2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评七十八

核心素养测评七十八

参数方程

（20分钟40分）

L（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

1

'X=V3sina-cosa,

（a为参数），以坐标原点为极点,x轴正半轴为

=3-2\^3sinacosa-2cos2a

极轴建立极坐标系，曲线C,的极坐标方程为Psin（e-g=¥m.

（1）求曲线C的普通方程和曲线C的直角坐标方程.

12

⑵若曲线C与曲线C有公共点,求实数m的取值范围.

12

【解析】（1）由曲线C的参数方程为

1

x=\'3sin(x-cosa,,

(a为参数）,

=3-2\/3sinacosa-2cos2a

可得其直角坐标方程为y=X2（-2WxW2）,

由曲线C2的极坐标方程为psin,-三产斗1,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.

⑵联立曲线Q与曲线C2的方程，可得X2-x-m=0,所以m=X2-x=（x士

因为-2WxW2,曲线C与曲线C有公共点，

12

所以-丄WmW6.

4

-1-

2.（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为r=C°S仇（8为参数,

1[y=3sine

.27r

x--2+teas——，

3（t为参数）.

y=tsinY

⑴求曲线C,C的普通方程.

12

⑵求曲线C上一点P到曲线c的距离的最大值.

12

【解析】（1）由题意知，曲线C的普通方程为X2+匕=1,

19

曲线C?的普通方程为\，3x+y+2\，3=0.

（2）设点P的坐标为（cosa,3sina）,则点P到直线C的距离

2

d=3cosa+3sina+232、,3$出（a+看）+2\31

所以当sin（a+2）=1,即aT时，d=2応,

\aJ3max

即点P到曲线与的距离的最大值为2V3.

3.（10分）已知曲线C的极坐标方程是P=4cos8.以极点为平面直角坐标系的原

点,极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系,直线I的参数方程是

（x=1+tcosaf（t为参数）.

y=tsina

（1）将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程.

⑵若直线/与曲线C相交于A,B两点，且|AB|=逐4,求直线I的倾斜角a的值.

【解析】（1）由p=4cos6得p2=4pcos0.

因为X2+y2=p2,x=pcos0,y=psin0,

-2-

所以曲线C的直角坐标方程为X2+y2-4x=0,

即（x—2）2+y2=4.

⑵将fx=1+tcosa,

(y=tsina

代入曲线C的方程得(tcosa-1)2+(tsina)2=4,化简得t2-2tcosa-3-0.

设A,B两点对应的参数分别为t,t,

12

则［Q+t2=2c0sa,

=-

（t1t23.

所以|AB|二|t「tJ=丿自+J尸-4cos2。+12飞宜

所以4cos2Q=2,cosa=±—,aT或阻.

4.（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜='月COS。，（a为参数）.

以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

2

为Psin（e+；）=2、，2.

（1）写出C的普通方程和C的直角坐标方程.

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⑵设点P在C上，点Q在C上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

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【解析】（1）C的普通方程为一+y2=1,

1R

C的直角坐标方程为x+y-4=0.

2

⑵由题意，可设点P的直角坐标为（\,「3cosa,sina）.

因为C是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C的距离d（a）的最小值,

22

d（a）:叵竺业竺虫\，2sin缶+四）,2

V212丿

-3-

当且仅当a=2kn+