高一上学期期末复习【第五章 三角函数】十一大题型归纳（拔尖篇）（解析版）

高一上学期期末复习第五章十一大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型题型1弧长公式与扇形面积公式的应用1．（2023下·湖南长沙·高一统考期末）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角α的大小为（

）

A．π2 B．3π4 C．5【解题思路】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求求解.【解答过程】由该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，可得12α×即扇环的圆心角α的大小为2π故选：D.2．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱（如图1）.制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形OBD，再从扇形OBD中剪去扇形OAC（如图2）.记圆面面积为S1，扇形OBD的面积为S2，把满足S2S1-S2=5-12且OAAB=5-A．20(5+1)π B．20(3-5)π【解题思路】首先求出OA，设圆心角∠BOD=α，圆的半径为R，表示出S2，S1，根据【解答过程】依题意OB=20，OAAB=5-所以AB=105-设圆心角∠BOD=α，圆的半径为R，则S所以S1因为S2S1-S2=所以弧AC的长为α⋅故选：D.3．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r．(1)若α=150°,(2)若扇形的周长为12，当α为多少弧度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积．【解题思路】（1）将圆心角化为弧度，再由弧长公式求解即可；（2）设扇形的弧长为l，则l+2r=12，即l=12-2【解答过程】（1）∵a（2）设扇形的弧长为l，则l+2r=12扇形的面积S=所以当且仅当r=3时，S有最大值9此时l=12-2×3=6,∴4．（2023·上海黄浦·统考二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知OA=10，OB=x0<x<10，线段BA，CD与BC，AD(1)求θ关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.【解题思路】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于θ、x的等式，即可得出θ关于x的函数解析式；（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得y的最大值，即可得出结论.【解答过程】（1）解：根据题意，可算得BC=θxm因为AB+CD+所以，θ=（2）解：根据题意，可知y=x当x=52综上所述，当x=52题型题型2三角函数的化简、求值——同角三角函数的基本关系1．（2023上·重庆铜梁·高一校联考期末）计算1-2sin10°A．-1 B．1C．sin10° D．【解题思路】利用平方关系化简即可.【解答过程】解：因为0<sin1-2sin故选：B.2．（2023下·江西上饶·高一统考期末）已知sinα+cosα=A．-25 B．52 C．-【解题思路】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．【解答过程】因为sinα平方得sin2α故sinα则tanα故选：B.3．（2023下·四川乐山·高一期末）已知tanα(1)2sin(2)sinα【解题思路】（1）同除以cosα（2）先添加分母sin2α+cos【解答过程】（1）2sin（2）sinα4．（2023上·四川绵阳·高一统考期末）已知1-2sin(1)求tanα(2)求sinα【解题思路】（1）根据给定等式，利用同角正余弦平方和为1，化简变形，再借助齐次式法计算作答.（2）利用（1）的结论，结合同角公式计算作答.【解答过程】（1）依题意，1-2sinαcos所以tanα（2）由（1）知，tanα=1由sin2α+cos2当α为第一象限角时，sinα当α为第三象限角时，sinα题型题型3诱导公式的综合应用1．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知π2<α<πA．sinα-cosα B．sinα+【解题思路】利用诱导公式及平方关系化简即可.【解答过程】因为π2<α<π，所以sin所以1-2===sin故选：A.2．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知tana=12，则A．-13 B．13 C．-【解题思路】对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.【解答过程】∵tan则sinα故选：D.3．（2023上·北京·高一校考期末）已知cosα=13，且-【解题思路】利用同角三角函数的基本关系求出tanα，然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值【解答过程】解：因为cosα=13，且所以，tanα故cos-4．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A13,y0．将角α(1)求tanβ(2)求sinα【解题思路】（1）由题意，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得结果．（2）法一：由题意，利用诱导公式，计算求得结果；法二：根据β=π2+α，将已知等式化成含角【解答过程】（1）由A13,又α∈(0,π2由题可知β=π2+α，所以则tanβ=sin（2）（法一）原式=由（1）得cosα=13，cos所以原式=1（法二）sin==sinβ=-题型题型4由三角函数的值域（最值）求参数1．