概率论与数理统计长线基础

第一讲随机事件和概率一、预备知识1、两个基本原理（1）加法原理：完成某事有k类方法，每一类分别有n1,nkn1第一讲随机事件和概率一、预备知识1、两个基本原理（1）加法原理：完成某事有k类方法，每一类分别有n1,nkn1n2nk（2）乘法原理：完成某事要k个步骤，每一步有n1,nknk2个元素中取出rPnrn 选排列（0rnn(n1(nn （rnn n3素中取出r个元素的组合，记为n n(nr)CrCr1 【例1.1】2035二、随机事件1、随机试验（1）11.2】下列试验是否均为随机试验？若是，写出所有可能结果。【E1：一批产品中任取一件，观察是正品还是次品：射击一个目标，击中为止，记录射击次数：从一批灯泡中任取一只，测其寿命：太阳从东方升起21.2】下列试验是否均为随机试验？若是，写出所有可能结果。【E1：一批产品中任取一件，观察是正品还是次品：射击一个目标，击中为止，记录射击次数：从一批灯泡中任取一只，测其寿命：太阳从东方升起2、样本空间样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。3、随机事件（1）：样本空间C表A，的子集，通常用【例1.3】在投掷一枚骰子的试验中，用集合的形式表示下面几个事件655（2）分类1 必然事件：样本空间包含所有样本点，它是发生的，称为必然事件。记为。4不可能事件：空集3不发生，称为不可能事件。记为4、事件间的关系包含关系ABAB事件相等ABBAA（3）AB的和事AB或ABA，BABnAknA1Ank2（4）AB的积事件：AB或ABABABn类似地， Ak为n个事件A1,A2kAn（5）A（4）AB的积事件：AB或ABABABn类似地， Ak为n个事件A1,A2kAn（5）AB的差事件ABA发生、BABAB（6）斥（互不相容）事件ABABAB且AB A，B在一次试验中必然发生且（7）对立（互逆）事件AAnAiAj,1ijn，则称事件（8）完全事件组：A1,5、事件的运算律（1）交换律：ABBA;ABB（2）结合律ABC)AB)CABC)(AB)（3）分配律ABC)(AB)AC)ABC)(AB)A（4）德摩根律（对偶律：ABAB,ABA【例1.4】设A,B为任意两个事件，则下列选项错误的 （A）AB，则A,B可能不相 （B）AB，则A，B也可能相（C）AB（D）ABABAB【例1.5ABCABC2）AB都发生，而C3）ABC4）ABC5）ABC6）ABC7）ABC三、古典概率和几何概型1、古典概率3（1）定义：具有以下（1）定义：具有以下两特点的试验称为古典概型①样本空间有 e1,②等可能 Pe1Pe2（2）计算方PAA中基本事件的个数中基本事件总数（3）三类古典概型的概率计摸球问题例如袋中装有a个AbB球形状完全相同，A①从袋中任取ｃ＋ｄcAdB球的概率（cadb②从袋中任意连取出k+1（k1ab）个球，如果每球被取出后不放回，试求最后取出的球是A球的概率（ca,db）【例1.6】10060件正品，403件，按照放回与不放回抽样，求PA),P(B)A{3件均为次品}B两正品一次品} 分房问题n个人等可能地分配到N（nN）C=m（mn）【例1.8】将431封信的概率是多A=“4C=“4D=“43）随机取数问题0，1，2，„，910B=02、几何概型（1）几何概型的定义与计算定义：如果试验4点位于中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（或子区域）A内这一事件（仍记作A）中任意子区间（或子区域A的长度（或面积、体积的长度（或面积、体积P(A)【例1.11】某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点时报时一次，求他等待时间短于10min的概率【1.13】点位于中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（或子区域）A内这一事件（仍记作A）中任意子区间（或子区域A的长度（或面积、体积的长度（或面积、体积P(A)【例1.11】某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点时报时一次，求他等待时间短于10min的概率【1.13】[071]在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于1的概率为2四、随机事件的概率1、概率的公理化定义及性质（1）定义P(A)AP()P(A)0规范性：对于必然事件P()②是两两互不相容的事件，即对于ijAiAj,i,j1,则有P(A1A2 )P(A1)P(A2)（2）概率的性质A0PA②规范性：P()0P()A1,Anij,AiAj,i,j1,P(A1An)P(A1)P(A2)P(An,APA)1P⑤减法公式P(BAP(B)P(⑥可比性：设AB是两个事件，若AB，则有PA)P(B)P(BA)P(B)P(5⑦加法公式A,BPAB)PA)P(B)P注：3P(ABC)P() P( P(⑦加法公式A,BPAB)PA)P(B)P注：3P(ABC)P() P( P((P(P1.14】PA)0.5，PAB)0.2，P(B)0.4P(AB)，P(AB)，P(A+B)P(【例1.15】ABPA)0.5PAB)0.8,ABP(B) 【例1.16】已知P(A)0.8，P(AB)0.1，则P(AB) 【例1.17】已知A,B两个随机事件满足P(AB)P(AB)，且P(A)p，则P(B) 