2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型训练：函数的奇偶性（三）（含解析）

《函数的奇偶性》(三)

考查内容：主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，构造奇偶函数求函数

值等

选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知了。)是H上的奇函数，且当尤>0时，/(X)=3X2+2X-1,则当x<0时，

/(x)=()

A.-3X2-2X-1B.-3X2+2X+1

C.3X2+2X-1D.3X2-2X-1

2.已知/(x)是R上的偶函数，且当xWO时，f(x)=3x2+2x-l,则当x>0

时,/(%)=()

A.-3X2+2X-1B.-3X2-2X-1

C.3X2+2X-1D.3X2-2X-1

3.己知函数7'(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且〃x)+g(x)=2x+3,则g(l)=

()

A.3B.4C.5D.6

4.已知函数/(九)是定义在R上的奇函数，当x»0时，f(x)=2'+2x-a,贝|

/(-1)=()

A.3B.-3C.-2D.-1

5.若函数/(x),g(x)分别是尺上的奇函数、偶函数，且满足/(x)+g(x)=2\则有

()

A./⑶<g(0)</(4)B.g(0)</(4)</(3)

C.g(0)</(3)</(4)D./⑶</(4)<g(0)

6.已知函数f(x)=lnpl+9x2-3x)+1,厕/(1g2)+/11gg］=

A.-1B.0C.1D.2

7.己知定义在R上的函数/(x)=3sinx—2x+l,则在［—5,5］上〃尤)的最大值与

最小值之和等于()

A.0B.1C.2D.3

8.己知函数/(x)=o?—g+i,则/°g3)+/(lg；]的值等于()

A.2B.1C.3D.9

9.己知/(》)=%5+加+陵+2,且/(2)=—3,贝!]/(-2)=()

A.3B.5C.7D.0

10.已知函数f(x)=ax3+/?sinx+4(^,Z?eR),/(2)=5,则2)=()

A.-5B.-1C.1D.3

/、|x|-sinx+lz、

11.已知函数/(x)=l1w+1一(X^^的最大值为加，最小值为加，则M+m

的值为()

A.0B.1C.2D.3

12.函数/(尤)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且

/(x)+2g(%)=",若关于x的方程〃2x)—mg(x)=O在区间(0,2］内有解，则

实数机的最小值为()

A.4B.4A/2C.8D.80

二.填空题

13.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=^3+x+l,则

/⑺在H上的解析式为.

14.已知函数"X)=ln(Jl+尤②—x)+l,f(a)=5,则.

15.已知函数/(x)=x5—奴3+法一4,且/(—3)=6,则/(3)=.

16.已知函数/(x)=、+D；+c°sx—smx,在区间卜单］上的最大值为M最小值为

X+cosX+1

N则M+N=.

三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知“X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=*—4x,

(1)求/(光)的解析式；⑵求不等式/(x)>x的解集.

18.设函数/Xx)是R上的奇函数，当X..0时，/(X)=X2+4X.

(1)求/(x)的表达式.

(2)求证”尤)在区间(0,+8)上是增函数.

19.已知函数Ax)和g(x)的定义域都是R,Ax)是奇函数，g(x)是偶函数，且

2/(x)+3g(x)=9x2+4x+l.

(1)求/(x),g(x)的解析式；

(2)若砥x)="(x)]2+/(x)-3g(x),求尸(幻的值域及单调区间.

20.已知/(x)=犬+5x+l

(1)求/(—2019)+/(—2018)+〃—2017)+/(2017)+/(2018)+/(2019)的值;

(2)用单调性定义证明/(%)在R上单调递增；

(3)解关于尤的不等式：/(x+l)+5>0.

21.已知/(九)是定义在(—1,1)上的奇函数，且当0<x<l时，〃,=了、

⑴求“尤)在(-1,0)上的解析式；

(2)求/(X)在(-L0)上的值域;

⑶求心卜“盛(2017)

【2018)的值.

22.已知函数/(尤)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且

/(%)+1g(x)=log4(4'+l).

⑴求g(x)的解析式;

(2)若函数/i(x)=/(x)—；log2(a2+2/a)(a>0)在R上只有一个零点,

求实数。的取值范围.

