2022-2023学年北京市京源学校九年级上学期期中考试数学试卷含详解

京源学校2022-2023学年度第一学期初三期中试卷

数学

一.选择题（共8小题）

1.抛物线丁=一3k开口方向是（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

2.如图，在中，DE〃BC,若AD=2,AB=3,则——等于（）

AC

A

BC

11

A.-B.一C.yD.-

4323

3.将抛物线y=2/平移，得到抛物线y=2（x-l）2—2,下列叙述中，正确的是（）

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C,先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

4.在RtZVLBC中，ZR4c=90°,AD1BC,AD=3,BD=2,则CD的长为（）

A

ZK

BDC

94

A.2B.3C.-D.-

23

5.如图，在平行四边形ABC。中，F为BC的中点延长A。至点E,使。E：A£>=1：3,连接EF交£>C于点G,

则S4CFG:等于（）

/C

F

AB

A9：4B.2：3C.4：9D.3：2

6.若二次函数)，=依2+笈+。的图象如图所示，则下列四个选项正确的是()

A.b>0,c<0,A>0B.b<0,c<0,A>0

Cb>0,c>0,A>0D.b<0,c>Q,A<0

7.如图，在4ABe中，AM-.MD=3,BD:DC=2:3,则AE:EC=()

A.8:5B.5:4C.6:5D.7:4

8.抛物线y=av2+/zx+c的顶点为A(2,m),且经过点8(5,0),其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四

个结论：①ac<0；©a-h+c>0；③巾+9a=0；④若此抛物线经过点C(7,“)，则47一定是方程

以2+治+。=〃的一个根.其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.①③④C.③④D.@@

填空题(共8小题)

9.请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为(0,3),此二次函数的解析式可

以是______________

10.如图，AABDs°ECD,ZABD=30°,则/ECD的度数为.

BEA

^7

CD

11.如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的8处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE

的长是2米，则路灯A5的高为米.

12.若点4（—2,y）,3（1,%），。（-4,必）在抛物线y=2（x+lp上，请将/，%，%按从小到大的顺序用

连接.

13.已知I：如图，在平面直角坐标系X0Y中，点A在抛物线y=/-4x+6上运动，过点A作AC_Lx轴于点C,

以AC为对角线作正方形ABCD.则正方形的边长AB的最小值是.

14.已知二次函数%=公2+云+。（。。0）与一次函数%="+加（左。0）的图象相交于点A（T,4）,

B（4,2）.如图所示，则能使X>%成立的工的取值范围.

15.将三角形纸片（△AB。按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点长，折痕为EF.已知AB=4C=

3,BC=4,若以点夕，F,C为顶点的三角形与AABC相似，则BF的长度是.

16.若关于x的一元二次方程一/+4x—/=o（，为实数）在l<x<5的范围内有解，则f的取值范围是

三.解答题（共10小题）

17.解下列方程：

（1）x2—2%—1=0

(2)¥+3工一4=0

18.如图，在RtZ\ABC和Rt44C£>中，NB=NACD=90°,AC平分N84O.

(2)若AB=4，AC=5,求BC和CO的长.

19.已知二次函数-2尤一3.

（1）画出它的图象；

（2）该二次函数图象的对称轴为,顶点坐标为：

（3）当x时，y的值随x值的增大而减小；

（4）当y>0时，x的取值范围是:

（5）当时，y的取值范围是.

20.己知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD〃BC,BC=2AD,ZBAC=90°,过点A作AE〃DC

交BC于点E.

(1)求证：四边形AECD为菱形；

(2)若AB=AE=2,求四边形AECD的面积.

21.已知关于x的一元二次方程d-(a+2)x+a+l=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个根都是生擎数，求。的最小值.

22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数〉=依+6*#0)的图象经过点(-1,0),(0,2).

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=»u(相片0)的值小于一次函数)=履+6(�)的值，直接写出

加的取值范围.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx—3与直线y=~~x—1交于点A(―1,0),B(m,—

3),点P是线段AB上的动点.

⑴①m=；

②求抛物线的解析式；

(2)过点P作直线1垂直于x轴，交抛物线y=ax2+bx—3于点Q,求线段PQ长最大时，点P的坐标

24.在平面直角坐标系xOy中，A(m-l,yt),8(3,%)是抛物线^=》2-2如+根2-4上两点.