14A,B,C，PAPBPC【例1.18】设随机事，PBC0,PACP,则A,B,C三个事件中至少出现一个的概率为 8【例1.19】若AB，AC，且P(A) ，P(BC)0.8，求P(ABC) 【例1.20】ABPA)P(B)1PAB)12(B)ABAB((D)P(AB)(C)P(AB)五、条件概率1、定义A)P(P(ABPA0B9A3的倍数}B1={偶数}B2【例1.21在1P(A),P(A|B1P(A|B262、性质（1）0P(B|A)（2）P(|A)1，P(|A)（3）P(A2、性质（1）0P(B|A)（2）P(|A)1，P(|A)（3）P(A|B)1P(A|（4）P(A1A2)|BP(A1|B)P(A2|B)P(A1A2|3、乘法公式P(A)0,P(A P(BA)PP(B)0,P(AB)P(A推广ABCPAB)0P(ABC)【例1.23【例1.24】袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人一次随机地从 A1（B）A（D）P(AB)【1.25】假设事（A）A是必然事（C）A4、全概率公式与贝叶斯公式（逆概公式（1）全概率公式,则nP(B)P(Ai（2）贝叶斯公式（逆概公式,An是完全事件组，P(B)0,P(Ai)0,i1, ,B)P(Ai)P(Aii1,2,P(inP(Ai)PAi【例1.26设某批产品中，甲，乙，丙三厂家生产的产品分别占品的次品率分别为0.04，0.02，0.0545%、35%、20%，各厂产7X中任取一个数，记为Y则PY2 X中任取一个数，记为Y则PY2 球，这样连续进行m-1次，求此时再从袋中摸出1个球为黑球的概率。六、事件的独立性1、两个事件独立的定义P(A P(A)P(ABAB2、独立的性3、独立的等价说法若0PA)1AB独立P(B)P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(B|A)P(B|A)P(B|4、三个事件的独立性ABCP(AB)P(P(AC)P(P(BC)ABCP(ABC)P(【例1.29】甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5,0.6,0.8，求下列事件的概率：【例1.30】ABC是三个相互独立的随机事件，且0P(C)1（）A)AB与(B)AC与(C)AB与(D)AB与8）A)ABB(B)ABAB(C)AC(D)AB）A)ABB(B)ABAB(C)AC(D)ABCABABA与事件B互不相容，则 【例1.32】设事AP(AB)DP(A P(A)CP(A)1P(AB)【例1.33】ABCABC（B）ABAC（D）ABAC（A）ABC（C）ABAC【例1.34】将一枚硬币独立地掷两次，引进事件 ={掷第一次出现正面 ={掷第A4={正面出现两次}，则事件）（A）A1,A2A3相互独立（B）A2,A3A4相互独立（C）A1,A2,A3两两独立5 重贝努利概型及其概率计（D）A2A3A4两两独立n次，则称为 重贝努利概型二项概率公式PA)p(0p1)AA发生kB(n,p)Cp(1p)nk(k0,1,kkn)kn9第二讲一维随机变量及其分布一、随机变量的概念请适当定义一变量（函数）使之与下列各随机试验的结果1对应起来，即每一个样本点eX第二讲一维随机变量及其分布一、随机变量的概念请适当定义一变量（函数）使之与下列各随机试验的结果1对应起来，即每一个样本点eX(e2、随机变量定义定义在样本空间eXX(e)e，则该变量X(e)上的实值函数X,Y,xyz二、随机变量的分布函数xF(x)1、定义：设XX2、利用分布函数求各种随机事件的概率X~F(x)（1）P{Xa}F（2）P{Xa}1P{Xa}1F（3）P{Xa}F(a0)limF（4）P{Xa}1P{Xa}1F(a（5）P{Xa}P{Xa}P{Xa}F(a)F(a（6）PaXbPXbPXaF(b)F（7）PaXbPXbPXaF(b0)F（8）PaXbPXbPXaF(b)F(a（9）PaXbPXbPX（8）PaXbPXbPXaF(b)F(a（9）PaXbPXbPXaF(b0)F(a3、分布函数的性质（1）非负性：0F(x)F()limF(x)0，F()limF(x)x1x2F(x1)F(x2F(x)F(x【例2.1设随机变量的分布函数为x0x02F(x)AsinX62x1a xx(1【例2.2】F(x，求abc【例2.3】下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是（131（A）F(x)（B）F(x) arctan 1x（C）F(x)（D）F(x) arctanx0xF(x)PX1【例2.4】[103]设随机变量的分布函）1ex,x22（A）（D）1三、离散型随机变量的概率分布1、离散型随机变量的定义2、分布x1,x2，xk，xk的概率为为离散型随机变量，其可能取值为P{Xxkpk(k1，2,)，满足（2）pk（1）pk2、分布x1,x2，xk，xk的概率为为离散型随机变量，其可能取值为P{Xxkpk(k1，2,)，满足（2）pk（1）pk0,(k1，2,kxk}pk(k1,3、离散型随机变量的分布函数定义F(xP{XxP{Xxixxk}pk(k1,,x1x2xkxnx0xxp112F(x)p1x2xxPX1.5,P0X2,P0Xx1x11x33Fx【例2.7设随机变量X的分布函数为，则X的分布律 中的最大号码，写出随机变量X的分布律4、常用的离散型随机变量（1）二项分布B(n,Ap（0p1）X表示nAX所有可能的取值为0,2,nX