辽宁省辽阳市2023-2024学年高二年级上册1月期末考试数学试卷

高二考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一、二册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线3x—y+6=0与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

A.4B.8C.6D.12

3

2.某地气象局天气预报的准确率为士，则4次预报中恰有3次准确的概率是（）

4

2727927

A.-----B.—C.—D.—

128641632

3.已知抛物线C：X2=20；（0>0）的焦点为尸，点尸（为,4）在C上，|EP|=5,则直线尸产的斜率为（）

,3,2,4,3

A.±-B.±-C.±-D.±-

2334

4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他

人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）

A.32种B.128种C.64种D.256种

5.某市高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N（171/6）,现在该市随机选择一名高三男生,

则他的身高位于［171,179)内的概率(结果保留三位有效数字)是()

参考数据：P(〃—bWX<〃+b)“0.683,P(//-2CT<X<//+2O-)«0.954,

P(//-3cr<X<//+3cr)~0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

6.如图，在三棱柱ABC—AgG中，M为AC；的中点，设BA=a,BB〔=b,BM=c,则C&=（）

B.a+2b—2cC.2a+b-2cD.a-2b+2c

2

7.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为一，记小明射击2次的得

3

分为X,则D(x)=()

8

B20

一26

A.9-9D.9一

8.已知直线y=x+l与圆心在无轴上的圆M相切，圆M与圆N：(九一2)一+9=1外切，则圆M的半径为

()

A.后-1或40+4B.20-2

C.40+4D.2夜-2或4立+4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若2X-十]展开式的二项式系数之和为64,则下列结论正确的是()

A.该展开式中共有6项B.各项系数之和为1

C.常数项为-60D.只有第4项的二项式系数最大

10.某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是()

A.若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法

B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法

C.若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法

D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法

11.如图，在正方体ABCD-A4G，中，尸为4。的中点，AQ=tABl,Ze[0,l],则下列说法正确的是

()

41

A.PQ-LA.B

B.当/=」时，

PQ〃平面BCG4

2

C.当/=工时，PQ与CD所成角的余弦值为普

3

D.当/=•时，AQL平面P44

4

22

12.已知椭圆C：直线Mv+y—3=0与C交于,N（X2，y2）两点，若％1=2X2，则

实数彳的取值可以为（）

11

A.—B.—C.3D.4

56

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：

广告费用X/万元1.82.235

销售额V万元t71416

根据上表数据得到y与尤的回归直线方程为J=3.75%-1.25,贝廿=

14.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，

9

记摸取白球的个数为X.若E（X）=z，则加=，P（X=2）=.

15.有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在

第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是.

16.已知某人每次投篮的命中率为0（0<.<1）,投进一球得1分，投不进得。分，记投篮一次的得分为X,

则学评的最大值为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

某高校《线性代数》课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下：

单位：人

数学专业非数学专业总计

男生ef120

女生60g80

总计160h200

（1）求e,f,g,//的值，并估计男生中是非数学专业的概率;

（2）能否有90%的把握认为选数学专业与性别有关？

n[ad-bc)

附：z2其中〃=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

2

6Z=P(70.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

18.(12分)

已知直线/：kx-y-k=0,keR,圆C：(x—l)?+(y-6J=1,/过定点A,/与圆C相交于点Af,N,

且________.

从①ACJ_CN；②△CMN为等边三角形；③[4以|+|47]=3这三个条件中任选一个填入题中的横线上，并

解答问题.

（1）求后的值;

（2）求△CMN的面积.

19.（12分）

已知抛物线C：y2=4x,过点P（4,0）的直线/交C于A,2两点.

（1）若线段A8的中点为求/的斜率；

（2）证明：以线段AB为直径的圆过坐标原点O.

20.（12分）

为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加.现有来自甲俱乐部的运动员4名，其中

知名选手2名；乙俱乐部的运动员5名，其中知名选手3名.从这9名运动员选择5名参加比赛.

（1）求选出的5人中恰有2人是知名选手，且这2名知名选手来自同一俱乐部的概率；

（2）设随机变量X为选出的5人中知名选手的人数，求X的分布列与数学期望.

21.（12分）

如图，在四棱台ABC。—431GA中，底面AB。是菱形，AB=2AAi=2AiBi=2'NABC=60°,A4,1

平面ABCD.

(1)证明：BD±cq.

(2)棱BC上是否存在一点E,使得二面角E-ADI-。的余弦值为:？若存在，求线段CE的长；若不存

在，请说明理由.

22.(12分)

22

已知双曲线C：-—==1(a>0,b>0)的右顶点为A,左焦点为乩过点尸且斜率为1的直线与C的

一条渐近线垂直，垂足为N,且|7W|=1.

(1)求C的方程.

(2)过点〃(—2,0)的直线交C于2(%,%),0(%，%)两点，直线AP，AQ分别交了轴于点G,试问

在无轴上是否存在定点T,使得7GL7H?若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由.