(1)将y=x?-2mx+irr-4写成y=+k的形式;

(2)若加=1,比较/，内的大小，并说明理由;

(3)若X<%，直接写出加取值范围.

25.在等腰直角JRC中，AB=AC,NB4C=90°，过点5作6c的垂线/.点P为直线A8上的一个动点(不

与点AB重合)，将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线/于点Z).

①求证：ABDP=ZPCB；

②用等式表示线段BC,BD,BP之间的数量关系，并证明.

(2)点尸在线段A8的延长线上，直接写出线段3C,BD,3。之间的数量关系.

26.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足yWM,那么称这个函数是有上

界函数.在所有满足条件的例中，其最小值称为这个函数的上确界.例如，图中的函数y=-(x-3)2+2是有

上界函数，其上确界是2

(1)函数①y=/+2x+l和②y=2x-3(xW2)中是有上界函数的为(只填序号即可)，其上确界

为;

(2)如果函数y=-x+2b>a)的上确界是/),且这个函数的最小值不超过2a+l,求”的取值范

围；

(3)如果函数y=x2-2ar+2(lWx<5)是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值.

京源学校2022-2023学年度第一学期初三期中试卷

数学

一.选择题（共8小题）

1.抛物线、=一3/开口方向是（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质进行判断即可.

【详解】解：；y=-3/中，。=-3<0,

•••抛物线y=—3/开口方向向下，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数当

a<0抛物线开口向下，当。>0时.，抛物线的开口向上.

Ar

2.如图，在中，DE〃BC,若AD=2，AB=3,则——等于（）

AC

【答案】D

【分析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果.

【详解】解：VDE/7BC,AD=2,AB=3,

.AEAD_2

"AC-AB-3,

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键.

3.将抛物线y=2f平移，得到抛物线y=2（x-lJ-2,下列叙述中，正确的是（）

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

【答案】D

【分析】根据函数图像平移的法则：左加右减，上加下减判断即可；

【详解】解：y=2/向右平移1个单位，向下平移2个单位得到y=2(x—Ip—2；

故选D.

【点睛】本题主要考查了函数图像的平移，准确分析判断是解题的关键.

4.在中，ABAC=90°,AD1BC，4)=3,BD=2,则CD的长为()

A

94

A.2B.3C.-D.-

23

【答案】C

【分析】根据等角的余角相等可得=进而根据tanNB4D=tanNC即可求解.

【详解】NBAC=90°,AD1BC,

ZBAD=/C,

，tan/BAD=tanNC,

即处=四，

ADDC

23

/.—=---,

3CD

9

解得CZ)=—,

2

故选C.

【点睛】本题考查了正切，利用正切得出边的比是解题的关键.

5.如图，在平行四边形A8C。中，尸为BC的中点，延长AO至点E,使。氏AD=1：3,连接所交。。于点G,

A.9：4B.2：3C.4：9D.3：2

【答案】A

分析】先说明△EOGS/XF'CG,再求出Cr：OE=3:2,即可求解.

【详解】解：•••四边形A8C0是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,

；F为3c的中点,

：.CF=-BC,

2

:.CF=-AD,

2

,/AE//CF,

：.ZE=ZGCF,4EDG=4C,

：./\EDGs/\FCG,

■:DE:AD=1:3,

CF:DE=3:2,

・q・q—o-4

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是牢记相似三角形的面积比等于相似比.

6.若二次函数y=or2+/zr+c的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（）

A.b>0,c<0,A>（）B.b<0,c<0,A>0

C.b>0,c>0,A>0D.b<0,c>0,A<0

【答案】B

【分析】根据抛物线开口方向、对称轴的位置、与），轴交点位置、与x轴交点个数逐项判断，即可得出正确答案.

【详解】解：由图可知，二次函数y=o?+比V+C的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，

b

•-47>0>----->0,C<0,

2a

h<0,

又，二次函数y=ar2+bx+c的图象与x轴有两个交点，

A>0,

观察四个选项，只有B选项符合条件，

故选B.

【点睛】本题考查二次函数y=o?+陵+。的图象和性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键.

7.如图，在二ABC中，AM:MD^3,BD:DC=2:3,则AE:EC=（）

A.8:5B.5:4C.6:5D.7:4

【答案】C

【分析】过点。作。G〃AC交于点G,利用平行线分线段成比例定理求出CE=9DG,AE=3DG,进而

2

可得答案.