p P{Xk}Ckpk(1Ckpk(q1p)，k,nnX服从于参数为2,p的二项分布，随机变量Y服从于参数为3,【例2.9】设随机变5的二项分布，若PXP{Xk}Ckpk(1Ckpk(q1p)，k,nnX服从于参数为2,p的二项分布，随机变量Y服从于参数为3,【例2.9】设随机变5的二项分布，若PX1 ，则PY1 9【例2.10X31（2）01分布（二项分布的特例X01，P(Xk)k0,1(0pX服从01（3）泊松分布（二项分布的极限分布PXk(0),k0,1,,kX服从参数为X~P(【例2.11】.e（4）几何分PXk(1p)k1p,(0p1),k1,,则 服从几何X（5）超几何分布XCkPXkNM,k0,1,nMNn都是正整数，且nMMNMN和n5、泊松定pnpnXnB(n,pn（n有关），若k0（为常数limP{Xk}limCkpk(1p)limnnn(k0,X p1 X P 【例2.12纺织厂女工照顾800个纺锭，每一纺锭在某一短时间内发生断头的概率为四、连续型随机变量的概率分布1、概率密度函数X如果对于随机变 F(xxF(x)x} ff(x【例2.12纺织厂女工照顾800个纺锭，每一纺锭在某一短时间内发生断头的概率为四、连续型随机变量的概率分布1、概率密度函数X如果对于随机变 F(xxF(x)x} ff(x0(x)xXf(x)X的概率密度函数（简称密度函数2、性质（1）f(x0（x f（3）对于任意实数a和b(abbP{aXb}F(b)F(a) f(x)dxaF(x)XPXx0，对xRf(x)F(x)f【例2.13】Xxf(x2 2 2,PXP1,P22 【例2.14X数x0xx0x0xx0（2）F(x)=211【例2.15】f(x)f(xf1(x均为概率密度，则f1（）(A)f1(x)dx1,f1(x) f1(x)dx1,f1(x)f(C f1(x)dx0,f1(x) f1(x)dx0,f1(x)f【例2.16】X1X2为任意两个连续型随机变量，它们的分布函数分别为F1(x)和F2f1(x)和f2(x（（A）F1(xF2(x（B）F1(x【例2.16】X1X2为任意两个连续型随机变量，它们的分布函数分别为F1(x)和F2f1(x)和f2(x（（A）F1(xF2(x（B）F1(xF2(xf1(x)f2(x（D）1f(x2f(x12333、常见连续型分布（1）均匀分布U(a,1，axf(x)bX X服从[a,bX~U(a，b).其中abxxaaxxX的分布函数为：F(x)ba2.17】K在0,5上服从于均匀分布，则方程4x24KxK20的概率 【例2.18设随机变X在[2,5]上服从均匀分布,X进行三次独立观测,3的概率（2）指数分 E(ex，xf(x)，x其中0X服从参数为X~E()xxe1F(x)X服从参数为X落入区间(12【例2.19假设随机变到最大，则 X（3）正态分布1(xu1一个连续型随机变量X，如果其密度函数为f(x) e(x,为常数，X（3）正态分布1(xu1一个连续型随机变量X，如果其密度函数为f(x) e(x,为常数，和2记作 N(,2)201用(x)表示，分布函数用(x)表示。其中 (x22）(x)(x)y②(x)112③(0)④a2(a)X3）上X~N01)，对于给定的(01)，如果uu，则称u为标准正态分布的分位点。由于(u1，因此可以利用标准正态分布表查出u3标准正态分布与一般正态分布的关系（标准化X~N(0,10.9987PX3 2.20X~N(,2，且2.21】若随机变量X~N(2,2)，且P2X40.3，则PX0 N(,N(,22 P{|X1|1}P{|Y2|1则必有）（A）1（C）1（BP{|X1|1}P{|Y2|1则必有）（A）1（C）1（B）1（D）1【例2.23】XN(0,1，对给定的(01，数uP{XuP（A）2xx 2（D）2五、随机变量函数的分布1、离散型随机变量的函数分布XPXxkpkk1,Xg(xkPYg(xk)pkk1,数YgX,gX该值的概率，就可以得到Yg(X)X【例2.24】则YX2的分布律为 2、连续型随机变量函数的概率密X~fX(x),Yg(X)，求fYg(x)FyP(YyP(g(XyfY(y)F'(fYYX（1）g(x)（2）g(x)2Y【例2.25X【例2.26】X- 1,1x01,1x0f(x)YX2，求Y,f(XY第三讲二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布函数1、二维随机变量定义XX第三讲二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布函数1、二维随机变量定义XX(),YY()是定义在样本空间上的两个随机变量，则称向量X,Y为二维随机变量（或随机向量2、联合分布函数设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x、yF(x，y)P{Xx，Yy,x,y为二维随机变量(X，Y)的分布函数或随机变量X与{Xx与{Yy}3、二维随机变量分布函数的性质（1）非负性：xyR0F(x,y)1F(,y)F(x,y)；F(x,)limF(x,y)（2）规范性F(,)limF(x,y)0,F(,)limF(x,y)xy（3）不减性F(x,y（4）右连续性F(x,yxyF(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0)x,y4、二维随机变量的边缘分布函数设二维随机变量(X，Y)F(x,yFX(x)pXxpXx,YF(x，)limF(x,FY(y)F(,y)limF(x,为X,YX和关于Y【例3.1】设二维随机变量X,YF(x,y)A(B )(C 试求：常数【例3.2】设二维随机变量X,Y(1e2xeyx0,yF(x,y)FX(xF(1e2xeyx0,yF(x,y)FX(xFY5、二维随机变量的独立性设二维随机变量(X,Y)F(x,y)X和关于FX(xFYyxyF(xyFX(x)FYy)和Y二、二维离散型随机变量1、二维离散型随机变量定义如果二维随机变量X,Y可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称X,Y2、联合分布律设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj)(i,j，)，且对应的概率为P(Xxi,Yyj}pij,(i,j12, ，pij1，则称为二维离散型随机变量X,Ypij0，i,j1i1jX和Y3、边缘分布律定义：对于二维离散型随机变量(X,YXyjxipij，i,j，PXxiPXxi,YP{Xxi,Yyj}pijpi(i，YPYyiPX,YyiP{Xxiyj}pijp.j(j，4、条件分布律设二维离散型随机变量(X，Y)yjxipij，i，j，（1）jPYyj0j1PXxi,Yyjpij,i1,p.PXYyY条件下随机变量 ijjXPXxiPXxi,Yyjpij,i1,p.PXYyY条件下随机变量 ijjXPXxi0(i1,)，则PXxi,Yyjpij,i1,PYXxXx条件下随机变量的jiip5、离散型随机变量X与Y的独立性如果X,YX和Y即 Xix, PX pijpii，jj【例3.3】3X,Y1,2X和Y【例3.4】10XY试就以下两种情况，求二维随机变量(X，YX与Y【例3.5】1个红色球，23X,YZ（Ⅰ）PX1Z0（Ⅱ）求二维随机变量X,Y【例3.6某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件，现从中随机Xi 【例3.7】设二维随机变量X,YYX010ab1c113已知PY1X0 ，P01，求ab,2三、二维连续型随机变量１、定113已知PY1X0 ，P01，求ab,2三、二维连续型随机变量１、定义：设二维随机变量X,Y)的分布函数为F(x,y) f(x,y)x、yF(xyf(u,v)dudv，则称X,Y)f(x,y)为二维随机变量X,Y)X和２、性质（1）f(x,y)0（2）f(x,y)dxdy（3）Dxoy平面上任一区域，则点DP(X,Y)Df(x,D2F(x,（4）f(x,y)在点(x,y)f(xy.kx,0xy【例3.8】设二维随机变量X,Y的概率密度为f(x,y（２）P{XY【例3.9】X与Y0x1,0yf(x,y)（2）P{X（3）P{X3、边缘概率密度函定义：设(X,Y)为连续型随机变量，它的概率密度函数为f(x,y)XfX(xf(x,YfYyf(x,通常分别称fX(xfYy)为二维随机变量(X，Y)X和Y的边缘密度函数４、二维连续型随机变量的条件概YfYyf(x,通常分别称fX(xfYy)为二维随机变量(X，Y)X和Y的边缘密度函数４、二维连续型随机变量的条件概率密设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)f(x,yfy0YXf(YYyXf(x,x)（２）x，边缘概率密度fX(x0，则称fYXfXx下YX５、二维连续型随机变量的独立定理：如果二维随机变量X,Y)的联合密度为f(x,y，边缘概率密度分别为fX(xfYy)X和Yx,yf(x,y)fX(x)fY(0xy其【例3.10（03，1）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)P{XY1 y0x f(x,y)【例3.11（92，3）设二维随机变量X,Y（1）X的概率密度fX（2）P{XY1}【例3.12】设X和YX在(0,1)区间上服从均匀分布，Yy2yfye，Ya22XaY0，求a【例3.13】设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)1,0x1,y)fYXx),fXY6、两个常见的二维连续型随机变量的分布（1）二维均【例3.13】设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)1,0x1,y)fYXx),fXY6、两个常见的二维连续型随机变量的分布（1）二维均匀分布定义：设DSD，若二维随机变量(X,Y)1(x,y)密度函数f(xy)则称(X,YD上的二维均匀分布D(x,y)性质：D(x,y)axbcyd分布的随机变量(X,Y)（2）二维正态分布如果二维连续型随机变量(X，Y)(x 2)( (y 2)2 f(x,y),x,y 122(1) 22 112,10,20,11均为常数，则称(X，Y)12,1,2X，Y)~N(,; ) X~N(,Y~N(,22 X与YX与YX与YkXkY~N(kkkk22121 2 1 2X与YkXkY~N(kkkk22kk2121 2121 1④若(X1，X2服从二维正态分布，设Y1,Y2X1，X2的线性函数，则(Y1,Y2yxy0,x1,xe23.14（98，1）X2机变量X,YD上服从均匀分布，则X,Y) P 0【例3.15设二维随机变量(X,Y)~N(0yxy0,x1,xe23.14（98，1）X2机变量X,YD上服从均匀分布，则X,Y) P 0【例3.15设二维随机变量(X,Y)~N(00;1,10 （）(C)314121(【例3.16】设随机变量X,YX与YfX(xfYyX,Y的概率密度，则在YfXYXy为（(B)fY((A)fXfX(C)f(x)f( f(Y四、二维随机变量函数的分布1、离散情形 PX X 已知(X，Y)的联合分布律为ZgX,Y)【例3.17（94，1）X、YXmaxX,Y的分布律 则随机变量Z【例3.18（94，3）X1X2X3X4P(Xi0)0.6,P(Xi1)0.4(i1,2,3,4)XXXX XX P Zg(X,Yg(Xi,Yjp【例3.19】X,YX~P(1Y~P(2Pmax(X,Y)0 Pmin(X,Y)0 【例3.19】X,YX~P(1Y~P(2Pmax(X,Y)0 Pmin(X,Y)0 求：=XY,=XY2、连续情形（1）一般方法：分布函数法设二维连续型随机变量(X，Yf(x,y)ZgX,Y)布函数为：FZ(z)PZzPgX,Y)z（2）两种最常见的函数分布g(x,y)f(x,1ZXYZ或fZ(zf(zyf(z) f(x,zZ若X与Y独立，则f(z) f(x)f(zx)dx或f(z) fX(zy)fY(ZXYZ2问题：设 ,Xn相互独立，其分布函数分别为FX(x1),FX(x2 FX(xnnMFM(z)Pmax(X1,X2 ,Xn)zPX1z,X,PXnzFXPX1zPX2FXn12FN(z)Pmin(X1,,Xn)z1Pmin(X1,,Xn)1,Xn,zP1X1zPX2zPXnz2XnXi~F(x)（i1n）FM(z)Fnz(F)N,z()F1z【例3.21（99，1）设两个相互独立的随机变N(0,1NFM(z)Fnz(F)N,z()F1z【例3.21（99，1）设两个相互独立的随机变N(0,1N(1,1则12121212（A）P{XY0}（B）P{XY1}（C）P{XY0}（D）P{XY1}独立，且均服从0,3上的均匀分布，则【例3.22设随机变量X与Pmax(X,Y)1 ,Pmin(X,Y)1 y，【例3.23设两个相互独立同分布的随机变量X和Y的分布函数为maxX,Y分布函数为Z）F2xB FxFyD1Fx1F211Fx.【例3.24（93，4）假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布。当三个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。【例3.25】设二维随机变量X,Y0x1,0y2xf(x,y)ZXY的概率密度fZ(z【例2.26（87，1）X,Y0xf(x)f(y)eyyZ2XYy ，XY【例3.27（03，3）X与YX~ X 而Yfy)，求随机变量UXYg第四讲随机变量的数字特一、随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望（1）一维离散型随机变量的数学期望ixP{X}第四讲随机变量的数字特一、随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望（1）一维离散型随机变量的数学期望ixP{X}(i1，2)，若级数 i称xiXEXEXxipi；如果级数piiX（2）一维离散型随机变量函数的数学期望XP{Xxipi，i1，2g(x)数，YgX，若级数g(xipiEg(X)EYEgXg(xi（3）二维离散型随机变量函数的数学期望若(X，YPXxi,Yyjpij,i,j12g(x,y)为二元连续实函数，ZgX，Y当g(xiyj)pijEgX，Y)EZEg(X，Y)g(xi,yji1i1XEX，E(XEX3件合格品.3X【例4.3】设X,Y 0.3,0.1,0.1,0.1（1）求EX，EY（2）设ZXY,求EZ（3）设ZXY)2,求2、连续型随机变量的数学期望xf(x)dxX设连续型随机变 的概率密度fxf(x)dxX的数学期望，记为EX，即EXxf(x)dxxf(x)dxXfX(xg(x)为连续实函数，YgXXEg(X) xf(x)dxX的数学期望，记为EX，即EXxf(x)dxxf(x)dxXfX(xg(x)为连续实函数，YgXXEg(X) g(x)f g(x)(x)dx绝对收敛，则Eg(X)存在，且XX若X,Y)是二维连续型随机变量，其密度函数为f(x,y)，ZgX,Y)g(xyf(x,y)dxdyEgX,Y EZEg(X,Y)g(x,y)f(x,X【例4.4】cosx,2f(x)=2，求X【例4.5】设随机变0xf(x)=2x,1xX，求EXf(x xEmin(X,1)X【4.6】已(1x2【例4.712y,0yx2设X,Y)的密度函数为f(xyEX,EY,EXY,E(X2Y2，3、随机变量数学期望的性质（1）设CE(C)CX)EX（3）X与YE(k1Xk2Yk1EXk2EY（4）X与Y相互独立，则有EXY)EXEY【4.8n12n,k张卡片，求所得号Xiji,j1,n;n2独立同分布，EXij2【例4.9】设随机变XXXY的数学期望EY Xn二、随机变量的方差1、随机变量方差的定义X是一个随机变量，如果EXXXXY的数学期望EY Xn二、随机变量的方差1、随机变量方差的定义X是一个随机变量，如果EXEX)2EXEX)2XDXDXEXEX)2，称DX为标准差或均方差.2、方差的计算（1）定XP{Xxipi，iDXE(XEX)2(xEX)2iiiDXE(XEX)2 (xEX)2f（2）公DXEX2(EX)若X若X0若XY 【例4.10】假设随机变 