2021年广东省惠州市高考数学一模试卷(含解析)

2021年广东省惠州市高考数学一模试卷

1_*⑵

1.设复数£=「(其中i为虚数单位)，则Z的虚部是()

1—2

A.1B.oC.-1D.-i

【答案】B

1_,20211_；

【解析】解：因为z=------=----;=1,

1—41—1

所以z的虚部为0，

故选：H-

化简复数Z，由此即可求解.

本题考查了复数的除法的运算性质，涉及到求解复数的虚部问题，属于基础题.

2.如图，阴影部分表示的集合为()

A.,4nd⑼B.〃n(Q，4)C..4|J(C(J?)D./?U(C(,4)

【答案】B

【解析】解：从图中可以看出阴影部分在C,.A内，同时也在集合8内，

故选：R.

直接结合图像即可求解结论.

本题考查集合的求法，考查补集、交集定义等基础知识，是基础题.

3.3”是“直线：”=I+1与圆"―")2+/=2有公共点”成立的()条件

A.充分不必要B.充要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】C

【解析】解：根据题意，圆"一“产+/—2的圆心为(0.0),半径「=四，

圆心到直线”=1+1的距离d=

若直线期=工+1与圆(.r—〃)?+/=2有公共点，则必有"W0，即喷”(四，

变形可得：|。+1|42,

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解可得：一3我2：41，即。的取值范围为|一3,1],

[-3,1][—3,+00),

:!

故“a2-3”是“直线//=I+1与圆"—〃)+1/2=2有公共点”成立的必要不充分

条件,

故选：C.

根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线//=1+1的距离d,结合直线与圆

的位置关系可得必有0，即1«+11解可得“的取值范围,即可得答案.

本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题.

4.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号,

编号分别为01,02,50,从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第

2行：

6667403714640571110565099586687683203790

5716031163149084452175738805905223594310

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是()

A.10B.09C.71D.20

【答案】B

【解析】解：从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，找出4个在()1~.口)内的编

号，14,05,11,09,20.

则得到的第4个样本编号09.

故选：R.

根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可.

本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键.

5.在平面直角坐标系中，角。的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转;后经过点

I)

(-1,伍)，则hui(2〃+[)=()

A.一遍B."C.禽D.0

3

【答案】C

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【解析】解：•.角〃的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转(，后经过点(-l.g),

..taii(0+^)=—^=一瓜'

()—1

2tan(0+/_2x(-g)

则tnii(2〃+J)

1-tair(0+-)

6

故选：C

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan(U+3,再利用二倍角的正切公式，计

n

算求得结果.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，属于中档题.

【答案】c

【解析】解：当。=()时，f(r)=|,r|,且行0,故A符合，

当工〉0时，且a>()时，/(工)=工+222仿，当工<()时，且0>()时，/(z)=一工+士

XT

在(-00,0)上为减函数，故8符合，

当工<0时，且a<0时，/(r)=-x+-^--=2\/^a,当工〉0时，且a<0

时,,/(1)=1+(在(0.+oo)上为增函数，故。符合，

故选：C.

分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断.

本题考查了函数图象的识别，关键是分类讨论，利用基本不等式和函数的单调性，属于

中档题.

7.切割是焊接生产备料工序的重要加工方法，各种金属和非金属

切割已经成为现代工业生产中的一道重要工序.被焊工件所需要

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的几何形状和尺寸，绝大多数是通过切割来实现的.原材料利用率是衡量切割水平

的一个重要指标现需把一个表面积为2SJ,的球形铁质原材料切割成为一个底面边

长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件，则该零配件最大体积为()

A.6B.禽C.18D.师

则/?2=/底+。6'2,即7=级+；—即％=24

,该零配件的最大体积为V=：X2瓜X2\/3X空X2瓜=18.

故选：C.

由题意画出图形，求出球的半径，再求出球内接正三棱柱的底面边长与高，代入棱柱体

积公式求解.

本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题.

