工程力学-静力学习题课

第一篇静力学工程力学习题讨论课习题讨论课第一篇静力学习题讨论课工程力学第1类习题画受力图第1类习题画受力图(1)方法1

A处为固定铰链支座，解除约束后，有一个方向未知的约束力，这一约束力可以分解为水平和铅垂方向的两个分力FAx

FAy

；

B处为辊轴支座，其约束力FB的作用线垂直于支承面。方法2第1类习题画受力图(1)应用三力汇交的平衡原理：

刚体ADCB在A处的一个方向未知的约束力FA、B处的一个方向已知的约束力FB、主动力F作用下处于平衡，因而三个力的作用线必然汇交于一点C。第1类习题画受力图(2)方法1

A处为固定铰链支座，解除约束后，有一个方向未知的约束力，这一约束力可以分解为水平和铅垂方向的两个分力FAx

FAy

；

B处为辊轴支座，其约束力FB的作用线垂直于支承面。方法2第1类习题画受力图(2)应用三力汇交的平衡原理：

刚体ACB在A处的一个方向未知的约束力FA、B处的一个方向已知的约束力FB、主动力F作用下处于平衡，因而三个力的作用线必然汇交于一点B。第1类习题画受力图(3)

本例要确定棘轮的受力。棘轮在A处的一个方向未知的约束力FA、O处的一个方向已知的约束力FO、主动力W作用下处于平衡。由于FA、FO的作用线都不能确定，所以不能应用三力汇交的平衡原理。

但是，构件O1A在O1、A二处各有一个方向未知的约束力，根据二力平衡原理，为了保持构件O1A平衡这两个力的作用线必须沿着O1、A

的连线方向。第1类习题画受力图(3)

但是，构件O1A在O1A二处各有一个方向未知的约束力，根据二力平衡原理，为了保持构件O1A平衡这两个力的作用线必须沿着O1、A

的连线方向。O1A

分析了构件O1A的受力后，根据作用与反作用定律即确定棘轮上A

处的约束力F‘A的方向。FAFO1

因为C、D、E三处均为铰链约束，所以这三处都有一个方向未知的约束力。

对于DE杆，D、E中间没有外力作用，所以是二力杆，于是可以画出其受力图。

对于CE杆，C、E二处虽然是铰链约束，但C、E之间有外力F作用，所以不是二力杆。

作用在CE杆的C、E二处约束力，方向可以根据三力平衡汇交确定。第1类习题画受力图(4)

这里，要注意DE杆与CE杆在E处的受力FE和F´E互为作用与反作用。第1类习题画受力图(4)

对于CD杆，D、C二处的受力，可以，所以根据CE和DE杆在C、D二处的受力以及作用与反作用原理确定。B处为滑动轴承，其约束力FB垂直于CD的轴线方向，即水平方向，A处为止推轴承，该处除了水平约束力FAx外，还有铅垂方向的约束力FAy

。于是可以画出其受力图。第1类习题画受力图(4)首先判断有没有二力杆；然后判断有没有三力汇交；注意：根据约束性质确定约束力

正确应用作用与反作用原理第1类习题画受力图(5)第1类习题画受力图(6)

受力系统如图所示。AB在梁上作用一分布力q（单位：kN/m）。CD梁上作用一集中力F,A端为固定端，自重不计。试作出AB、CD的受力图。FF

由于BC为二力杆，故NBC

为二力杆BC对AB梁的约束反力。BC杆的受力图如图（b）所示BC（b）

再分别取AB、CD为研究对象，作分离体。在AB梁上，因A端为固定端约束，故有FAx、FAy、MA三个约束反力ABCF第1类习题画受力图(6)第1类习题画受力图(7)

如图所示，重物重为P,用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试画出杆AB和BC以及滑轮B的受力图。ABDCP【解】：ABDCPFCBBC2.杆BC的受力图。ABFAB1.杆AB的受力图。BFBCFBAF2F14.滑轮B(带销钉）的受力图3.滑轮B(不带销钉）的受力图。FBxF2F1FByD第1类习题画受力图(7)第一篇静力学习题讨论课第2类习题受力分析与平衡原理的应用

图示为一绳索拔桩装置。绳索的E、C两点拴在架子上，点B与拴在桩A上的绳索AB连接，在点D加一铅垂向下的力F，AB可视为铅垂，DB可视为水平。已知α=0.1rad，力F=800N。试求绳AB中产生的拔桩力（当很小时，tanα≈α

）。解：1.选择平衡对象－B点，只有未知力；D点，既有未知力又有已知力，但是没有所要求的拔桩力。第2类习题受力分析与平衡原理的应用2.先考虑D点的平衡，求出FDB；然后再考虑B点的平衡确定拔桩力FAB根据D点的平衡，FAB