在区X12]D(Y) X【例4.11】设随机变0xf(x)=2x,1x，求3、方差的性质设CDC0D(CX)C2；（3）XCD(XCDX由性质（2（3）可得D(aXba2DX（ab为任意常数DXYDX（4）X,Y【4.12X和Y42，则随机变量3X（）4、常用随机变量的数学期望和方差（1）01PXipi(1p)1i(i0,1)~01EXp,DXp(14、常用随机变量的数学期望和方差（1）01PXipi(1p)1i(i0,1)~01EXp,DXp(1（2）二项分X~B(n,X~B(n,pPXkCk(1 (k0,1,,n则其数学期望EXnpDXnp(1（３）泊松分布X~P(p{Xk}01,XX~P()其中0X服从参数为EXDX（４）均匀分布X~U，axXf(x)b X服从[a,bX~U(a，b)(ba2EX（５）指数分布X~E(x一个随机变 X，如果其密度函数 f(x)X~E()X服从参数为11数学期望EX ，方DX ~N(，2（６）正态分布( (x一个连续型随机变量X，如果其密度函数为f(x) e2、0X和2X~N(，2)EXDX【例4.13（1）X~E(PXDX ,E(2XeX~N(，2)EXDX【例4.13（1）X~E(PXDX ,E(2XeX) 则PXEX2 （2）X~P(1xxf(x)则D(2X1) 【4.14】随机变Xp 【例4.15】p功次数的标准差的值最大，其最大值 的，其概率均为2/5,求途中遇到红灯次数的数学期望与方差。1cos0xXf(x【例4.17】设随机变22X4次，用Y表示观察值大于的次数，求31【例4.18】设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0，方差 的正态分布，2X的方差三、随机变量的矩EX原点矩，记为2、k阶中心矩如果E(XEX (k)E(XEXXk3、k阶混合中心矩如果E[(XEXk(YEY)l](k,l1, kl阶混合中心矩四、协方差和相关系数1、协方（1）定义(X，YEXEYE(XEX)(YEY)则称其为随机变量X与Y的协方差，记作covX,Ycov(X,Y)E(XEX)(YEY（2）计算公X和YcovX,Y)EXYxcov(X,Y)E(XEX)(YEY（2）计算公X和YcovX,Y)EXYx,y0x20y1上服从均匀4.19】假设二维随机变量XY在矩形【XXXXUV，求U和V求cov(U,V【例4.20】箱内有6个球，其中红、白、黑球分别为1，2，3个，现从箱中随机取出两个球，,Y【例4.21x，0xy设X,Y)的密度函数为f(xy，求cov(X,Y（3）性质cov(X,Y)cov(Y,X)cov(X,X)DXcov(aX,bYabcov(X,Y)，其中abcov(X,C 其中Ccov(X1X2,Y)cov(X1,Y)cov(X2,Yco（Xn1n【例4.22】X,X,X(n2)N(0,2XX ni记YiXiX,i1,2,（II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn2、相关系（1）定义(X，YX和Ycov(X，Y) X与Y的（线性）相关系数（2）相关系数的性质11X与Y以概率1a和b2PYaXb1，当a01；a0时 ~N(0,1YX211X与Y以概率1a和b2PYaXb1，当a01；a0时 ~N(0,1YX2【例4.23】【例4.24某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件，现从中随i 【例4.25设二维随机变量(X，Y)在单位圆G与Y1内服从均匀分布，求 nX和Y【例4.26将一枚硬币重复X和Y（）12（A）-NN1,4且相关系数【例4.27设随机变量1，则，）APY2X1CPY2X11（3）不相关的四个等价叙述：BPY2X1D1EXYEXEYD(XY)DX13cov(X，Y)024X与Y（4）不相关与独立的关系独立不相关，相关12若X，Y)~N(,; X，Y) 的，即X，Y独立【例4.28X与Y0，则DXYDXDYX与）X、Y都服从正态分布且不相关，则它们【例4.29）（B）X,Y一定服从二维正态分布（D）XY（A）（C）f(x)1ex,x（B）X,Y一定服从二维正态分布（D）XY（A）（C）f(x)1ex,xX【例4.30】设随机变2（1）XEXDX（2）XXX（3）XX【4.31】已知随机变量X,YX和Y1Z2X N(1,32N(0,42X与YE(ZD(Z)XZ（3）XZ第五讲大数定律和中心极限定理一、切比雪夫不等式XEX)DX)2都存在，则对任意0P{XE(X)}D(XPXE(X)1第五讲大数定律和中心极限定理一、切比雪夫不等式XEX)DX)2都存在，则对任意0P{XE(X)}D(XPXE(X)1DX这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件概率的下限估计。E(X【例5.1设随机变量X的方差是2则根据切比雪夫不等式估计P{XE(X)2} X【例5.2】设随机变 p{2X20} X和Y的数学期望分别为-22，X与Y【例5.3】0.56} 二、大数定律1、依概率收敛设X1,X2,有Xn 是一个随机变量序列，a是一个常数，如果对于任意给定的正数Xn依概率收敛于XnXnX1,2、切比雪夫大数定律（一般情形X1,X2XnEX1,EXn DX1,,DXnMDXnM,n1, 则对于任意给定的正数11 Xknknk3、独立同分布的切比雪夫大数定律（特殊情形X1DXn2（n1Xn）则对于任意给定的正数，总Xnn11Xkliknknk4、贝努X1DXn2（n1Xn）则对于任意给定的正数，总Xnn11Xkliknknk4、贝努利大数定律PAp，在nAfn(A)，则对于任意正数5、辛钦大数定律fn(A)相互独立，服从相同的分布，具有数学期望EXnX1,Xnn（n1,）则对于任意给定的正数nk5.4】X1,X2,,Xn相互独立，且都服从参数为2的指数分布，则当nn1nXYn2.