【详解】解：如图，过点。作。G〃AC交班于点G.

AMtMD=3,BD-.0c=2:3,

.DM1BD2

一,—,

**AM3BC5

•:DG//AC,

.DGBD_2DGDM1

-,

CE-BC'5AE一AM'-3

CE=-DG,AE=3DG,

2

AE3DG6

•k艰F

2

故选：C.

【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，作出合适的辅助线是解题的关键.

8.抛物线了=加+云+，的顶点为4（2,根），且经过点3（5,0）,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四

个结论：®ac<0；②。一人+c>0；③〃2+9〃=0；④若此抛物线经过点，则4T一定是方程

a/+从c+c=〃的一个根.其中所有正确结论的序号是()

C.③④D.0@

【答案】B

【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点(5,0)可判断②，由抛物线对称轴

为直线x=2可得得匕=-4。，由。一/?+。=0可得c=—5a,从而判断③，点C对称点横坐标为4一可判断④.

【详解】解：抛物线开口向下，

a<0,

抛物线与>'轴交点在X轴上方,

c>0,

(2C<0,①正确.

抛物线顶点为42,加)，

，抛物线对称轴为直线x=2,

抛物线过点(5,0),

•••由对称性可得抛物线经过点(-1,0),

:.a-b+c=0,②错误，

.,--±=2

2a

h=-4tz,

，5a+c=0,

/.c=-5a,

(2,机)为抛物线顶点，

：Aa+2b+c=m,

：.4a-Sa-5a=m,即9。+m=0，③正确,

抛物线经过点C(7,〃)，

点C关于对称轴对称点(4-/,〃)在抛物线上,

.,.4—/为+A；+C=〃的一个根，④正确.

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关

系.

二.填空题（共8小题）

9.请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0,3）,此二次函数的解析式可

以是______________

【答案】＞=一2/+3

【分析】根据二次函数的性质可得。＜0,利用二次函数图像上点的坐标特征可得出c=3,取斫-2,6=0时即可得出

结论.

【详解】解：设二次函数的解析式为广-+c（存0）,

•••抛物线开口向下，

：.a＜Q,

•.•抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）.

c=3,

取。=-2,6=0时，二次函数解析式为产-2%2+3,

故答案为：y=~2x2+3.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图

像上点的坐标特征，找出。＜0,c=3是解题关键.

10.如图，AABDSAECD,ZABD=30°,则/EC。的度数为.

【分析】利用相似三角形对应角相等可直接得出答案.

【详解】解：.ECD,ZABD=30°，

NECD=ZABD=30。,

故答案为：30°.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.

11.如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的8处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE

的长是2米，则路灯AB的高为米.

【答案】8

【分析】根据C£>〃AB,得到E8-SAB,进而得出比例式计算即可；

【详解】由题意可知：CE=2米，CD=L6米，BC=8米，CD//AB,

则8E=5C+CE=10米，

,/CD//AB,

:..ECDEAB,

.CDCE1.62

**---=----,即nn----——,

ABBEAB10

解得：AB=8,

即路灯的高A3为8米；

故答案是8.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和中心投影的应用，准确证明ECZ)£45是解题的关键.

12.若点4(—2,,)，3。,％),c(T%)在抛物线y=2(x+iy上，请将,，%，％按从小到大的顺序用

连接.

【答案】M<%<%

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=2(x+l>的开口向上，对称轴为直线尤=-1,然后根据三个点离对称

轴的远近判断函数值的大小.

【详解】解：抛物线y=2(x+l)2的开口向上，对称轴为直线》=一1,而。(-4,必)离直线广一1的距离最

远，A(-2,y)点离直线％=-1最近，

X<%<为•

故答案为：X<%<为•

【点睛】本题考查了利用二次函数的性质比较函数值的大小.一般情况下我们可以采用两种方法：①是先判断二次

函数的开口方向，然后三个点离对称轴的远近判断函数值的大小；②是将三个点的横坐标代入二次函数的解析式

中比较函数值的大小.

13.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线,=%2-4》+6上运动，过点A作AC_Lx轴于点C,

以AC为对角线作正方形ABCD.则正方形的边长AB的最小值是

【答案】72

【分析】根据正方形的性质得到AB二叵AC,再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小

2

时，即AC的值最小.

