第一章 集合与常用逻辑用语（知识归纳+7类题型突破）（解析版）

集合与常用逻辑用语（知识归纳+题型突破）1.了解集合的定义，理解元素与集合的关系．熟练掌握数集的符号，了解集合的表示方法及元素的相关性质．2.理解集合间的基本关系．3.理解并掌握集合的基本运算．4.理解并掌握充分条件与必要条件.5.理解全称量词命题与存在量词命题及其否定集合中元素的三个性质确定性、互异性、无序性集合中元素与集合的关系属于或不属于若元素在集合中，记作，若元素不在集合中，记作常用数集及其符号名称自然数集（非负整数集）正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或子集与真子集的个数集合中有个元素，子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个集合间的基本关系：子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，则是的子集；记作，读作包含于真子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，集合中至少有一个元素不在集合中，则是的真子集；记作，读作真包含于相等：若，，则空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的基本运算文字语言图形表示符号语言集合的并集所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合，或集合的交集所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，且集合的补集全集中不属于集合的所有元素组成的集合∁U，且集合的基本运算相关结论并集运算的相关结论交集运算的相关结论补集运算的相关结论充分条件与必要条件对于若则类型中，为条件，为结论若充分性成立，若必要性成立若，，则是的充要条件若，，则是的充分不必要条件若，，则是的必要不充分条件若，，则是的既不充分也不必要条件设命题对应集合，命题对应集合若，即，是的充分条件（充分性成立）若，即，是的必要条件（必要性成立）若，即，，是的充分不必要条件若，即，，是的必要不充分条件若，即，，是的充要条件全称量词命题与存在量词命题全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题命题的否定全称量词命题：，，否定为：，存在量词命题：，，否定为：，题型一集合的概念【例1】（1）（2023秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）（多选）已知集合，且，则实数的取值不可以为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据可得出或，解出的值，然后对集合中的元素是否满足互异性进行检验，综合可得结果.【详解】因为集合，且，则或，解得.当时，集合中的元素不满足互异性；当时，，集合中的元素不满足互异性；当时，，合乎题意.综上所述，.故选：ACD.（2）（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知，当时，的解有且仅有一个：，符合题意，所以；当时，要使的方程的解集中有且仅有一个元素，则有：，则.所以实数的值组成的集合中的元素个数为：2.故选：B.巩固训练：1．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）集合，若，则【答案】【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可.【详解】解：因为，所以，若，则可得或2，当时，，不满足互异性，舍去，当时，，满足题意;若，则，此时，不满足互异性，舍去；综上故答案为：2．（2023秋·湖北·高一校联考期末）已知集合，则C集合中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据定义列举出C中所有元素，即可判断.【详解】，则可以为：，，，.故，有3个元素.故选：B3．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．5【答案】ABD【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.【详解】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，此时的解为，满足题意；②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；综上所述：或或.故选：ABD题型二集合间的基本关系【例2】（1）（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案．【详解】集合，,，故有个子集.故选：D．（2）（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.【详解】依题意，，，，而，{偶数}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，所以.故选：C（3）（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.（4）（2023·全国·高一假期作业）设，，若，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】D【分析】根据集合的包含关系，列不等式组求解即可.【详解】因为，所以，此不等式组无解.故选：D.巩固训练1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为，所以集合可以为：，共8个，故选：C.2．（2023秋·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（

）A．M=P B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，根据集合的关系即得.【详解】因为，，所以.故选：B.3．（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）（多选）设集合，，若，则实数a的值可以是（

