2023-2024学年九年级数学中考数学试题计算能力的培养

中考数学试题计算能力的培养

数学计算能力的培养是数学教学与学习的重要内容之一笔者通过研习数,学中考试卷，

发现考查数学计算能力尤为凸显，可见我们平时的数学教学必须重视学生计算能力的培养.

以下举例说明.

一、代数式变形、化简的计算

例1设一元二次方程/-3x-l=0的两根分别是:王、x2,则

2

X,+x2(x2-3X2)=_________________

解析本题若将所求代数式中的括号去掉，变为：%+々3-3々2,则运算就将毫无头

绪.而由马是方程：d-3x—l=o的一个根，可以得到22-3々-1=0,即-3々=1,

代入原代数式就可以化简为：M+X2,则问题即求原一元二次方程的两根之和，直接求出两

根或运用韦达定理都可以得到答案为3.

由此可见，在代数式的运算中适当利用“整体代入”往往能起到十分简捷的作用.

例2平面直角坐标系xOy中，已知点(。,力)在直线y=机2+2(m>0)上，且

满足a?+/—2(1+2人机)+4机2+。=0,则机=

解析首先，由点(a,b)在直线y=2〃ir+川+2(m>0)上，可以得到

b-2am+m2+2.

222

此时，由本题的另外一个条件a+b-2(1+2bfh)+4m+b=0,我们可以考虑将h的

表达式整体代入，得/+/_2(1+2bm)+4m2+2«m+w2+2=0.

该等式的左边经过适当整理、化简之后，可以得到(。+M)2+屹-2")2=0,由平方的

非负性，可，知〃=-加，人=2加.再代回匕的表达式，就可以得到关于帆的一元二次方

程:m2+2m一2=0,注意到加>0,所以解得根=石一1.

二、图形推理的计算

.例3如图1.,AABC中，ZACS=90°,AC=5,8c=12,。。，回于点0,D

是线段08上一点，OE=2,ED//AC.(ZAr)E<90o),连结M、CD,设BE、CD

的中点分别为P、。

⑴求AO的长；

(2)求PQ的长;

⑶设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM-的值.

图1

解析第⑴问由“等积法”或三角形相似(射影定理)，容易得到4。=曾.

第(2)问求线段尸。的长度，是构造直角三角形利用勾股定理，还是由P、。别为B8E、

8的中点，利用三角形的中位线呢?但线段BE、8又不在同.一个三角形之中，显然不

能直接利用三角形的中位线.由ED//AC,延长交6c于点尸，易知

NCFD=NBFE=90°,如图1所.示.这时，在mABE户中，点尸即为斜边BE的中点，

作PHHEF,分别交84、BC于点、R、H,则PR=，E0=1,RH=-DF,同样，

22

在RtkCDF中,作QG〃DF交BC于点G,则QG=g。入联结RQ,易知四边形RQGH

为

矩形，所以，此时"RQ自然为直角三角形，且NPRQ=90°.

又因为，HF=-BF,FG=-CF

22

可得RQ="G=HF+EG=；+=；BC=6

则,PQ=Jp+62=收.

第⑶问，如图2所示，由⑵知2。=历，若能知道与M。的比值.关系，就可以

算出|-板的值.延长G。交AD于点N,

在AACD中，NQ=AC=NQ=

.cc,…八mPMPR12

由PR//NQ,可得-——

MQNQ55

2

图2

由此可见，与几何图形有关的线段长度的计算，往往需要辅以推理证明来获得解答.

三、结合图形分"类讨论的计算

例4平面直角坐标系中，已知抛物线y=f+bx+c经过(―1,机？+2m+1)、

(0,m2+2m+2)两点，其中加为常数.

(1)求人的值，并用含m的代数式表示c;

⑵若抛物线yuf+bx+c与x轴有公共点，求机的值;

⑶设(a，X)、(a+2,%)是抛物线y=%2+bx+c上的两点，请比较%-X与。的大

小，并说明理由.

解析⑴，(2)略；

本题第⑶问的计算涉及到简单的分类讨论.由⑴知b=2,所以y=f+法+。,

%=(a+2)2+2(a+2)+c,y=/+2a+c则％->i=4。+8,比较必一凹与。的大

小，也就是比较4。+8与。的大小，自然得到三种情况.其实比较%-y与。的大小，也"就

是比较当与X的大小关系，我们也可以结合函数图象进行解答.如图3,由抛物线

yuf+bx+c的开口向上，对称轴为直线％=-1,可以知道图象上的点离对称轴越远，

所对应的函数值越大.所以，要比较刈与M的大小关系，只需要比较9+2,%)、(。，凹)这

两点到对称轴直线尤=—1的距离就可以了.也就是要比较|a+2-(-1)|与(-1)|的大小关

系，通过分类讨论也容易得到问题的答案.

y

图3

k

例5如图4,平面直角坐标系x0y中，点C（3,0）,函数y=—（Z〉0,x>0）的图象

x

经过Q43C的顶点4加,〃）和边8c的中点。.

（1）求，”的值；

⑵若AQ4。的面积等于6,求k

k

⑶若p为函数>=—（攵〉0,x>0）的图象上一个动点，过点尸作直线/_Lx轴于点M,

x

PN1

直线/与x轴上方的OABC一边交于点N,设点尸的横坐标为f,当——=—时，求/的

PM4

解析⑴，（2）略；

第⑶问，由于条件中并没有指明点N具体在：Q43C的哪一条边上，所以自然需要分

三种情形讨论，

①如图5,点N位于边Q4上.

PN*NM3

由知——

~PM4PM4

n

所以

解得4=6（负值舍去）.

②如图6,点N位于边AB上.

,PN1“PM4

PM4NM5

2n

所以」V一=?4,解得5

n522

当点N位于边8c上，由于点P可能位于点N的上方，也可能位于点N的下方，此时

又需要分类讨论之.

③如图7,点N位于边8c上，且点尸位于点N的上方.

〜PNNM3

由----知

PM4PM4

n3

所以223

2n4

解得（负值舍去）.

⑷如图8,点N位.于边BC上且点P位于点N的下方.

,PN1»PM4

由——=一，知----=一

PM4NM5

2〃

V4

所以—

35

—t——n

22

解得4=3+｝（负值舍去）.

图8