（2023·高一课时练习）若函数y=tanωx+π6在-πA．-12 B．12 C．-【解题思路】由正切函数的性质，得到ω<0且-π3【解答过程】由题意，函数y=tanωx可得ω<0且-π3当k=0时，解得ω故选A．2．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学阶段练习）已知函数fx=sinωx+π3-3cosωxA．0,23 B．14,23 【解题思路】化简函数y=fx的解析式为fx=2sinωx，结合函数【解答过程】∵f由于函数y=fx在区间-3π∵0∈-3πω4,所以，函数y=fx在-所以，-3πω4当x∈0,2π由于函数y=fx在区间0,2所以，π2≤2πω综上所述，实数ω的取值范围是14故选：B.3．（2023下·湖北恩施·高一校考期末）已知函数fx(1)若f5π6(2)若fx在区间0,π3上的值域为1,2【解题思路】（1）根据条件可知函数关于点5π6（2）首先求ωx+π6【解答过程】（1）因为f5π所以fx的图象关于点5π则ω⋅解得ω=-又ω>0，故当k=1时，ω取得最小值（2）当x∈0,π因为函数fx在区间0,π3上的值域为1,2解得：1≤ω所以ω的取值范围为1,2．4．（2023上·浙江杭州·高一校考阶段练习）已知函数fx(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；(2)若定义在区间-π6,π4上的函数hx=【解题思路】（1）根据函数解析式，结合函数周期、对称中心、单调区间的求法，直接计算即可；（2）分类讨论a的范围，列出方程组，解出即可.【解答过程】（1）因为fx所以函数的最小正周期为T=令2x得x=5所以函数的对称中心为(5令2k得π6故函数的减区间为[π（2）hx又当x∈-π则-1若a>0则有3a-2当a<03a-2又a=0故a=2b=4题型题型5三角函数的奇偶性与对称性问题1．（2023上·河北唐山·高一校考期末）函数fx=sinA．fxgx是偶函数 BC．fxgx是奇函数 D【解题思路】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得.【解答过程】选项A:因为fxgx又f(-所以fxgx选项B:因为fxgx又|f所以fxgx选项C:因为f(x)|又f(-所以fxgx选项D:因为|f(x又f(-所以fxgx是偶函数，故故选：C.2．（2023下·宁夏中卫·高一校考期末）下列关于函数y=tan-A．最小正周期为πB．图像关于点5πC．在区间-πD．图像关于直线x=-【解题思路】根据函数y=【解答过程】解：函数y=当x=5π12时，2×5函数的最小正周期为T=π2当x∈-π3,-π12正切函数不是轴对称函数，所以D错误．故选：B．3．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数fx=2(1)求函数fx的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合(2)求函数gx=【解题思路】（1）根据奇函数的性质可得f0=0，结合0<θ<π（2）g(x【解答过程】（1）依题意有f即fx=2当2x=2kπ+当2x=2kπ（2）依题意g(若g(x∴k又x∈令k=-1,k=0得其减区间为-4．（2023上·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）已知函数fx=sinωx+π(1)求ω，θ的值；(2)若函数gx在0,π6上单调递减，求出函数【解题思路】（1）根据题意可知两函数周期相同，即可求得ω的值；根据余弦函数的对称中心，即可求得θ的值；（2）根据函数gx在0,π6上单调递减，确定【解答过程】（1）若两个函数图象的对称中心相同，则函数周期必然相同，则ω=2，故f(由2x+π数fx=sin2x则2×(kπ则θ=(m-（2）因为函数fx=sinωx所以f(x)=g(若函数g(x)在对于函数f(x)=sin(2由于y=sinx在π6,所以f(故令2kπ-π即f(x)=则函数gx的单调减区间为[令2kπ+π2即f(x)=则函数gx的单调增区间为[题型题型6三角函数的图象与性质的综合应用1．（2022上·上海宝山·高三校考开学考试）已知f(x①y=f(x)是偶函数;

②③y=f(x)在(π其中所有正确结论的编号是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④【解题思路】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对f(x)【解答过程】解：对于①，易得f(x)因为f(-x)=sin|-对于②和③，因为f5f7且π<7π6<5π4<3π对于④，当2kπ≤x<π因为2kπ≤x所以22≤sin当π2+2kπ≤x因为π2所以0<sinx≤1当π+2kπ≤x<当3π2+2kπ≤因为3π所以0≤cosx<1所以，综上所述，当x≥0时，f(x)的最大值为22，由于f(x)为偶函数，所以当x<0时，f故选：D.2．（2023上·江苏无锡·高一校考期末）函数fx=2sinωx+φω>0图像上一点Ps,t-2<t<2向右平移2π个单位，得到的点Q也在fx图像上，线段PQ与函数fA．-2,-2 B．-2,-2 C．【解题思路】首先根据已知条件分析出PQ=2π=2T，可得ω=2，再由fπ4-x=fx可得y【解答过程】如图假设P0,0，线段PQ与函数fx的图像有5个交点，则所以由分析可得PQ=2π=2可得ω=因为fπ4-x=所以x=π8所以2×π8+f-所以sinφ<0，可令k=-1所以fx当x∈0,π2时，令2作ft当t=-3π4即x=0时y=-2由图知若y=fx，x∈0,π2故选：A.3．