高二考试数学试卷参考答案

1.C

直线与y轴交于点（0,6）,与x轴交于点（—2,0）,所以围成的三角形的面积为:x6x2=6.

2.B

197

由题意可知，4次预报中恰有3次准确的概率P=C：x?x—=——

4⑷464

3.D

因为|抨|=5,所以4+q=5,解得"=2,则*0,1）,P（±4,4）,所以直线Q的斜率为土;

4.C

若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人

都可以选择去或不去，有25种去法.故一共有25+2‘=64种去法.

5.A

由题意可知，〃b=4,所以P(171<Xvl79)=P(〃<X<〃+2。)^0.954+2=0.477.

6.A

连接BG(图略).易知M=2cM=2(8M—8C).因为3M=+6C)=g(8A+BC+所

以BC=2BM—BA—BB],所以G4,=—2BM+2BA+2B4=2a+2Z?—2c.

7.B

4

2?111

由题意可知，X的取值可能为-2,0,2.因为P（X=2）=—x—9-P(X=—X-=一,

339

2144142

p(X=0)=C；x§x§=§,所以石(X)=gx2+(—2)Xg+gxO=§.故

22

24f2116

。")=2x—+-2——」+。-2x

39393ir9

8.D

如图，过点M作直线y=x+1的垂线，垂足为P,设圆M的半径为厂.易知直线丁=%+1的倾斜角为45°,

点A的坐标为（—1,0）.

=3,BPr+1+^2r=3,解得/=—^=3—=2A/2—2；若点“(记

若点加在点N左侧，则有+

V2+1

为M)在点N右侧，河尸垂直于y=x+l,则行|P"|—|MN|=3,即、/%——1=3,解得

〃=^^=4&+4.

V2-1

9.BD

因为二项式系数之和为64,所以〃=6,则该展开式中共有7项，A错误；令x=1,得该展开式的各项系数

之和为1,B正确；通项&=C〉(2X)6T|—；)=(—26T］于.令6—|「=o,得厂=4,

7；=(-1)4XC：X22=60.C错误；二项式系数最大的是C：,它是第4项的二项式系数，D正确.

10.ABC

对于A,有C；A；=18种排法，故A正确；对于B,采用捆绑法，有A；=6种排法，故B正确；对于C,采

A4

用插空法，有A；A；=12种排法，故C正确；对于D,有/=4种排法，故D错误.

11.ABC

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则Q(f,0,。，所以QP=

45=(1,0,-1),所以QP-A3=0,所以PQJ_45,A正确.

当/=•1时，QP=\0~,0\^~BC,所以PQ〃5C,从而PQ〃平面5。。1月，B正确.

2I2J2

当/=工时，=£>C=(1,0,0),所以尸。与CO所成角的余弦值为cos(DC,QP>=®,C

326J'711

正确.

当/=；时，A,QABX=Q,O,-|j.(l,O,l)^O,所以AQ不垂直于AB】，所以4Q不垂直于平面P44，

D错误.

由石=人2，得K=3+2（为一3）.因为点河（石,％），阳/，％）在椭圆C上，

2

（2X2）⑶2+3-3犷

---------1-------------------1,（益+3-34）2—51万,

所以《94消去*2得

224

上+五=1,

194

铲汨132-5132-5

解侍％=b.又闻<2,所以<2,显然;Iwl,解得九£P1（L5）.

62

13.3

lL一1.8+2.2+3+5r+37f+37

因1A为x=------------------=3,y=二二，所以上==3.75x3—1.25,解得f=3.

444

27

14.1；—

64

339

易知X~5（3,二一.因为石（X）=—,所以3x——=乙,解得加=1,所以

（m+34m+34

…）=承图二=||

3

15.一

5

/、。。AO

设事件A="第一次抽到函数题"，8="第二次抽到函数题”，则P（A6）=・/，P（A）T=”斤

6x5563

以小止

16.2-273

由题意可知，X服从两点分布，可得E（x）=〃，0<p<l,

D(X)=(1—p)p.

4£>(X)-3_4p(l-p)-3=2-2/?--=2-|2^+—^<2-2l2p--=2-2y/3,当且仅当

2E(X)2p2P〔〃2pJV2P

2p=—，即p=——时，（/'、一取得最大值2—2#）.