三、中心极限定理1、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理Xn服从参数为n和pXn~B(n,p)(0p1,n1,) Xnnpxli则对于任意实 ，np(12、列维-林德伯格中心极限定X1,XnDXn2（n1x）则对于任意实 ，Xnkk【例5.5】X1,X2,,XnSnX1X2Xn德柏格Lindberg中心极限定理,当n充分大时,Sn近似服从正态分布,X1,X2,（）（A）有相同的数学期望（D）服从同一离散型分布【例5.6】XX1,X2,（）（A）有相同的数学期望（D）服从同一离散型分布【例5.6】X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为(1)指数分布，记(x)为标准正态分布函数，则]nnXXnx}(x)（B）limP{x}(x)nnXiXx}x}（C）limn【例5.7】生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,箱,才能保障不超载的概率大于0.977.（Φ（2）=0.977,其中第六讲数理统计的基本概一、总体和样本1、总体：XX2、个体：总体中的每个元素称为个体，每个个体是一个实数3、总体容量：总体中个体的数量称为总体的容量。容量为有限的总体称为有限总体，容量4、简单随第六讲数理统计的基本概一、总体和样本1、总体：XX2、个体：总体中的每个元素称为个体，每个个体是一个实数3、总体容量：总体中个体的数量称为总体的容量。容量为有限的总体称为有限总体，容量4、简单随机样本：XX1X2,Xn之间是相互独X1X2,XnXn称为样本容量。它们的观测值x1,x2,,xn称为样本观测值，简称为样本值。5、样本的联合分布（1）联合分布函数XF(xX1,X2 Xn X1,X2Xnn ,tn)F(ti),tiR(i1,,（2）联合概率密度函 的概率密度函数为f(x)，XX1,X2Xnnf(t1,t2 ,tn)f(ti),tiR(i1,,6.1】X1X2,XnN(,2的简单随机样本，请写出样本的（3）样本的经验分布函数X1,X2Xn1F(x)xX X中小于或等于x的个数）n12nnx1,xnF(x)1x中小于或等于x的个数,,n nnX1X2X3X的样本，其样本值为：1，2，3，【例6.2X1,X2,X3，X4是来自总体【例6.36、统计量及抽样分,tn是一个不含未知数的nX1,X2Xn是来自总体Xn的函数Tg(X1,X2,Xn为一个统计量。设x1x2X1X2X3X的样本，其样本值为：1，2，3，【例6.2X1,X2,X3，X4是来自总体【例6.36、统计量及抽样分,tn是一个不含未知数的nX1,X2Xn是来自总体Xn的函数Tg(X1,X2,Xn为一个统计量。设x1x2,xnX1,X2xn)为统计量Tg(X1,X2相应于X1,X2Xng(x1,x2,Xn二、常用的统计量XnXx1x2,xnX1,X2X1,X2Xn1nn1nn xXX1、样本均若总体的期望、方差都存在，即EX，DX nEXDXns2n2(XX(x2、样本方差nininn11((xSXsnniiEXDXES22【例6.4】[093]设X1，X2,„Xn是来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本 和X分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS2，则ET XN(μ1σ2,总体YN(μ2σ2【例6.5】[043和Y1,Y22YX1,X2,1和则22(YjY)(XiXE nn nn1n1nXxkk13、样本k阶原点矩kk和Y1,Y22YX1,X2,1和则22(YjY)(XiXE nn nn1n1nXxkk13、样本k阶原点矩kkinn1n1n((xX)k，观测值为k14、样本k阶中心Bkiki(k1 存在，则当nkX的kEXn1n,k1,X A,kikmax(X1,X,XnX(1)minX1,X2X,Xn)5、顺序统计XF(x)，X1,X2XnX max(X1,X,Xn)和X(1)min(X1,X2 ,Xn)的分布函数分别为X (x)Pmax,),ma12n (x)Pmin,)x1,mi12n三、常用统计分布1、21X1,Xn相互独立，都服从标准正态分布N(0,1) X X2X n nxx ennf(x)x022(2x22~(n),~(n)2222221 2 12~(nn22212 ~2(nE2(nnD2(n22~(n),~(n)2222221 2 12~(nn22212 ~2(nE2(nnD2(n3上22~(n)(02p(n)(n)(n(n)的上分位点。2222N02【例6.6】X1X2X3X42.