8.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲

线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3

世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲

线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距

离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当()VeV1时，轨迹为椭圆；当<二1

时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程

〃“M+r+2//+1)_2〃+3『表示的曲线是双曲线，则机的取值范围为()

A.(Q.1)B.(1.4-oc)C.@5)D.(5.+刈

【答案】C

【解析】解：方程〃+/+2〃+1)=(./,—2〃+3)J，/〃>0，

即为ni[r2+(y4-1)2]=(x—2y+3)*，

可得+(〃+以=\x-2y+3|，

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介+（y+1）2_3

则一2。+3|一皿7，

^/T

可得动点P（i.y）到定点（0,-1）和定直线J-2“+3=0的距离的比为常数1/2,

Vm

由双曲线的定义，可得,3>1,

解得（）<”!<5,

故选：C.

将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统

一定义，可得根的不等式，可得所求范围.

本题考查圆锥曲线的统一定义的理解和运用，考查方程思想和转化思想、运算能力，属

于中档题.

9.已知等比数列｛0”｝的公比为q,前4项的和为由+14,且。2,四+1,1成等差

数列，则4的值可能为（）

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】AC

【解析】解：因为必+1,4成等差数列，

所以+切=2（向+1），

因此，fli+（bj+<1；|+。।=川+3a：i+2=+14,

故“3-4.

又｛期｝是公比为q的等比数列，

所以由“2+=2（阳+1）,

115

得。3（<7+-）=2（的+I），即q+-=w，

qq2

解得q=2或;.

故选：AC.

运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值.

本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和性质，考查方程思想和运算能力,

属于基础题.

10.下列有关回归分析的结论中，正确的有（）

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A.运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心(,r,y)

B.若相关系数，•的绝对值越接近于1,则相关性越强

C.若相关指数序的值越接近于0,表示回归模型的拟合效果越好

D.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高

【答案】ABD

【解析】解：对于4,回归方程必定经过样本中心(心»)，故选项A正确；

对于8,由相关系数的意义可知，相关系数厂的绝对值越接近于1,则相关性越强，故

选项8正确；

对于C,若相关指数用的值越接近于1,表示回归模型的拟合效果越好，故选项C错

误；

对于。，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，

故选项D正确.

故选：ARD

利用回归分析中的相关知识对四个选项逐一分析判断即可.

本题考查了回归分析的理解，主要考查了回归方程的性质，相关系数的意义和残差图的

理解等，属于基础题.

11.已知函数/(r)=2sin》-sin2r,则下列结论正确的有()

A.函数/(r)的最小正周期为7T

B.函数/(n)在［-明司上有2个零点

C.函数〃1)的图象关于点(二0)中心对称

D.函数/")的最小值为_上在

【答案】CD

【解析】解：因为/(l+H)=2sin(x+TT)-sin2(.r+尸)=-2ain.r-sin2x^f(x),

所以函数的周期不是TT,所以A不正确；

工=一斤，0,打时，/(l)=(),所以函数/(1)在［-万.汗］上有2个零点有3个零点，所

以8不正确；

因为/(-z)=2sin(-,r)-sin2(-.r)=-(2sin.r-sin2.r)=-f(,r),所以函数是奇函数,

/(2TT-r)=2sin(2^-,r)-sin2(2T-.r)=-2sinx+sin2.r=-f\.r)，

所以函数/")的图象关于点(小0)中心对称，所以C正确；

函数=2sin.r-sin2.r,可得/'(.r)=2cosr-2)<•-2r仆rI.r+2，

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令2cos,r-1cos21+2=0，解得c（wr=1»cos%=--,

当8sHe（-；/）时，尸（工）＞0,函数是增函数，；r€（-l,-；）时,

故选：CD

利用周期的定义判断4求解函数的零点判断&利用函数的奇偶性以及函数值判断&

转化求解函数的最小值判断。，即可.

本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的周期性，函数的对称性以及函数的最值

的求法，是中档题.