=100F

=80kN。

根据B点的平衡，第2类习题受力分析与平衡原理的应用第一篇静力学习题讨论课第3类习题力矩的概念与计算试求图中所示的力F对点A的力矩解：根据力矩矢量形式的定义有B

其中：rAB为位矢，F为力矢由下式确定rAB于是，得到第3类习题力矩的概念与计算第一篇静力学习题讨论课第4类习题力系的简化AB第4类习题力系的简化

平行力（F,2F）间距为d，只有合力无合力偶。试求其合力。xC解：假设合力为FR，作用C点。合力FR作用线与2F力作用线之间的距离为x。

因为简化后只有一个合力为FR，所以，力F和力2F

对C点简化时所得力偶的力偶矩之和等于零。于是，有FR第一篇静力学习题讨论课第5类习题力系简化在受力分析中的应用

水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q，梁长l。试求合力作用线的位置。第5类习题力系简化在受力分析中的应用【解】在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为q‘dx，其中q’为该处的载荷集度，由相似三角形关系可知：ABqxlxABqxdxhlF因此分布载荷的合力大小一定记牢

水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q，梁长l。试求合力作用线的位置。第5类习题力系简化在受力分析中的应用xABqxdxhlF因此分布载荷的合力大小设合力F的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有将q'和F的值代入上式，得合力作用线的位置一定记牢第一篇静力学习题讨论课第6类习题单个刚体的平衡问题

试求图示两外伸梁的约束反力FRA、FRB，其中FP=10kN，FP1=20kN，q=20kN/m，d=0.8m。第6类习题单个刚体的平衡问题

解：1.选择平衡对象

以解除约束后的ABC梁作为平衡对象。2.根据约束性质分析约束力

A处为固定铰链，有一个方向不确定的约束力，这个约束力可以分解为铅垂方向与水平方向的梁个分力FAy和FAx

；B处为辊轴支座，有一个铅垂方向的约束力，指向是未知的，可以假设为向上的FB

。3.应用平衡方程确定未知力FAyFBFAx

试求图示两外伸梁的约束反力FRA、FRB，其中FP=10kN，FP1=20kN，q=20kN/m，d=0.8m。第6类习题单个刚体的平衡问题FAyFBFAx解：FB=21kN（↑）FA

y=15kN（↑）

试求图示两外伸梁的约束反力FRA、FRB，其中FP=10kN，FP1=20kN，q=20kN/m，d=0.8m。第6类习题单个刚体的平衡问题计算结果的校核FAyFBFAx

试求图示两外伸梁的约束反力FRA、FRB，其中FP=10kN，FP1=20kN，q=20kN/m，d=0.8m。第6类习题单个刚体的平衡问题第一篇静力学习题讨论课第7类习题简单刚体系统的平衡问题

试求图示静定梁在A、B、C三处的全部约束力。已知d、q和M。注意比较和讨论图a、c两梁的约束力。

解：图中所示的各梁，都是由两个刚体组成的刚体系统。只考虑整体平衡，无法确定全部未知约束力，因而必须将系统拆开，选择合适的平衡对象，才能确定全部未知约束力。第7类习题简单刚体系统的平衡问题dddd

试求图示静定梁在A、B、C三处的全部约束力。已知d、q和M。注意比较和讨论图a、c两梁的约束力。第7类习题简单刚体系统的平衡问题F´ByF´BxF´BxF´By

解：考察右边梁的平衡：

ΣFx=0，FBx=0

ΣMB=0，考察左边梁的平衡：ΣFx=0，FAx=0ΣFy=0，ΣFy=0，ΣMA=0，MA=3qd2。

试求图示静定梁在A、B、C三处的全部约束力。已知d、q和M。注意比较和讨论图a、c两梁的约束力。第7类习题简单刚体系统的平衡问题第一篇静力学习题讨论课第8类习题桁架结构与考虑摩擦时的平衡问题工程力学学习指导与解题指南

预习第三篇运动学和动力学习题课补充内容刚体静力学专题刚体静力学专题（补充内容）

平面静定桁架的静力学分析

摩檫与考虑摩檫时的平衡问题

综合应用平面静定桁架的静力学分析1.桁架及其工程应用

由若干个杆件彼此在两端铰接而成的一种结构,受力后其几何形状不发生改变，如:桥梁、井架、高压电线杆、起重机架等，称之为桁架（truss）。在工程中，屋架、桥架、电视塔、输电线塔等结构均为桁架结构。桥梁房屋建筑通讯国防机械

桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不变的结构。桁架中杆件铰链接头称为节点。所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。

