

22

由已知可设，双曲线方程为S-方=1(4>0,4>0),

由已知可得2q=30,2q=40,

所以％=15,eɪ=20,所以邛=q2-d=175.

又IQAl>|。却，所以Q为双曲线右支上的一点，

故双曲线4的方程为工-£=1(x215).

由题意知，|。1一|因=1。<13=30,

所以，点。在以c。为焦点的双曲线马上.

22

2v

由已知可设，双曲线方程为T-TΓ=1(%>0,4>0),

a2b2

由已知可得26⅛=10,2c2=30,

所以々=5,C2=15,所以以=5-W=200.

又∣Qq>∣Q",所以。为双曲线上支上的一点，

故双曲线旦的方程为N-E=l(y≥5)∙

25200v'

所以，点。为双曲线片和4在第一象限的交点，如图2

±____2L

225175

联立双曲线4和G的方程

片厂

25200

则|。Ql=J^≈19（米）.

设NQA8=，，

5√5593

则3*3=粤'则。"24。.

47

所以IOa=I9,点。在东偏北24。.

20.已知函数g(x)=ae*-2x-4e-*.

⑴若α=2,求曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程；

(2)若函数y=g(x)在R上是单调函数，求实数。的取值范围；

(3)设函数MX)=ae',若在R上至少存在一点阳，使得g(xJ>M%)成立，求实数。的取值

范围.

【正确答案】(l)y=2x

⑵a∈(-∞,0MI,+(»)

2

(3)«<-

【分析】(1)根据题意，由导数的几何意义代入计算即可得到结果；

(2)根据题意，转化为α≥1二77=e(x),由基本不等式可得G(X)厘，即可得到。的取值

范围;

(3)根据题意，分离参数可得“<-2x∣∙e'∖即可转化为函数/(x)=-2x∙e”的最大值问题，

然后求导，得极值，从而得到最值即可.

【详解】(1)当α=2时，g(x)=2ev-2x-2e^v,则g'(x)=2ev-2+2ex,且g(O)=O,g'(。)=2,

所以在在点(0,g(0))处的切线斜率为k=2,

且切线过原点，则切线方程为y=2x.

(2)若递增g'(x)=α(e*+eτ)-2≥0对一切XeR恒成立，即“≥；*=姒乃，

变量M=e”+ei"≥2√?V7=2(X=O时等号成立)，得“C[2,+8),

即Q(X)∈(0,l],所以只要α≥e(x)AaX=1,即4∈[l,+∞)时，有/(x)≥0,

函数g(x)单调递增；同理，当α≤0时，显然g'(x)<O,函数g(x)单调递减；

综上可得，^∈(-∞,θ]o[l,-+<o)

xxx

(3)由题意可得g(xj>∕I(X1),BPae'-2xl-ae^'>ae',所以2x∣+α∙ef<0

即可得a<-2%∙e",令/(x)=-2x∙e",所以。/(力,侬，

因为f'(X)=—2e*(x+l),令r(χ)=0,可得a—1,

且当x<-1时，/^x)>0,则函数/(x)单调递增；

当x>T时，∕,(x)<0,则函数F(X)单调递减;

当A—1时，f(X)有极大值，即最大值"Ma="-1)=；,

所以Y2

e

21.17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆

用较链首尾链接，构成菱形“iKQ.带槽杆Q耳长为2&,点《，F2间的距离为2,转动杆。耳

一周的过程中始终有IQEI=IE用.点M在线段耳K的延长线上，且IMEI=L

F1________F?r

"^~O'x

F1F2M

图1图2

(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹「的方程；

⑵过点工的直线《与「交于A8两点.记直线MA,Λ∕B的斜率为匕的，证明：K+%为定值；

(3)过点M作直线4垂直于直线斗巴，在《上任取一点N,对于(2)中的AB两点，试证明:

直线NA,NF2,NB的斜率成等差数列.

2

【正确答案】(I)、r+/=1

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据已知可得忸制+|%|=20>2,即可得出轨迹为椭圆.根据已知求出a,b,c,

即可得出答案；

(2)(i)当直线4斜率存在时，设4：丁=%(尤-1).联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理

得出坐标关系，表示出匕,网,整理化简，即可得出勺+%2=。；(ii)当直线4斜率不存在时,

根据对称性也可求出K+%2=0,即可得出证明；

(3)设点N坐标为(2j),kNF2=t.(i)当直线《斜率存在时，表示出镰,即8,根据韦达定

理化简整理可得kNA+⅛wfl=2/=2kfllh；(ii)当直线/,斜率不存在时，求出AB的坐标，即可

得出答案.

【详解】(1)由已知可得，∣%∣+∣%