考研数学第七章+微分方程

第7章微分方程微分方程的基本概念一阶微分方程全微分方程可降阶的二阶微分方程二阶微分方程的性质与解的结构二阶常系数线性微分方程微分方程的应用举例差分方程微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系,却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系,从而得到一个方程,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科关于未知函数的导数或微分的进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”,那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题.例如,物体的冷却、琴弦的振动、电磁波的传播等,都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系.本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念,种常用的微分方程的求解方法,线性微分方程解的理论.几完一、微分方程的基本概念一般地,含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.类似地,未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.常微分方程的一般形式是:其中为自变量,是未知函数,在方程中,必须出现,而其余变量可以不出现,微分方程中,其余变量都没有出现.能从方程中就得到微分方程例如在阶如果解出最高阶导数,以后我们讨论的微分方程主要是形如的微分方程,并且假设式右端的函数在所讨论的范围内连续.如果方程可表示为如下形式:则称方程为阶线性微分方程.其中和知函数.不能表示成形如的方程,统称为非线性微分方程.均为自变量的已完代入微分方程能使微分方程成为恒等式的函数称为该微分方程的解.微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地,微分方程的不含有任意常数的解称为该方程的特解.含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解).所谓通解的意思是指:当其中的任意常数取遍所有实数时,就可以得到微分方程的所有解(至多有个别例外).注:这里所说的相互独立的任意常数,是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解,这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数,这类附加条件称为初始条件,也称为定解条件.一般地,一阶微分方程的初始条件为其中都是已知常数.二阶微分方程的初始条件为其中和都是已知常数.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.例如,一阶微分方程的初值问题,记为微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.初值问题的几何意义是:求微分方程的通过点的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题,记为其几何意义是:求微分方程的通过点且在该点处的切线斜率为的那条积分曲线.完二、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程如果其右端函数能分解成即有则称方程为可分离变量的微分方程,其中都是连续函数.根据这种方程的特点,我们可通过积分来求解.设用除方程的两端,两边积分,得如果则易知也是方程的解.求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.上述完用乘以方程的两端,以使得未知函数与自变量置于等号的两边,得,三、齐次方程1.形如的微分方程2.作变量代换则代入,可分离变量方程两边积分求出积分后,再将回代,便得所给齐次方程的通解.称为齐次方程.定义解法得注:如果有使得则显然原方程的解,从而也是原方程的解;如果则原方程变成变量方程.也是这是一个可分离完可化为齐次方程的微分方程例如,有些方程本身虽然不是齐次的,但通过适当的变换,可以化为齐次方程.对于形如的方程,先求出两条直线的交点然后作平移变换即可化为齐次方程的微分方程这时,于是,原方程就化为齐次方程此外,对具体问题应具体分析,根据所给方程的特点,作变量代换将方程化为齐次方程或可分离变量方程.完四、一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程的标准形式其中函数是某一区间上的连续函数.当时,方程化为这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地,方程(1)称为一阶非齐次线性方程.分离变量,方程(2)是可分离变量的方程,得两端积分得得方程的通解下面再来讨论一阶非齐次线性方程的通解.将方程变形为两边积分,若记则即得与相比较,只需将中的常数换为函数由此引入求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法:将齐次方程通解中的常数变易为待定函数从而设一阶非齐次方程通解为求导得将和代入方程得积分得从而一阶非齐次线性方程的通解为或注:这个结论对高阶非齐次线性方程亦成立.