12.在棱长为1的正方体方BCDAB1GB中,M是线段

AG上一个动点，则下列结论正确的有（）

A.存在M点使得异面直线与AC所成角为

B.存在用点使得异面直线8M与AC所成角为45。

C.存在M点使得二面角M-BO-C的平面角为45。

D.当44M=AG时，平面例截正方体所得的截面面积为？

8

【答案】AD

【解析】解:对于A,连接4G、BlA,交于O],

连接BD,

取点M为。时，连接OB,因为工

,4C_LB।B,c

所以平面BBDQ,又因为OiBu平面

B

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BB[D]D,

所以.AC_LOiB,所以A对；

对于8,因为』iG〃AC,所以异面直线与AC所成角就是/BA"】，

因为乙B"G》60。，所以B错；

对于C,因为二面角」T/-BO-C的平面角为/）"）「，因为NA/OC〉45。，

所以C错；

对于力，取。4中点N,连接MM过M作EF//8。，交小功于E,交45于凡

连接E。、FB,

EF=—<3。=、历，0M=，0蜉+MN?=-，

24

SEFBD=；•（EF+BD）-OM-:.（4+v^）-1

Z2.Z4n

所以。对.

故选：AD.

4只须证明4CJ_0iB；B用平移直线求异面直线成角判断;C求二面角的平面角/A"）。

判断；。求截面EF8。的面积判断.

本题以命题真假判断为载体，考查了正方体结构特征，考查了异面直线成角问题，考查

了二面角问题，属于中档题.

13.已知向量才=（一1.1）,了=（皿,2），若存在实数小，使得万=入了，则m二

【答案】-2

【解析】解：•.•■??=（一1.1）,了=（m、2），

若77*=入了，则（-】.l）=:（m.2）,

则I黑：「'解得：泅=一2,

故答案为：-2.

根据共线向量得到关于机的方程组，解出即可.

本题考查了平面向量的运算，考查转化思想，是基础题.

14.已知a,bSR，若n.—3，=2，则2"+的最小值为

【答案】4

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【解析】解：因为o—3,=2,

则2"+》2,2"•2初=20F1,

当且仅当c=_3b=l,即“=|,，…।时取等号，此时2"I1的最小值为工

38"

故答案为：4.

由已知结合基本不等式即可直接求解.

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题.

15.设，为常数，若（£-1）1”的展开式中所有项的系数和为1024,则力=.

【答案】3或一1

【解析】解：令.T=1代入二项式可得：H—1严-1024，

所以t—1=±2,贝！］/=3或一1,

故答案为：3或-L

令工=|代入二项式即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解展开式的所有项的系数和的问题，考查了学

生的运算能力，属于基础题.

16.已知函数/（工）=皿，关于x的不等式/2（外一。/（工）＞0只有1个整数解，则实数

T

4的取值范围是.

【答案】偿，萼）

【解析】

【分析】由/（工）=学（/＞0）,/（力=上手，利用导数研究其单调性和极值，可

得函数人了）的图象，对。分类讨论解出不等式，即可得出.

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、解不等式、分类讨论方法、数形结

合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

【解答】由/（工）=也■（/〉0）,/'（上）=~步

TTr

令尸（•「）＞0，解得：0V上vc，

令尸（.「）＜解得：工＞e,

.•.〃丁）的递增区间为（O.c）,递减区间为+00）,故〃第）的最大值是/Xc）=l；

尤T+OC时，—►0,时，X------0C,/（1）=0,

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故在(0,1)时,f(x)<0,在(L+8)时,

/(1)〉()，函数/(*)的图象如下:

①a<0时，由不等式/2(.r)-a/(.r)>0得f(r)<。或/(工)>0,

而/(l)<a<()时UV」：V1无整数解，/(工)>()的解集为(L+oo),整数解有无数多

个，不合题意；

②“=0时，由不等式产(工)一。/(丁)>0,得〃动。0,解集为(0,l)U(l,+oo)，

整数解有无数多个，不合题意;

③">()时，由不等式/2(.r)-。/(T)>0,得/(工)<0或/(1)〉a,

•，/(£)<()的解集为(0.1)无整数解，而/(『)>”的解集整数解只有一个,

且/{?)在(O.c)递增，在(e,+8)递减,

而2<e<3,/(2)=/(4)</(3),这一个正整数只能为3,

In2In3

「J⑵(a</⑶，

综上，a的取值范围是［中,野).

故答案为：［竽嗡,

17.在八/IBC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，

sin2.4+sin2C=sin2B+sin.4sinC.

(I)求角8的大小；

(II)若△ABC为锐角三角形，/,=点，求2a-。的取值范围.