（2023下·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）已知函数f(（1）求f(（2）设常数ω>0，若函数f(ωx)在区间（3）若函数g(x)=12f(2【解题思路】（1）化简函数f(（2）求出函数的增区间，根据[-π（3）化简g(x【解答过程】（1）f=sin对称中心为(kπ,0)（2）∵f(ωx解得-π∴f(ωx∵f(ωx∴当k=0时，有[-∴{ω>0-π2ω≤-（3）g(令sinx-cos∴y∵t∵x∈[-π4,①当a2<-2时，即a令-2a-②当-2≤aymax=a24-a③当a2>1时，即a>2时，在t由a2-1=2，得a=6．因此4．（2022下·安徽宿州·高一砀山中学校联考期中）已知函数fx=2sinωx+φ（ω>0①函数fx向左平移π6个单位得到的图象关于y轴对称且②函数fx的一条对称轴为x=-π(1)求函数fx(2)若x∈π2,17π12【解题思路】（1）由最小正周期先求出ω．选①：利用函数fx向左平移π6个单位得到的图象关于y轴对称求得φ的可能取值为-5π6、π6，再由选②：由函数fx的一条对称轴x=-π3，求出φ的可能取值为-5π6、π（2）令t=fx，由x∈π2,17π12得，3π由t2+4-at+3-a=0得：t1=-1【解答过程】（1）由题意可知，函数fx的最小正周期为T=4×π4选①，将函数fx向左平移π6个单位，所得函数为由于函数y=2sin2x+π3+φ的图象关于y轴对称，可得∵φ<π，所以，φ的可能取值为-5若φ=-5π6，则若φ=π6，则f所以，fx选②：因为函数fx的一条对称轴x=-π3，则解得φ=7π6∵φ<π，所以，φ的可能取值为-5若φ=-5π6，则若φ=π6，则f所以，fx（2）令t=fx，由x所以t=fx=2sin2x-5π6∈-解方程t2+4-a要使方程f2x+当t1=-1，即2sin故t2=a-3取值范围应在1,2即1≤a-3<2或解得：4≤a<5或1<故所求的a的取值范围是1,2∪题型题型7利用和（差）角公式对三角函数式化简、求值1．（2023下·山西长治·高二统考期末）已知cosα-β=1A．12 B．16 C．19【解题思路】由cosα-β=【解答过程】cosα-cosα+①-②可得2sinαsinβ故选：D.2．（2023下·贵州·高二校联考期末）已知sinα=35,α∈A．167 B．47 C．-16【解题思路】先求得tanα,tan【解答过程】由于sinα=35,sin=35cos所以tanα故选：D.3．（2023下·甘肃兰州·高一校考期末）化简：(1)sinα(2)sinα【解题思路】（1）直接由两角和的正弦公式逆用即可化简.（2）直接由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系即可化简.【解答过程】（1）由题意，由两角和的正弦公式逆用可得sinα（2）由题意，由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系可得sin==24．（2023上·重庆九龙坡·高一校考期末）（1）已知cosα-β（2）化简求值：2【解题思路】（1）由已知结合同角三角函数的平方关系先求出sinα-β（2）由已知结合两角差的余弦公式化简即可得出答案.【解答过程】解：（1）因为π2<α所以sinα所以sinα==21（2）因为2=3题型题型8三角恒等变换的综合应用1．（2023·湖南永州·统考模拟预测）已知sinα-π4=3210A．-2721 B．-1641205【解题思路】本题首先可根据sinα-π4=3210得出sin【解答过程】因为sinα-π两边同时平方，得sin2α+因为0<α<π，所以sin则sinαsinπ故选：C.2．（2023·广东广州·统考一模）若α,β∈π2A．2α+βC．α+β=【解题思路】由α∈π2,π及二倍角的余弦公式可得sinα【解答过程】∵α,β由1-cos2α即sinα∴sin∴cos∵α,β∈π根据函数y=cosx易知：α故选：A.3．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期末）已知sin(1)化简2sin(2)若α∈π,3π【解题思路】（1）根据题意，由二倍角公式将原式化简可得2sinαcosα（2）根据题意，由同角平方关系可得sinα+β，然后由【解答过程】（1）原式=2sin由sinα-cosα=7∴2sin（2）由2sinαcosα=又∵0<β<π2cosα+β∴cos=-44．（2023下·山东威海·高一统考期末）已知函数f((1)当x∈[0 ,(2)若锐角α，β满足f(α2-π【解题思路】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简fx（2）根据同角关系求解cosα=35【解答过程】（1）f(x)=2因为x∈[0, π所以sin(2x+（2）由第（1）问知f(所以sinα因为α∈(0, π因为α，β为锐角，所以α+β∈(0 ,所以sin=5题型题型9与三角恒等变换有关的图象变换问题1．（2023下·广东广州·高二校联考期末）要得到函数fx=12sinA．向左平移π6个单位长度 B．向右平移πC．向左平移π12个单位长度 D．向右平移π【解题思路】根据题意，由辅助角公式可得fx=【解答过程】因为fx即只需要把函数gx=cos2故选：D.2．（2023下·河南焦作·高一统考期末）已知函数f(①fx的最小正周期是π②fx在区间π③将fx图象上的所有点向右平移π12个单位长度后，得到函数其中所有正确结论的编号是（