桁架的优点是：每根杆件只承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节省材料，减轻结构的自重。

为简化桁架计算，工程实际中采用以下几个假设：

（1）桁架中各杆件都是直杆；（2）杆件用光滑铰链连接或可以简化为铰链连接；（3）所受外力都作用在桁架平面内且都作用在节点上；（4）杆件自重不计，或平均分配在杆件两端的节点上。

据此假设，桁架中每根杆件都可以视为二力杆

2.桁架力学模型

工程上把几根直杆连接的地方称为节点榫(sun)接

木桁架节点

钢桁架节点焊接铆接

钢筋混凝土桁架节点刚接各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心简化模型：各杆件都用光滑铰链相连接所有外力，包括荷载及支座约束力都作用在节点上

本节只研究平面静定桁架，如图所示。以基本三角形ABC为基础，每增加一个节点，需要增加两根轴线不平行的杆件，依次类推所构成的桁架称为平面简单桁架。如果两支承点是简支的，很容易证明此桁架是静定的。

节点杆件

桁架的计算就是二力杆内力的计算。如果桁架是平衡的，则假想地截取桁架的一部分为分离体也是平衡的。若分离体只包含一个节点，称为节点法(methodofpins)，为平面汇交力系的平衡；若分离体包含两个以上的节点，称为截面法(methodofsections)

，为平面任意力系的平衡。应注意：（1）首先判断桁架是否静定；（2）除了悬臂桁架外一般要先求支座反力；（3）所有杆件的内力先设为拉力(tensileforce)，如结果为负，则该杆为压力(compressive）；（4）用节点法时，节点上的未知力一般不能多于两个，用截面法时，节点上的总未知力一般不能多于三个，否则不能全部解出。（5）若只要求桁架中某几个杆件的内力时，可以适当地选取一截面截取某一部分为分离体，选择适当的力矩方程，可较快地求得某些杆的内力。(a)(b)摩檫与考虑摩檫时的平衡问题摩擦按物体间的运动状态分滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦1.滑动摩檫定义：两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩擦力。

支承面对物体的约束力除了法向约束力FN外还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力即静滑动摩擦力，显然有Fs=F，因此静摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为最大静摩擦力(maximumstaticfrictionforce)

，此时物体处于平衡的临界状态。当主动力F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。式中fs称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验来确定，主要与材料和接触面的粗糙度有关。

当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力（dynamicfrictionforce)，以Fd

表示，大小可用下式计算。式中fd是动摩擦因数，通常情况下，2.动滑动摩擦力库仑定律3.摩擦角和自锁现象

摩擦角

当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力FN和切向约束力Fs，这两个力的合力称为全约束力FR。

它的作用线与接触处的公法线成一偏角j,如图所示，当静摩擦力达最大时，j

也达到最大值jf,称jf为摩擦角（angleoffriction）。

当物体的滑动趋势方向改变时,全约束反力作用线的方位也随之改变，当物体在支承面内有各个方向滑动的趋势时,则全反力的最大值的作用线将画出一个以接触点为顶点的圆锥面----摩擦锥（coneofstaticfriction）。

自锁现象（self-lock）

由于全约束力的作用线与接触处公法线的夹角j不能大于摩擦角，即变化范围为0

j

jf，因此可得：

如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线与公法线的夹角q<jf，则无论这个力多么大，物体必保持静止，这种现象称为自锁现象。

反之如果q>jf，则无论这个力多么小，物体必不能保持平衡。利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法测定摩擦因数。摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角q

,即下面的螺旋千斤顶就利用了自锁的概念。4.考虑滑动摩擦时的平衡问题

在受力分析和列平衡方程时要将摩擦力考虑在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程0

Fs

fsFN，因此有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。

摩擦力的方向在临界状态下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，只有摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向。求解时，根据具体的问题采用解析法或几何法求解5.滚动摩阻的概念

由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的力学模型来分析就存在问题。即无论水平力F

多么小，此物体均不能平衡，因对点A的矩的平衡方程不满足，即

出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，有一个接触面，如图所示。

这是与实际情况不符的，说明此力学模型有缺陷，需要修正。此力系向A点简化或

与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩Mf随主动力F的增大而增大；但有一个最大值Mmax,即且最大滑动摩阻力偶矩

上式即是滚动摩阻定律，d称为滚动摩阻系数（coefficientofrollingfriction），具有长度的量纲

，单位一般用mm。与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关。与滚子的半径无关。滚阻系数的物理意义如下由力的平移定理与比较得

一般情况下，相对滑动摩擦而言，由于滚阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽略不计。6.摩檫与考虑摩檫时的平衡问题总结摩擦按物体间的运动状态分滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦摩擦角摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角q摩擦力的方向在临界状态下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，只有摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向最大滑动摩阻力偶矩