）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【分析】先得到，再根据，分，，讨论即可.【详解】由题得，，则当时，有，，故C正确；当时，有，，故B正确；当时，，故A正确；故选：ABC.4．（2023春·云南大理·高一统考期末）设集合，，若，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合数轴分析即可.【详解】由数轴可得，若，则.故选：B.题型三集合的基本运算[例3]（1）（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据并集的定义，即可求解.【详解】因为集合，，根据并集的定义可知，.故选：B（2）（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由并集的运算直接求解．【详解】因为，，则．故选：A．（3）（2023春·甘肃白银·高一校考期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选：C.（4）（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）已知集合，，，则a的可能取值的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据交集的结果求参数.【详解】因为，所以或，所以或或或或或，解得或1或2或4，经检验当或时，不满足集合中元素的互异性，所以a的可能取值为1，4，共2个.故选:B.（5）（2023春·江西抚州·高一江西省乐安县第二中学校考期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化简集合，再结合集合的交集运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，，，所以故选：B（6）（2023春·四川泸州·高一统考期末）已知全集，集合，集合，则集合A． B． C． D．【答案】A【详解】,所以，故选A.考点：集合的运算.（7）（2023秋·江苏·高一校联考期末），，若，且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】先求得，根据求得的取值范围.【详解】因为，，所以，，因为，所以.故选：C（8）（2023秋·广东深圳·高一统考期末）集合，集合.(1)当时，求，；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集；（2）由条件可知，，再分和两种情况，求实数的取值范围.【详解】（1）解不等式，得，所以，当时，则，所以，；（2）因为，所以当时，，即，此时；当时，，则，解得:，综上所述，实数m的取值范围是.（9）（2023秋·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期末）已知非空集合，(1)当时，求；(2)求能使成立的的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据并集定义求解；（2）根据集合的包含关系及交集定义列不等式组求解．【详解】（1）当时，，；（2），且，，∴，解得，的取值范围是.（10）（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知集合，．(1)当时，求集合；(2)若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)选①，；选②，【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.（2）选择条件后，根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】（1）当时，求集合，.（2）若选择条件①，，当时，，解得，当时，由可得或，解得或，综上的取值范围是.若选择条件②，则集合是集合的子集，当时，，解得，当时，有，解得，综上的取值范围是.巩固训练1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解方程得集合，再根据并集的定义求解即可.【详解】由，解得或,故选：A2．（2023秋·上海金山·高一统考期末）设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.【详解】对于A，，当时，结论不成立，则A错误；对于B,，当时，结论不成立，则B错误；对于C，，当时，结论不成立，则C错误；对于D，因为，，所以，又，所以，则，则D正确.故选：D3．（2023秋·江苏连云港·高一统考期末）已知集合，，则（

）．A．R B． C． D．【答案】A【分析】利用并集的定义即可求得.【详解】由，，可得R故选：A4．（2023春·江西宜春·高一江西省清江中学校考期末）已知集合，，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据交集结果得到，或，检验后得到答案.【详解】因为，所以，或，当时，，满足集合元素的互异性，满足要求；当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当时，，，与集合元素的互异性矛盾，舍去.故选：A.5．（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）已知集合，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合的补集和交集的运算法则求解.【详解】集合，，，则，得.故选：D6．（2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期末）设集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合的交并补运算即可求解.【详解】由题意可得，所以，故选：D7．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知集合，，若，则实数m的取值范围【答案】【分析】由得到，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解．【详解】解：，，由，，当时，满足，此时，；当时，，则，解得．综上，．故答案为：．8．（2023秋·湖南湘潭·高一校联考期末）设全集，，．(1)若，求．(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.（2）求出，，分，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.【详解】（1）当时，，，所以或，；（2）全集，，或，，分，两种情况讨论.（1）当时，如图可得，或，或；（2）当时，应有：，解得；综上可知，或，故得实数的取值范围.9．（2023秋·湖南张家界·高一统考期末）已知集合，，．(1)求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用补集和交集的定义可求得集合；（2）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：因为，则或，又因为，因此，.（2）解：当时，，解得，合乎题意；当时，，即当，因为，，，则，解得.综上所述，.10．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知集合，，.(1)求；(2)若，求m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出集合A，由交集和并集的定义即可得出答案；（2）由可得，讨论和，求解即可.【详解】（1），所以.（2）因为，所以，若，则，解得：，若，则，解得：，所以m的取值范围为：.题型四Venn图的实际应用【例4】（1）（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）已知全集，，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为，再利用集合的交并补运算即可得解.【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为，因为，，所以，因为，所以.故选：D.（2）（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由图可得阴影部分表示，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为，因为，所以或，，故选：A（3）（2023秋·云南昆明·高一统考期末）图中U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.【详解】由图知，阴影部分的元素既不属于集合，也不属于集合，所以阴影部分表示的集合是.故选：D巩固训练1．（2023春·广东汕头·高一统考期末）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察出图中阴影部分表示的集合为，结合交集的定义即可求解.【详解】由得，图中阴影部分表示的集合是，故.故选：A2．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求得结合，结合阴影部分表示的集合为，即可求解.【详解】由集合，又由阴影部分表示的集合为.故选：C.3．（2023秋·云南玉溪·高一统考期末）（多选）能正确表示图中阴影部分的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】由集合运算和Venn图知识对选项依次辨析即可.【详解】对于A，为，∴为，故选项A正确；对于B，为，∴为，故选项B错误；对于C，为，为，∴为，故选项C错误；对于D，为，∴为，∴为，故选项D正确.故选：AD.题型五集合中的新定义问题【例5】（1）（2023秋·四川成都·高一校考期末）已知且，若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的定义求解即可【详解】因为集合，且，所以，故选：C（2）（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（