【答案】解：(1)由已知sinLl+siiFCusiiFB+siuAsiuC'，结合正弦定理，得

(I2+C2=1>2+UC.

再由余弦定理，得cos3=M+f__=W=!，

2〃c2ac2

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又BW(0.7T),

可得B:.

(H)由口6=通，则由正弦定理，有

•>

2d—c=4sin.4—2sinC=-1sin(^—C)-28inC=4(-^co»C+^sinC)—2sinC

=2\/3cosC，

f0<C<

因为人/1?。为锐角三角形，I9_2可得*<c<],

0<--C<-

I32

则。<cosC<

所以2a-c=2通cos。的取值范围为(。，3).

【解析】⑴由已知结合正弦定理得‘J+/=胪+"一再由余弦定理得的值，结

合BC(0,TT),可求8的值.

(H)由题意利用正弦定理，两角差的正弦公式化简可得2"-2通cosC，由于

△月融为锐角三角形，可得“TT7T

解得利用余弦函数的

62

性质即可求解2”-「的取值范围.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式以及余弦函数的性质在解三角

形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.已知等差数列｛g｝和等比数列｛儿｝满足由=4,8=2,的=2'一1,d=6+2.

(I)求小｝和｛儿｝的通项公式；

(II)数列｛期｝和｛儿｝中的所有项分别构成集合A,B,将八[J”的所有元素按从小

到大依次排列构成一个新数列｛金｝,求数列｛金｝的前60项和Sm.

【答案】解：⑴设等差数列S，J的公差为4,等比数列｛1%｝的公比为(7,

4+d=2,2q—1(d=4q—5

由，八，,)11),

4+2d=2.q，+2]d=q—1

，。=2,(1=3?

；J

=3〃+1,bn=2.

(II)当｛备｝的前60项中含有他｝的前6项时，

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令3n+1<2：=128，可得n<5，

•J

此时至多有12+6=48项(不符)；

当｛6｝的前60项中含有｛儿｝的前7项时，

令3"+1<2'=256，可得〃<85，

且22,24>2$是｛内』和仍"卜的公共项，

则｛c“｝的前60项中含有｛，)的前7项且含有｛0“｝的前56项，再减去公共的三项.

56x55

5(®=(56x4+—x3)+2+234-254-27=4844+170=5014.

【解析】⑴设等差数列｛”“｝的公差为d,等比数列｛儿｝的公比为q,由等差数列和等

比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出｛及｝的通项公式；

(II)分｛d｝的前60项中含有体｝的前6项，4｝的前60项中含有｛儿｝的前7项两种

情况，求得〃的范围，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出Sa.

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、

推理能力，属于中档题.

19.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如

图所示•将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销

售量低于50个的概率；

(H)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列,

期望E(X)及方差D(X).

【答案】解：⑴设小表示事件“日销售量不低于100个”，.4?表示事件“日销售量

低于50个”

8表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日

销售量低于50个”,

因此P(此)=(0.006+0.004+0.002)x50=().6,

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P(42)=O.fiO3x50=0.15,

P(B)=0.6x0.6x0.15x2=0.108；

(H)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为:

P(X=0)=C?(l-0.6)3=00Gl,

P(X-1)-C；10.6(l-Of)?-0.288，

尸(X=2)=《0.62(1_of)=0.432,

P(X=3)=C^O.63=0.216,

随机变量X的分布列为

X0123

P().0640.2880.4320.216

因为X〜/?(3.0.6),

所以期望E(X)=3x0.6=1.8,

方差D(X)=3x0.6x(1-0.6)=0.72.

【解析】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列及期望与方差，属于中档

题.

⑴由频率分布直方图求出事件4，4,的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事

件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低

于50个”的概率；

(11)写出X可取的值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分

布列.根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E(X)及方差O(X).

20.如图，在以尸为顶点，母线长为，5的圆锥中，底面圆。的直径AB长为2,C是

圆。所在平面内一点，且AC是圆。的切线，连接8c交圆。于点。，连接P。、PC

(1)求证：平面P41L平面PBC;

(2)当二面角B-PO-D的大小为121)。时，求四棱锥P一工CQO的体积.