则当a ,b 时，统计量X服从X1234ab分布，其自由度为 2t分布（1）典型模式设随机变量X~N(01)，Y~2(n)，且相互独立，则随机变量t 服从自由Yn度为n的t分布（学生氏t分布，记作 ~(n -x2nn(2（2）1tf(x)是偶函数且有limf(x) ，即当 充分大时2tN(0,1)（3）上分位点t设t~tn），对于任给定的(01)tn)的点t(n)为t(n)的上分位点由于t(n分布的概率密度是偶函数，因此t1(nt【例6.7设随机变量XY相互独立且都服从于N032X,X ,X9X1X2 X9Y,Y 9Y2Y2 Y 9从 由于t(n分布的概率密度是偶函数，因此t1(nt【例6.7设随机变量XY相互独立且都服从于N032X,X ,X9X1X2 X9Y,Y 9Y2Y2 Y 9从 分布，参数 3F分布（1）典型模mX,YX~2(m),Y~2(n)度为(mnFF~F(m,n)Ynnmm21m22,x xx (x)mnnfnn2 2 x（2）性质1F~F(mn)~F(nm)F（3）上分位点FmF~F(m,n)，对于任给定的(01) (m,n) F(n,N022X,X 【例6.8】设总,XX2X2 X样本，则随机变量Y 2 X2X22 1~t(n)(n1),Y X6.9】）（A）Y~2(n)（B）Y~2(n1)（C）Y~F(n,1)（D）Y~F(1,n)四、正态总体的抽样分布1、一个正态总体设X1X2,,Xn)X~N(2)XS2X（1）X~N )，U~Nnnn(XiX(n1)S~2(n1) （2）XS2X （3四、正态总体的抽样分布1、一个正态总体设X1X2,,Xn)X~N(2)XS2X（1）X~N )，U~Nnnn(XiX(n1)S~2(n1) （2）XS2X （3）t~t(nn1（4）(X)~2 i22、两个正态总X~N(,),Y~N(,2X,X,,XXX,2 12 X和Y2(XY)(2~N（1）XY~N12，U 1 2 （2）如果 22 (XY)(1~tnT Swnn (n1)S(n1)S2S1 2wn1n2(X2n （3）F22~F(n1,n2n2(Y1 j2S（4）F~F(n11,n2 2S 【例6.10】X1,X2,,Xn2)N(0,1的简单随机样本，X为样本方差，则（（B）nS2~2（A）nX~(n1)(n1)X~F(1,n~t(n1nS2iX【例6.11设X1,X2,,XnN(,2nnnn1n【例6.10】X1,X2,,Xn2)N(0,1的简单随机样本，X为样本方差，则（（B）nS2~2（A）nX~(n1)(n1)X~F(1,n~t(n1nS2iX【例6.11设X1,X2,,XnN(,2nnnn1n((X (2X记SSXS，，，21ii3inn1X)2则服从自由度为n1的tS[]4inXX S1 nXX（A）t（B）t（C）t（D）tS2 nS3 S4 Nu,2，X,,【例6.12】Xn n1nn1(XX)2，则E(XS2) X，S2Xnin1X1, ,Xn是总体为N(,)的简单随机样本.记 Xi2【例6.13nn1Snn1(XX)2，TX2Si（1）（2）0,1DT第七讲参数估计与假设检一、点估计1、点估计的概念所谓的点估计就是构造一个适当的统计量ˆ(X1X2,Xn，用ˆ个统计量ˆ就称为的估计量.若有样本的一组观察值(x1,x2xn第七讲参数估计与假设检一、点估计1、点估计的概念所谓的点估计就是构造一个适当的统计量ˆ(X1X2,Xn，用ˆ个统计量ˆ就称为的估计量.若有样本的一组观察值(x1,x2xnˆ可得估计值ˆ(x1,x2,xn2、点估计的方法（1）矩估计法11900K·Pearson提出了一个替换原则：用样本矩去替换总体矩.Xk（k为正整数）阶原点矩存在，则对任意给定的0，当样本容量n1nXkEXlimi即样本的k1收敛于总体的k阶原点矩n1 k矩法的基本思想就是用样本的kAkX作为总体的knn1nEXkAXEXkk2kik 对于不同的k可以得到若干个等式，从中求得参 的估计 是样本X1X2,,Xn的函数，称为参数的矩估计量.若给定一个样本观测值(x1,x2,,xn)，代入ˆ可得的一个矩估计值.2阶原点矩即期望。令XEX【例7.1】XX0123P2(111其中(0 )是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,2求的矩估计X【例7.2】设总若x若xf(x;)而X1,X2 ,1其中(0 )是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,2求的矩估计X【例7.2】设总若x若xf(x;)而X1,X2 ,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为 ,xf(x)，其中参数(0)未知，X1【例7.3】设总X0,其是来自总 的简单随机样本，求参数的矩估计量X2,„X（2）最大似然估计法1XPXtip(ti;),i1,,其中xnXx1x2X1X2XnnL()Lx1,x2xnx1,如果L()maxL(x1,x2,与xn，称为未知参数的最大似然估计值，相应的统计量X1X2(x1,x2,Xn为的最大似然估计量2Xfx;，其中XX,X nx1,xnnL()Lx1,x2xn;fxi;为样xnx1,如果L()maxL()这样的与x1x2xnxn，称为未知参数的最大似然估计值，相应的统计量X1X2(x1,x2,Xn为的最大似然估计量3nL(x1 m,Pix(1 ,nL(x1 m, 3nL(x1 m,Pix(1 ,nL(x1 m, ,②取对数lnLln③对,i ,mi0i则最大似然估计常在的边界点上达到。【例7.4】X其中(012求的最大似然估计值X3,1303,12,xf(x)，其中参数(0)未知，X1X【例7.5】设总0,其是来自总 的简单随机样本，求参数的最大似然估计X2,„X2e2(x),xf(x;)X【例7.6】[20001]设某种元件的使用寿x其中0为未知参数，又设（3）估计量的评选标准x1x2,xnX的一组样本观测值，求参数1如果地估计量X1,X,Xn的数学期望E存在，且对于任意E，则称是未知参数X0