）A． B．C． D．若，则整数，属同一类【答案】ACD【分析】根据“类”的定义，对选项进行分析，得到答案.【详解】A选项，，故，A正确；B选项，，故，B错误；C选项，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故，C正确；D选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同，故整数，属同一类，D正确.故选：ACD（3）（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（

）A．集合为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合【答案】ABD【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当时，设，则，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．故选：ABD．巩固训练1．（2023秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）定义且，若，则【答案】【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.【详解】根据集合且的定义可知，当时，可得，；所以故答案为：2．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加【详解】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，则对的所有非空子集中元素执行乘再求和，则这些和的总和是．故选：B.3．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）（多选）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（

）A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据定义，得到，对四个选项一一验证.【详解】根据定义.对于A：若,则,,,,∴,故A正确;对于B：若,则,,,,∴,故B正确;对于C：若,则,,则.故C错;对于D：左边,右边所以左=右.故D正确.故选：ABD.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.题型六充分条件与必要条件【例6】（1）（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用题给条件判断出与的逻辑关系，进而得到正确选项.【详解】若是的必要不充分条件，则，，是的充分不必要条件，则，则有，，则是的充分不必要条件，故选：A．（2）（2023春·江西·高一吉安三中校考期末）“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式所表示的集合的包含关系以及必要不充分条件的判定方法即可得到答案.【详解】因为，所以前者无法推出后者，后者可以推出前者，故“”是“”的必要不充分条件，故选：A.（3）（2023秋·重庆北碚·高一统考期末）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由，解得或，所以由推得出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A（4）（2023秋·山东临沂·高一校考期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义求解.【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A正确；故选:A.（5）（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知集合，，全集.(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）化简集合A，根据补集运算、交集运算求解；（2）由题意转化为，列出不等式组求解即可.【详解】（1）当时，集合，或，故（2）由题知：，即且，当时，，解得，当时，，解得，由得，；综上所述：实数的取值范围为.（6）（2023秋·重庆·高一校联考期末）在①“是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合(1)当时，求；(2)若选______，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据集合的并集运算可得答案；（2）选择①：由已知得，建立不等式求解即可；选择②：由已知得．建立不等式求解即可；选择③：由，建立不等式求解即可；【详解】（1）当时，集合，所以；（2）选择①：因为“是“的充分不必要条件，所以，因为，所以，又因为，所以（等号不同时成立），解得，因此实数的取值范围是.选择②：因为，所以.因为，所以.又因为，所以，解得，因此实数的取值范围是.选择③：因为，而，且，，所以或，解得或，所以实数的取值范围是或.巩固训练1．（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）设，则的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据必要不充分的概念找出比要大的范围即可.【详解】的一个必要不充分条件，即的范围要比要大，只有符合，故选：C.2．（2023·全国·高一假期作业）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：A3．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）（多选）已知集合,若是的充分条件,则a可以是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】AB【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出的范围,选出选项.【详解】解:因为是的充分条件,所以,所以有.故选:AB4．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）（多选）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程至多有一个实数根，所以方程的判别式，即：，解得，利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.故选：BC.5．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】设，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m的取值范围.【详解】设，因为是的充分条件，所以集合是集合的子集，所以.故答案为：6．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校联考期末）已知集合,．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；（2）若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集，列不等式求解，即可得实数a的取值范围．【详解】（1）解：若，则，又所以；（2）解：，因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以，解得，所以实数a的取值范围是．7．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）先求两个集合，再求交集；（2）若选择①，则，再分集合和，两种情况，列式求解；若选择②，则，列式