《函数的奇偶性》(三)解析

1.【解析】由题意，设％<0,则—x>0,则/(—x)=3/—2x—1,

因为函数/(x)为R上的奇函数，则/(一幻=一/(幻，

得/(%)==-3x2+2x+l>即当x<0时，/(%)=-3x2+2x+l.故选：B.

2.【解析】当x>0时，一九<0,则

/(无)=/(-.X)=3(-尤)〜+2(—%)—l=3x2—2x—1.

3.【解析】/(x)为奇函数,g(x)为偶函数，且/(x)+g(x)=2x+3,

+g(-x)=-2x+3,即-/(x)+g(x)=-2x+3,

..收村=包片2=3,贝-，故选：A.

4.【解析】/(x)是定义在R上的奇函数，且无..0时，/(x)=2”+2x—。，

.■./(0)=1-«=0,\a=1,f(l)=4-a=3,则/(—I)=—/(I)=—3.故选：B.

5.【解析】因为/(x)+g(x)=2，，所以/(—x)+g(—x)=2r,

又因为/(%),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，所以

/(-X)=-/(%)，g(-X)=g(%),

jf(x)+g(x)=2x2-l-2-/、2，+2-,

所以"(x)+g(x)=2-所以〃x)=^^，g(x)=^^'

所以g⑼=1,〃3)=整"(4)=答,所以g(0)</>⑶<〃4).故选：C.

Io32

6.【解析】设lg2=a,贝Hgg=—ln2=—a,

/(a)+/(-。)=In(Jl+9a2—3a)+1+

ln[jl+9(—a)?+3aj+l=ln(l+9a2—9/)+2=lnl+2=2,

所以/(坨2)+/[3；]=2,所以答案为D.

7.【解析】根据题意，设g(x)=/(x)T=3sinx—2x,xe[-5,5],

有g(-x)=3sin(-x)-2(-x)=-(3sinx-2x)=-g(x),

即函数y=g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，则8⑴皿+g⑴面小。，

则有[4人、T]+口GLT]=/(x)a+/GL,—2=0,变形可得

/(X)gx+/(力厘=2，所以，当xe[—5,5]时，函数y=/(x)的最大值与最小值

之和等于2.故选：C.

A

8.【解析】/(%)—1=加—土是奇函数，.•.皮(―x)—l+〃x)—1=0

X

即/(f)+/(x)=2,二/(lg3)+"lg£|=/(lg3)+/(—lg3)=2.故选A

9.【解析】由=+q3+陵+2,得/(%)—2=%5+依3+法，

设b(x)=/(x)—2,则下(x)为奇函数，2)=——2),

即/(—2)—2=—/(2)+2,.•./(—2)=—/(2)+4=7.故选:C

10.【解析】i^g(x)=ar3+/?sinx,则函数g(x)为奇函数,/(x)=g(x)+4,

/(2)=g⑵+4=5,故g(2)=l,/(—2)=g(-2)+4=-L+4=3.故选:D.

11「解析】小)=%^=1-如(.©，令g(x)=-即(》叫，

即/(x)=l+g(x)，而g(x)是在R上的奇函数,设其最大值为N,最小值为“,由奇

函数性质可得N+〃=0,所以"+机=2,故选择C

12.【解析】Q/(x)+2g(x)=ex,:.f(-x)+2g(-x)=e~x,

又函数〃x)、g(%)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,.•.〃力―2g(x)=ef,

==y(2x)—根g(x)=0在(0,2]有解，

2屹2%2-2%\

)在(0,2]内有解,令♦="3/是增函数，

ex-ex

则0</<e2—e-2,

2x2xxx2

Hn2(e+e-)2[(e-e-)+2]。4六/八24、上修

即m=----------=--------------=2f+一在(0,片一e1有解，

eX—e—Xec%—e-Xt4.