2p22E（X）

17.解：（1）由题意可知，e=160—60=100,……1分

/=120-100=20,……2分

^=80-60=20,……3分

〃=200—160=40.……4分

201

故男生中是非数学专业的概率P='=—.……5分

1206

一〜」2200x(100x20-60x20)25

(2)由题意可知力？=-----\----------------L-=—«2.083.8分

160x40x120x8012

又因为1—90%=10%，而且查表可得P（z2>2.706）=0.1,

由于2.083<2.706,所以没有90%的把握认为选数学专业与性别有关.……10分

18.解：直线/：y=左（X-1）过定点4（1,0）....2分

选①.（1）因为ACLCN,所以OV〃x轴.……3分

设N[,6），贝U（x—+-6『=1,解得x=0或x=2,……5分

6分

金;6

整理得2y2-3/y+3=0,yN-yM=^~.又％=&，所以为=£•……10分

因为OV〃x轴，|OV|=1,所以SAMNC=^X1X［若一也］=且.……12分

ZZ4

\)

所以圆心C到直线/的距离d=lxsin/=",……3分

选②.（1）因为△CMN为等边三角形,

32

所以d=『=立，……5分

ViZF2

解得k=土布.……6分

y=±A/3（X-1）,/\22

（2）联立方程组4、，、，消去X得士卫+(y-J3\=1,……8分

（X—1）+何=1,（勿'7

解得y=6或>=岑.……10分

整理得2/—30y+3=0,

则OV〃x轴，|CN|=1,所以SAMNc=gxlx币—鼻=号.……12分

不妨设点N的纵坐标为6，

10.兀6

注：或直接求SAMNC=5XFxsin—=——.

34

、.3

选③.（1）因为AM+AN=3,所以点A到弦MN的中点E的距离为一，……3分

2

3

此时cosNC4E=,=走

所以NC4E=30°,……5分

所以直线1的倾斜角为60°或120°,则左=土6.……,6分

y=±A/3（X-1）,（-\22

（2）联立方程组〈,.L\2消去X得土百J+(y石)一1,...8分

（x-了+卜-科=1,1

整理得2y2—3石y+3=0,解得y=百或y=也.•

…“10分

不妨设点N的纵坐标为小，则。V〃x轴，|OV|=1,所以S^〃Nc=gxlx逐=事.……12分

19.解：设直线/的方程为了=阳+4,A(x，yJ,B(x2,y2)....1分

联立方程组1)消去x得丁―4切—16=0,……3分

[V=4x,

所以％+%=4机，%%=-16....4分

(1)因为线段AB的中点为Q(%o，l),所以％+%=4机=2,解得机=工，...5分

所以/的斜率为2.……6分

(2)证明：因为。A=(%OB=(x2,y2),所以。4-。6=玉%2+y%.....8分

又%1M=迎•%=16,所以OA-O3=16—16=0,……10分

44

所以NAQ5=90°,故以线段AB为直径的圆过坐标原点。.……12分

20.解：(1)设“选出的5人中恰有2人是知名选手且这2名知名选手来自同一俱乐部”为事件A,……1分

则P⑷=C；C：……5分

'J段63

(2)由题意可知，X的取值可能为1,2,3,4,5.

clc45

（）...6分

Px=i年-126,

c2c3_20

个=2)年-9……7分

63

r3r2_10

P（X=3）=*一,…“8分

21

r4rl

P（X=4）=.10

-f...9分

63

P（X=5）=|U1...10分

126，

所以随机变量X的分布列为

X12345

52010101

P

126632163126

11分

L/sI5c20.10.10u125八

E(X)=lx-----n2x1-3xF4Xi-5x=—.12分

'71266321631269

21.(1)证明：如图，连接AC,4G.

因为ABC。—ABCQI为棱台，所以A，A，G，C四点共面.

又因为四边形ABC。为菱形，所以……2分

因为A4_L平面AB。，BDu平面A8C。，所以

又因为A&4。=4且44-ACu平面ACG4,所以如，平面ACGA.……4分

因为CGu平面ACGA，所以3D，CG.……6分

(2)解：取BC的中点Q,连接A。.

因为底面ABC。是菱形，且NABC=60°,所以△ABC是正三角形，所以AQ_L5C,

即A。，AD.

又A4，平面A8CD,所以以A为原点，AQ,AD,A4所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，则4(0,0,0),A(0,0,1)，01(0,1,1)，2(73,0,0),

假设点E存在，设点E的坐标为(6,尢0)，-1<2<L可得AE=(石,尢0),AD]=(0,1,1).

n-AE=A/3X+=0,

设平面ARE的法向量为n=(x,y,z),则.

n-AD1=y+z=0.

取x=2,可得>=一百，z=JL所以〃=(4—石,6).又平面ADD]的一个法向量为AQ=(6,0,01

所以卜讣得餐《解得…平.

9分

由于二面角E—A9—。为锐角，则点E在线段QC上，所以2=率，即CE=1—乎

故BC上存在点E,当CE=1—千时，二面角E—A9—。的余弦值为:.……12分

22.解：（1）因为印的斜率为1,且FN工ON（。为坐标原点）,

b

所以—2=—1,=b.……1分

aa

因为_FN=1,所以C=-----=从而〃=b=l,....3分

11兀

cos—

4

所以双曲线c的方程为炉―>2=1.……4分

（2）设直线AP的方程为丁=勺（％—1）,AQ的方程为