）A．① B．② C．①② D．①②③【解题思路】根据题意利用三角恒等变换将函数化简成f(x【解答过程】因为函数f=3所以函数的最小正周期T=2π当π6<x<π2时，0<2x将fx图象上的所有点向右平移π12个单位长度后，可得f(所以结论正确的为①②，故选：C.3．（2023下·重庆长寿·高二统考期末）若函数f(1)求函数f((2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数g(【解题思路】（1）利用三角恒等变换得到f(（2）先求出g(x【解答过程】（1）f(则函数f(x)（2）函数f(x)的图象向右平移π因为x∈-π6,当x=-π6时，sin2xg(故函数g(x)4．（2023下·四川绵阳·高一统考期末）已知函数fx(1)当x∈0,π(2)将函数fx的图象先向左平移π6个单位长度后，再把横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，得到函数y=gx的图象.若gθ=1【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简函数，然后代入正弦函数单调增区间结论结合已知范围求解；（2）利用图象变换法则求出y=gx，进一步求出【解答过程】（1）f==1由-π2+2即-π因为x∈0,π，所以函数f（2）先将函数fx=12sin再横坐标伸长为原来的2倍得函数gx因为gθ=1又cosα+θ=-1114，且所以cos=-11题型题型10函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用1．（2023下·河南安阳·高二统考期末）已知函数fx=2cosA．将函数fx的图象向左平移π8个单位长度，得到函数gxB．x=-π8C．函数fx在5D．fx=1在-【解题思路】先将函数fx利用两角和的余弦公式和辅助角公式整理为fA选项根据y=AsinB选项由f-π8C选项判断5π8,3πD选项求出fx=1在-π8【解答过程】f=2===A选项：将函数fx的图象向左平移π得到函数gx故函数gx是偶函数，AB选项：f-π8C选项：因fx令-π2+2故-3π8+故函数fx在-3π8当k=1时，可得函数fx在故C正确；D选项：令fx得sin2所以2x+π4=故x=kπ或x故fx=1在-π8,故D错误，故选：D.2．（2022上·陕西安康·高三校考阶段练习）已知函数fx①函数fx的最小正周期是2②函数fx在区间π③函数fx的图象关于直线x④函数fx的图象可由函数y=2sin其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由题意知，fx=【解答过程】fx①因为ω=2，则fx的最小正周期T②当x∈π8,5π8时，③因为fπ8=2为fx的最大值，则④设gx=2故选：B.3．（2023上·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知函数fx(1)求函数fx(2)将函数y=fx的图象向下平移3个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，当【解题思路】（1）由三角恒等变换可得fx（2）由三角函数的图象变换可得gx=2sin4x+π3，令t=4x+π3∈0,π【解答过程】（1）fx=2=sin故函数fx的最小正周期为2（2）将函数y=fx的图象向下平移3再把横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到gx当x∈-π12,当x∈-π12,即y=m与y=2sin画出y=2sint由图可得0≤m故实数m的取值范围为0,2.4．（2023下·四川成都·高一统考期末）已知函数f(x)=2(1)求实数a的值和函数f((2)将f(x)图象上所有点向右平移π12个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到g(x)【解题思路】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据最大值求出a，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．（2）由题意，根据函数y=Asin(ωx【解答过程】（1）由于函数fx∵函数f(x)的最大值为2，∴2-1+由2x-π∴fx的对称中心为（2）将f(x)图象上所有点向右平移π再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12可得g(∴2sin(4xy=2sin4x-如图为函数y=2sin4

∵2π3≤4x-∴故m的取值范围为(-4,-2-3题型题型11三角函数的应用1．（2023上·陕西榆林·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为52米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）(1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式h(t)=Asin(ωt(2)若盛水筒P在t1，t2时刻距离水面的高度相等，求t【解题思路】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式；（2）根据正弦方程，求解t1,t2【解答过程】（1）如图，过O作OC⊥PB交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转2π60=又因为∠COM=∠OMA，sin则∠COPPB=OP⋅即h(t)=5（2）不妨设t1>t故sinπ①π30t1-π6=π30t2-π②π30t1-π6+π30t2综上，t1+2．（2023下·四川绵阳·高一校考阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻1:004:007:0010:0013:0016:0019:0022:00水深(米)68.563.568.563.5经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数ft(1)根据以上数据，求出函数ft(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为5.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内0:00∼24:00何时能进入港口？【解题思路】（1）根据最大值和最小值可求得A,b；由最小正周期可得ω；利