【详解】；四边形ABCD是正方形，

AAB=BC,ZB=90°

**•AC=yf^AB

.-.AB=—AC,

2

•.•y=x2-4x+6

=(x-2)2+2,

.••当x=2时,AC有最小值2,

即正方形的边长AB的最小值是0.

故答案为：＞/2•

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简

便.

14.已知二次函数y=以2+区+c(aoO)与一次函数％=日+M攵。0)的图象相交于点A(T,4),

8(4,2).如图所示，则能使M＞当成立的工的取值范围________.

【答案】xV—1或x＞4

【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的X的取值范围即可.

【详解】解：♦.•两函数图象的交点坐标为4（一1,4）,8（4,2）,

...使成立的x的取值范围是—或无>4.

故答案为：x<—1或x>4.

【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解决本题的关键是利用数形结合的思想求解.

15.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点夕，折痕为EF.己知A8=AC=

3,BC=4,若以点夕，F,C为顶点的三角形与△A8C相似，则BF的长度是.

12

【答案】2或上

7

【分析】设BF=x,根据折叠的性质用x表示出BT和FC,然后分两种情况进行讨论（1）ABTC-AABCW

△B'FC-ABAC,最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解.

【详解】设BF=x,则由折叠的性质可知：B'F=x,FC=4-%，

、，」-B'FFC

(1)当ABTCs^AABC时，有——=——,

ABBC

x4-x12

即r1rl：一=—■一,解得：x——；

347

B'FFC

(2)当△BFCs—AC时，有——=——

BAAC

x4—x

即：—=---,解得：x=2；

33

综上所述，可知：若以点B，，F,C为顶点的三角形与AABC相似，则BF的长度是2或一

7

1?

故答案为2或二.

7

【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明ABFC和AABC相似时顶点的对

应关系，所以根据NC是两三角形的公共角可知，需分：（1）ABTC-AABC；（2）ABTC-ABAC；两种情况分

别进行讨论，不要忽略了其中任何一种.

16.若关于x的一元二次方程一x2+4x—r=0”为实数）在l<x<5的范围内有解，则f的取值范围是.

【答案】-5<r<4

【分析】由方程有解转化为考查函数y=-/+4x,y=，两个函数交点情况，再画出两个函数的图象，结合函数

图象可得答案.

【详解】解：-X2+4X-Z=0

\-x2+4x=t

考查函数y=-/+4x,y=f两个函数的交点情况，如图,

当工=2,'域大值=-4+8=4,

当x=5时，y=-25+4?5-5,

当l<x<5,两个函数y=-%2+4x,y=f有交点时，

此时-5<?<4,

关于》的一元二次方程一炉+4%一r=o（t为实数）在1<%<5的范围内有解，则f的取值范围是—5<fW4.

故答案为：—5<，W4.

【点睛】本题考查的是二次函数的图象与一元二次方程的联系，掌握“利用二次函数的图象解决一元二次方程的

解的问题”是解本题的关键.

三.解答题（共10小题）

17.解下列方程：

（1）X2-2X-1=0

（2）X2+3X-4=0

【答案】（1）玉=1+a,9=1—0；

（2）%,=-4,x2=1

【分析】（1）利用配方法解方程；

（2）利用因式分解法解方程；

【小问1详解】

解：X2-2X-1=0

x2-2x=l

x2-2元+1=2

(1)2=2

x-1=±5/2

玉=1+V2,Xj=1—>/2；

【小问2详解】

解：X2+3X-4=0

(x+4)(x-l)=0

x+4=0或x-l=O

解得：X]-4,%2—1

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次

因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进

行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.也考查了配方法解一元二次方

程.

18.如图，在RtZiABC和Rt^ACD中，NB=NACD=9O°,AC平分NEW.

（2）若AB=4，4c=5,求8c和CO的长.

【答案】⑴见解析⑵比=3,8寸

【分析】（1）先根据角平分线的定义可得44C=NC4。，再根据相似三角形的判定即可得证:

（2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得C。的长.

【小问1详解】

A。平分N84O，

ZBAC=ZCAD,

在RtAABC和RtAACD中,

NBAC=NCAD

'ZB=ZACD=900'

.ABC^..ACD；

【小问2详解】

：在RtZXABC中，2B90?,AB=4，AC=5,

2

•••BC=VAC-AB2=452-42=3，

由(1)已证：：AABC's_ACD,

.AC_CDm5_CD

ABBC43

解得8=".