49/—

y=2t+-=2(t+-)>442,当且仅当.=应时，等号成立，

tt

，机的最小值4形，故选：B

13.【解析】函数/(可是定义在R上的奇函数，「./(。4。，

Q%<0,-X>0,f(x)——f(―x)——[(—x)3+(―x)+1]=%3+x—1.

x3+x+1,x>0

故答案为：/(x)=<0,x=0.

x3+x-1,x<0

14.【解析】因为+于(—%)=In(A/1+f—x)+1+In(J1+小+x)+l

=In(J1+无2—%)(J1+无2+@+2=1111+2=2

所以〃a)+/(—a)=2:J(—a)=2-5=—3,故答案为:-3

15.【解析】由题意可知：因为/(x)=X，一以3+/一4,

所以令g(x)=f(x)+4=x5-ax3+bx,

因为函数g(x)=/(x)+4=x5一以3+"为奇函数,

所以有g(—3)=—g(3)，即/(—3)+4=—(/(3)+4),

又因为/(—3)=6,所以为(3)=-14

16.【解析]/(x)=(x+"+c°sx-sinx

X+cosX+1

x2+2x+1+cosx-sinx.2x-sinx

-----------9-------------------------=1+^-----------------

X+COSX+1x+COSX+1

2犬一sinx

令g(x)=

x2+COSX+1

-2x+sinx

g(r)==—g(x),且g(x)为奇函数,

x2+COSX+1

设其最大值为a，则其最小值为-a,

/.函数f3的最大值为a+1,最小值为—a+1

a+l=M

则M+N=2.故答案为：2.

-a+l=N

17.【解析】(1)•••/(%)是定义在R上的奇函数，•••/(0)=0.

又当无＜0时，一］＞0,・\/(一九)=(一九)2—4(一％)=%2+4尤.

又了(%)为奇函数，・•・/(—%)=—"%)，・•・〃%)=—X2—4x(%V。),

x2-4xx>0

/./(%)=<0x=0.

-x2-4xx<0

(2)当x>0时，由/(%)>%得了2—4%>x，解得％>5；

当x=0时，/(x)>x无解；

当x<0时，由/(%)>%得一£—4%>x，解得一5<x<0.

综上，不等式/(x)>x的解集用区间表示为(—5,0)55,y).

18.【解析】(1)当x<0时，—x>0,f(—x)=(―%)2+4(—%)—x~—4x.

•••f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x),

f(x)=-f(-x)=_(12—4%)=-%2+4x(尤<0),

「/、fx2+4x,x..O,

f(x)=]2/

—x+4x,x<n0.

(2)设任意的％,x2G(0,+OO),且玉v%，则

/(尤2)-/(%)=(考+4尤2)-(%；+4演)=(尤2-尤1)(尤2++4).

0<x1<x2fx2-xi>0,x2+Xj+4>0,

・••/(%)-/(石)>。，•••/(%)</(%),

••./'(X)是(0,+8)上的增函数.

19.【解析】(1)因为/Xx)是奇函数，g(x)是偶函数，所以

/(_%)=_/(%)，g(.-x)=g(x),

所以2/(-x)+3g(-x)=-2/(x)+3g(x)=9/-4x+l,

又2/(x)+3g(-x+1,解得—,g(x)*+g；

(2)由(1)知，得

F(x)=[/(x)]2+/(x)-3g(x)=(2x)2+2x-3^3x2+；1=-5x2+2x-l,

故尸⑴的值域为[-℃，-[,单调递增区间-s1,单调减区间|,+℃

20.【解析】⑴/⑴―1=/+5%是奇函数,所以/(—力―1+/(力—1=0,

/(—x)+/(%)=2,所以

/(-2019)+/(-2018)+/(-2017)+/(2017)+/(2018)+/(2019)=6

(2)证明：任取^，々^氏，当玉v%2时

/(X])―/(元2)=%；+5玉+1—石一5%一]=(F—%)+[X；+5>0

因为当王时，所以项一工2<0，又[玉++]X；+5>0

所以/(%)—/(%)<。，所以/(%)在H上单调递增.

(3)解：x3+5x+l=—5»角由得x二1l.

/(x+l)>/(-l),由于函数在尺上是单调递增的，

所以x+l>—1,解得x>—2.

4T1

21.【解析】(1)当一1〈1<0时,0<—九V1,/(一元)=------=--------

因为/(%)是(-1，1)上的奇函数，所以/(x)=—/(—x)=]+；4.，

(2)当一1<%<0吐4*e]；,l],l+2-4xeC，3],

id，所以/(x)在(TO)上的值域为1—jT]；

1+Z-4IJ3JI3JJ

4X

(3)当0<x<l时,/(x)=

4*+