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【答案】(1)证明：•「4C是圆。的切线，..AC148,

由圆锥的性质知，平面PA8I平面ABC,

,「平面P/Wpl平面4/?,ACU平面A8C,

,4C1平面848,

AC1PB,

■：PA=PB=\/2>AR=2,PB1PA,

又ACp|PA=A,AC,PAC平面PAC,

■PBLPAC,

PBC平面PBC,

平面P.4CJ_平面PRC

⑵解：•."A=。3,且。为AB的中点，•OPLAB,

•「平面24Gl平面ABC,平面。48n平面八4B，OPU平面丛8,

•OP_L平面ABC,

OPVOB.OP1OD，

:"BOD为二面角B-PO-D的平面角，即ABOD=120o,

../ABC=30。，

2

在Rt△力AC中，48=2,/.AC=3，

11121

5则边形Aroo=S^ABC-S&BOD=-AB*AC—不OB・OD・sin乙BOD=-x2x一-

36

xlx1xsin120o=----，

12

二.四棱锥P-ACDO的体积V=，OP.S1,1,5\/35\/3

四切形八=qX1X=市-

12

【解析】(1)由平面P.4AI平面4BC，4CL43,推出AC,平面PAB,有AC_LPB，

易知尸81尸.4,从而得PQI平面PAC,再由面面垂直的判定定理，得证;

(2)由平面PABI平面ABC,OP1AB,知0尸，平面ABC,从而有0尸_1_。3,OP1OD，

2

故//?()/)=120。，进而得八C=f，由卜..HL=S：.〃oc和棱锥的体积

v3

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公式，得解.

本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角和棱锥体积的求法，熟练掌握线面、面面垂

直的判定定理或性质定理，理解二面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推

理能力和运算能力，属于中档题.

的左、右顶点，且椭圆G的上顶点到双曲线Q的渐近线的距离为

5

（1）求椭圆G的方程；

（2）设椭圆G的左、右焦点分别为n（-c,o）,mg。），经过左焦点n的直线/与

椭圆G交于N两点，且满足瓦A=用口+再N的点P也在椭圆G上，求四

边形F//PN的面积.

【答案】解：（1）椭圆的左右焦点分别为R（-仁（）），6（仁0），

而双曲线a：/-1=1的顶点分别为（一1.0）,（L0）,

所以c=1.

又椭圆的上顶点为而双曲线Q：«_町=1的一条渐近线为"二2］，

4

则有1^=^,解得〃二!.

瓜5

«2=I2+I2=2.所以椭圆E的方程为4+/=1.

（2）设直线/的方程为了=切—1,（t一定存在），代入/+2/=2,并整理得

（户+2）/-2切-1=0,

△=4#+4（d+2）>0恒成立，设A/■（加1一1.以），N（切2-1.波），

2t—1

则小+U2=百f，期曲=尹”.

设P（M,如），由罚=月/+瓦不，得7。-1=切1-2+切2―2

珈=3/1+例

户+6

工。=t（yi4-j/2）-3=-庐+2,又点p在椭圆q上，故+了二

2/2（拄+2），（拦+2）

即产一12t2-28=0,解得产=14（舍负），

因为满足月下=南7+月川的点尸也在椭圆G上，所以四边形EJ/PN是平行四边形,

设四边形EA/PN的面积为S,则有

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v।PrI।I0~"7~~9肚产+4仍+2)4,2(f2+1)

s=\F1F2\­所一城|=2y(j/1+3/2)-4yly2=2V―+？)2-=-^2-，

代入户=乜，得四边形FM/PN的面积S棚.

4

2

【解析】(1)椭圆的左右焦点分别为尸1(一，,0),£仁0)，通过双曲线G：M-工|

4

的顶点求解椭圆的半焦距，又椭圆的上顶点为(()/),而双曲线的一条渐近线为夕=2工，

得到从然后求解椭圆方程.

(2)设直线I的方程为I=加—1,(t一定存在)，代入M+2/=2,设—1.%)，

N(ty2-1,W2)-利用韦达定理，设P(J'().Mi)，由瓦F=F,\i+艮耳，结合点P在椭圆

G上，转化推出四边形FJ/PN是平行四边形，然后求解四边形凡"PN的面积的表

达式，然后求解即可.

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，双曲线的简单性质的