4

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关

键.

19.已知二次函数产炉-2x-3.

株

二

5

3.…

;-

一

…

『

(1)画出它的图象；

(2)该二次函数图象的对称轴为,顶点坐标为；

(3)当X时，>的值随X值的增大而减小；

(4)当y>0时，x的取值范围是；

(5)当owx<4时，y的取值范围是.

【答案】(1)图象见解答；

(2)直线x=l,(1,-4)；

(3)<1；

(4)x>3或x<-l；

(5)T疑，5.

【分析】(1)根据函数解析式求出抛物线的对称轴，顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，然后根据函数的性质用五

点法作出函数图象；

(2)由(1)直接得出答案；

(2)根据函数图象即可得出结论；

(3)根据函数图象即可得出结论;

(4)根据函数图象即可得出结论;

【小问1详解】

解：y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

二对称轴为直线x=l,顶点坐标为(L-4)；

令y=/一2彳-3=0,解得：x=-l或3,

•••抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0)；

令x=0,则y=-3,

.•・抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3),

图象如图所示:

【小问2详解】

解：二次函数图象的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-4),

故答案为：直线x=l,(1,-4)；

小问3详解】

解：由图象得，当％<1时，y的值随x值的增大而减小，

故答案为：<1；

【小问4详解】

解：由图象知，当y>0时，x的取值范围是》>3或》<一1,

故答案为：x>3或x<—1；

【小问5详解】

解：当x=0时，y=-3；当x=4时，y=5,当％=1时，y--4,

，当怎k4时，的取值范围是T麴J，5,

故答案为：T领/5.

【点睛】本题考查画二次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质.

20.已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD〃BC,BC=2AD,ZBAC=90°,过点A作AE〃DC

交BC于点E.

(1)求证：四边形AECD菱形；

【分析】(1)先证明四边形AECD为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE=EC,进而由菱形的判定定理

得结论；

(2)连接DE,证明4ABE是等边三角形，进而求得AC,再证明四边形ABED是平行四边形，便可求得DE,最

后根据菱形的面积公式得结果.

【详解】解：(1)：AD〃BC,AE〃DC,

二四边形AECD为平行四边形，

；.AD=EC,

,/BC=2AD,

：.BC=2EC.

.•.E为BC的中点

；/BAC=90°,

BC=2AE

：.AE=EC,

四边形AECD为平行四边形，

二四边形AECD为菱形；

：AB=AE=2,AE=BE,

AB=AE=BE=2,

.二△ABE是等边三角形.

.\ZB=60°.

VAD=BE,AD〃BC,

・・・四边形ABED为平行四边形.

・・・DE=AB=2,

VZB=60°,NBAC=90°,AB=2,

・・・BC=4.

・•・AC=dBC2-AB2="2—22=20・

:.SAECD=—DExAC=2G.

2

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，关键是熟悉这些性

质和定理.

21.已知关于x的一元二次方程f-(a+2)x+a+l=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个根都是事擎藜，求。的最小值.

【答案】(1)证明见详解；(2)a的最小值为0.

【分析】(1)根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；

(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得玉=1,々=。+1，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定〃的

取值范围，即可求出。的最小值.

【详解】(1)证明：依题意得：

△=〃-4ac=[-+4(a+l)

=a2+4a+4-4a-4

=a2>

a2>0，

AA>0.

...方程总有两个实数根；

(2)由Y-(a+2)x+a+1=0,

可化为：(x_l)[x_(a+l)]=0

得Xi=1,工2=a+l，

V方程的两个实数根都是正整数，

."+121.

a>0.

的最小值为0.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的

判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零

无根和十字相乘法的法则是解题关键.

22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数（&W0）的图象经过点（-1,0）,（0,2）.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）当x>-2时，对于x的每一个值，函数）="W（m#0）的值小于一次函数（%#0）的值，直接写出

，"的取值范围.

【答案】（1）y=2x+2

（2）l<m<2

【分析】（1）通过待定系数法将点（0,2）代入解析式求出匕匕的值，进而可得一次函数表达式；

（2）由题意知y=2x+2,将％=—2代入y=2x+2得y=-2,则（一2,—2）,根据题意：2x+2>,nr,如图，

当机=2时，y=2x+2与y=2x平行，可知当x>-2时，2x+2>，nx成立：当时，将（-2,-2）代入

，=如中得一2加=一2,解得加=1,由一次函数的图象与性质可知，当1Wm<2时，当x>-2时，2x+2>〃tv

成立；进而可得，”的取值范围.

