6.1平面向量的概念四大重难点题型原卷版

6.1平面向量的概念考点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0【注意】（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．

考点二向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律②结合律减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，【注意】（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．考点三经典结论1、共线向量基本定理如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．3、线段定比分点的向量表达式如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DDACB4、三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在，使得．5、中线向量定理如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．DDACB【注意】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即．（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：，常用于向量式的化简．（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．重难点题型一：平面向量的基本概念例1．下列物理量中，不是向量的是（

）A．力 B．位移C．质量 D．速度例2．下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段和有向线段的长度相等例3．对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为例4．下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则变式训练1．（多选）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．四边形是平行四边形的充要条件D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件变式训练2．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若，满足且，同向，则；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任意向量，，必有.其中正确命题的序号为.变式训练3．下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3变式训练4．对于任意向量、，下列命题中正确的是（

）A．若满足且与同向，则 B．C． D．重难点题型二：平面向量的线性表示例5．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（

）A． B．1 C． D．例6．在中，点满足，则（

）A． B．C． D．例7．在中，为边上的中线，点为的中点，则（

）A． B．C． D．例8．在中，点满足．则下面描述正确的是为（

）A．B．C．若，则D．若、则的最大值为变式训练6．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝．变式训练7．在中，，若点满足，则（

）A． B．C． D．重难点题型三：平行向量或共线向量例9．如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，回答下列问题：（1）图中与共线的向量有；（2）图中与相等的向量有；（3）图中与的模相等的向量有.例10．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有个.变式训练8．如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（

）A．＝B．与共线C．与共线D．＝变式训练9．如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是.变式训练10．如图，四边形ABCD与四边形ABDE都是平行四边形．试回答下列问题：（1）与相等的向量是；（2）若，则．重难点题型四：冲刺满分，压轴题训练例11．为所在平面上动点，点满足,,则射线过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心例12．设，，是