如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。例题1节点法

先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程aaaaFCACDBEFFE联立求解得

FAx=－2kN(与假定向相反)FAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx例题1解答【解】：取节点A，受力分析如图。由平衡方程解得FAxFAyAFACFAFFFEFFAFFCF解得取节点F，受力分析如图。由平衡方程FCFFCAFCCFCDFCE取节点C，受力分析如图。由平衡方程解得FDEFDCDFDB解得取节点D，受力分析如图。由平衡方程FBBFBDFBE解得取节点B，受力分析如图。由平衡方程负号说明与假定方向相反

如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。例题1例题1解答【解】：aaaaFCACDBEFFE截面法aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx

先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程联立求解得

FAx=－2kN(与假定向相反)FAy=2kN

FB=2kN由平衡方程

作一截面m-m将三杆截断，取左部分为分离体，受力分析如图。联立求解得FFEFCDaFCACFFAyFAxDEFCEmaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAxm负号说明与假定方向相反

小物体A重P=10N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4N的力，q

=30°，试求作用在物体上的摩擦力。取物块A为研究对象，受力分析如图。列平衡方程。qAF联立求解得最大静摩擦力所以作用在物体上的摩擦力为因为yAxqPFFNFs例题2例题2解答【解】：

一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h=20cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数fs=0.25。问作用于支架的主动力F的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。FAFNBFBFNAABCFxxyhOFBhdBAFx平衡方程为取支架为研究对象,受力分析如图。（1）解析法例题3例题3解答【解】：联立求解得补充方程解得（2）几何法FDFRBFRAABCx

fh1h2

f

由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。支架受力分析如图所示。由几何关系得

宽a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是fs，在柜的侧面施加水平向右的力F，求柜发生运动时所需推力F的最小值。hCabFP例题4yABCxFPFBFAFNBFNA1.假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。取矩形柜为研究对象,受力分析如图。联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力补充方程列平衡方程例题4解答【解】：2.假设矩形柜不滑动但将绕B

翻倒。柜绕B

翻倒条件：

FNA=0使柜翻倒的最小推力为列平衡方程ABCxFPFBFAFNBFNA解得综上所述使柜发生运动所需的最小推力为

长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为P的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角q

。qlaABP例题5以梯子AB为研究对象，人的位置用距离a表示，梯子的受力如图。使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程：yqlaABxFsFNAPFNB同时满足物理条件联立解之得因0≤a≤l，当a=l时，上式左边达到最大值。所以或即为所求例题5解答【解】：

匀质轮子的重量P=3kN，半径r=0.3m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成q=30°的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数δ=0.05cm，试求力FH的大小。取轮子为研究对象,受力分析如图。由平衡方程联立求解补充方程qFHArOqFHAOqMmaxPFsFNyx例题6**例题6解答【解】：综合应用1.平衡方程的应用

图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212N，方向与水平面成q=45

角。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24cm，

DE=6cm

点E在铅直线DA上，又B

，C

，D都是光滑铰链，机构的自重不计。例题1Fq24cm6cmACBDO(a)E例题1解答【解】：ABD(b)

OqFFBFDEJFDKFBFIq

(c)1.取制动蹬ABD作为研究对象，并画出受力图。2.作出相应的力三角形。几何法3.由图b几何关系得：4.由力三角形图c可得：解析法OqFFD

xyFBABD1.取制动蹬ABD作为研究对象。建立直角坐标系Oxy

。2.画出受力图，并由力的可传性化为汇交力系。3.列出平衡方程：联立求解得:已知：

利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重P=20kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B

。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。例题230°BPAC30°

a

例题2解答【解】：yFBCFFABPx30°30°

b

B1.取滑轮B带轴销作为研究对象。建立直角坐标系Oxy

。2.画出受力图。3.列出平衡方程：联立求解得

约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。（与假定方向相反）

外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。例题3F1ABl2l1llF2M例题3解答【解】：取梁为研究对象，受力分析如图。建立直角坐标系xAy，由平衡方程解方程F1ABl2l1llF2MFAxABxyFAyF1FByF2M

如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。例题4ABlqFM例题4解答【解】：2.由平衡方程3.解方程可得1.取梁为研究对象，受力分析如图ABlqFMqABxyMFFAyMAlFAx

一种车载式起重机，车重P1=26kN，起重机伸臂重P2=4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重P3

=31kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。例题5P2FAP1P3PFBAB3.0m2.5m1.8m2.0m例题5解答【解】：1.取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。列平衡方程。PP2FAP1P3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m不翻倒的条件是：FA≥0，故最大起吊重量为Pmax=7.5kN联立求解

所以由上式可得解题须知:

对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整体的外约束反力不超过4个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的哪一部分。对于连续梁，应先拆开受力最少的哪一部分，不应先整体研究。拆开物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。

定