完五、伯努利方程伯努利方程的标准形式解法利用变量代换化为线性微分方程.两端除以得即令得求出通解后,将代入得所求通解:完型微分方程就是最简单的二阶微分方程,求解方法是逐次积分.在方程两端积分,得再次积分,得注:这种类型的方程的解法,可推广到阶微分方程只要连续积分次,就可得这个方程的含有个任意常数的通解.型微分方程微分方程的右端不显含未知函数引入参数法求解.设则而原方程化为这是一个关于变量、的一阶微分方程.设其通解为代入参数又得到一个一阶微分方程对它进行积分,便得原方程的通解型微分方程微分方程不明显地含自变量引入参数法求解,设则由复合函数的求导法则有这样,原方程就化为这是一个关于变量、的一阶微分方程.设它的通解为分离变量并积分,使得原方程的通解二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的一般形式是其中丶及是自变量的已知函数,函数称为方程(1)的自由项.当时,方程(1)成为这个方程称为二阶齐次线性微分方程.相应地,方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.二阶线性微分方程解的定理定理1如果函数与是方程(1)的两个解,则也是方程(1)的解,其中是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.注:将齐次线性方程(1)的两个解与按(2)式叠加起来虽然仍是该方程的解,并且形式上也含有两个任意常数与这是因为定理的条件中并没有保证与这两个函数是相互独立的.但它却不一定是方程(1)的通解,函数的线性相关与线性无关定义1设是定义在区间内数.如果存在两个不全为零的常数使得在区间内恒有则称这两个函数在区间内线性相关.否则称线性无关.根据定义可知,在区间内两个函数是否线性相关,只要看它们的比是否为常数.如果比为常数,则它们就线性相关,否则就线性无关.的两个函二阶线性微分方程解的定理定理2若与是方程(1)的两个线性无关的特解,则就是方程(1)的通解,其中是任意常数.定理3设是方程(1)的一个特解,而是其对应的齐次方程(2)的通解,则就是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.定理4设与分别是方程与的特解,则是方程的特解.这个定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理.定理5设是方程的解,其中为实值函数,为纯虚数.则与分别是方程与的解.二阶常系数齐次线性方程的解法是常数)((1)为求方程(1)的通解,先求其任意两个线性无关的特解尝试令特解形式:为待定常数),(将其,因为故有(2)如果方程(2)的根,则就是方程(1)的特得代入(1),解.称方程(2)为方程(1)的特征方程,其根称为特征根.1.特征方程(2)有两个不相等的实根.此时是(1)的两个线性无关的特故(1)的通解为解,为任意常数)(2.特征方程(2)有两个相等的实根.此时得到(1)的一个特解为寻找另一特解与线性无关的特解,可设(为待定函数)(为待定函数)将其代入(1),整理得注意到是(1)的二重根,上式即成为取即得到(1)的另一个特解故(1)的通解为为任意常数)(3.此时方程(1)有两个特解特征方程(2)有一对共轭复根可利用欧拉公式对上述两个特解重新组合得到实数形式的解:故方程(1)的通解为根据特征方程的根直接确定所求通解的方法方程法.称为特征二阶常系数非齐次线性方程的求解问题二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为(1)根据线性微分方程的解的结构定理可知,要求方程(1)只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程两个解相加就得到了方程(1)的通解.的通解,的通解,本节要解决的问题是如何求得方程(1)的一个特解方程(1)的特解形式与右端的自由项有关,如果要对的一般情形来求方程(1)的特解仍是非二阶常系数非齐次线性方程的求解问题如果要对的一般情形来求方程(1)的特解仍是非常困难的,这里只是就的两种常见情形进行讨论.1.其中是常数,是次多项式:2.或其中是常数.完型(1)注意到多项式与指数函数乘积的导数仍是同类型的函可推测方程(1)具有如下形式的特解:为某个多项式)(将上式代入方程(1)中,数;(2)对应特征方程为(1)(3)化简整理,得型1.则可设若不是特征方程(3)的根,相应的特解形式2.则可设是特征方程(3)的单根,若相应的特解形式相应的特解形式若是特征方程(3)的重根,3.则可设型综上所述,可见方程(1)具有特解形式:(4)注:而按是不是特征方程的根、1或2.上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程情形.单根或重根依次取0、完(1)由欧拉公式知道,或型和分别是的(2)实部和虚部.因此先考虑方程(3)这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过.假定已经求出方程(3)的一个特解,则根据第六节的定或型假定已经求出方程(3)的一个特解,则根据第六节的定方程(3)的特解的实部就是方程(1)的特解,