【小问1详解】

•••一次函数了="+»仕。0）的图象经过点（TO）,（0,2）,

（一Z+b=O

b=2

%=2

解得：kC，

b=2

・・・一次函数的表达式为：y=2x+2.

【小问2详解】

解：由（1）得：y=2x+2,将x=—2代入y=2x+2得y=—2,则（一2,—2）

根据题意：2x+2>mx,如图,

当m=2时，y=2x+2与y=2x平行，可知当x>-2时，2x+2>如成立；

当加w2时，将(-2,-2)代入y="说中得一2m=—2,解得m=1

由一次函数的图象与性质可知，当时，当x>-2时，2x+2>/nr成立；

综上所述，1《2

・・・根的取值范围为1<根«2.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质.运用

数形结合的思想是解题的关键.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx—3与直线y=—x—1交于点A(—1,0),B(m,—

3),点P是线段AB上的动点.

⑴①m=；

②求抛物线的解析式；

(2)过点P作直线1垂直于x轴，交抛物线丫=2乂2+6*—3于点Q,求线段PQ的长最大时，点P的坐标

【答案】(1)①2；②y=x2-2x-3；(2)「(g,-1)

【分析】(1)①直接将点B(m,-3)代入直线y=-x—l即可求解；

②利用待定系数法即可求解；

(2)根据题意可设点P、Q的坐标，进而可得二次函数，根据二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)①将点B(m,—3)代入直线y=-x—1得：

—3=­m-1

解得：m=2,

故答案为：2；

②由①得点8(2,-3)

•.•点A(—1,0),B(2,-3)在抛物线》=加+法一3上，

.p-Z>-3=0,

44+2b一3=—3.

<2=1,

解得匕C，

b=-2.

二抛物线的解析式为y=9—2x—3；

(2)设点尸的横坐标为x,其中一1-2,

••♦点P(x,—x—1)，点。(无，x2—2x—3

：.PQ=-x2+x+2,

.,.当x=」时，PQ最大，

2

此时点尸的坐标是(1,——

【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析中，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二

次函数的性质，并利用数形结合的思想.

24.在平面直角坐标系xOy中，8(3,%)是抛物线y=—-2wu+根？-4上两点.

(1)将y=/-2twc+m2-4写成丁=。(》一〃『+k的形式；

(2)若加=1,比较耳，力的大小，并说明理由；

(3)若,C必，直接写出的取值范围.

【答案】(1)y=(x-m)2-4

(2)必<必

(3)〃？<2或/”>4

【分析】(1)利用完全平方公式即可求解；

(2)当〃2=1时，确定函数解析式，根据点A,点B到对称轴的距离即可判断%，力的大小；

(3)先求出抛物线的对称轴，根据X<%可知点A到对称轴的距离小于点3到对称轴的距离，解不等式即可.

【小问1详解】

解：y=x2-2mx+m2-4=^x-inf—4：

【小问2详解】

解：y<%，理由如下:

若m=1,则抛物线的解析式为y=（x-l）2-4,A（O,y）,3（3,%），

对称轴为x=1,

|0-1|<|3-1|,

点3（3,%）到对称轴的距离大于点A（（），X）到对称轴的距离，

a>0,

二y<%；

【小问3详解】

解：y=（x—m）2—4的图象开口向上，对称轴为彳="，

.,.点A[m-\,y）到对称轴的距离为|根-1-训=1,点8（3,必）到对称轴的距离为|3-m\,

X<%，

|3-/w|>1,

3-〃z>1或3一m<—1,

〃？<2或加>4.

【点睛】本题考查二次函数的顶点式，利用函数图象判断函数值的大小，解一元一次不等式等，熟练掌握二次函

数的图象和性质是解题的关键.

25.在等腰直角中，AB=AC,ABAC=90°，过点5作6c的垂线/.点P为直线A8上的一个动点（不

与点AB重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线/于点Z）.

①求证：ZBDP=ZPCB；

②用等式表示线段8C,BD,3P之间的数量关系，并证明.

（2）点P在线段A8的延长线上，直接写出线段BC,BD,BP之间的数量关系.

【答案】（1）见解析；①见解析；②BC—BD=OBP