第一章 三角形的证明 章末检测　2023-2024学年北师大版数学八年级下册

-2024学年北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明章末检测一、选择题1．用反证法证明“若a+3>b+3，则a>b”时，应先假设（）A．a≤b B．a<b C．a=b D．a≠b2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（）①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°4．如图所示，在△ABC中，，，DE为AB的中垂线，，则CD的长是（）A．3 B．4 C．6 D．85．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8 B．7 C．6 D．57．下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）A． B．C． D．8．如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．129．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等二、填空题11．如图，在Rt△ABC和Rt△EDF中，BC=DF，在不添加任何辅助线的情况下，小明想利用HL的方法判定Rt△ABC和Rt△EDF全等，则还要添加的一个条件是12．已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=AC，则等腰△ABC的顶角度数为．13．如图，中，，点为上一点，且．将沿直线折叠后，点落在上的点处，若，则的度数为．14．如图，平分，于点，点在射线上，且．若，，，则的长为．15．如图，射线是的平分线，D是射线上一点，于点P，．若Q是射线上一点，，则的面积是．三、解答题16．如图，于点，于点，．求证：．17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.（1）求∠A的度数；（2）若BE＝4，求AE的长.18．已知．（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）①作的平分线AE；②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；（2）在（1）的条件下线段AP与AQ有什么数量关系，并说明理由．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．（1）求证：△CDM是等腰三角形．（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．20．如图，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由；（2）点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，并说明理由；（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．21．如图，在中，，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；（2）连接AP，求证：AP平分；（3）设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示）

参考答案1．D2．B3．C4．C5．C6．C7．D8．B9．D10．D11．AB=ED（不唯一）12．90°或30°或150°13．14．615．616．证明：，又在和中，．．17．（1）解：∵ED垂直平分BC，∴EC=EB.∴∠ECD=∠B=30°.又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB=30°.∴∠A=180°-(∠B+∠ACE+∠ECB)=90°.（2）解：∵ED垂直平分BC，∴EC=EB=4.由（1）知，∠A＝90°，∠ACE＝30°，∴AE＝EC＝218．（1）解：①如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于点H、G，再分别以H、G为圆心，以大于HG长的一半为半径画弧，二者交于点O，过点O作射线AE即为所求；②如图所示，分别以A、F为圆心，以大于AF长的一半为半画弧，二者分别交于J、K，连接JK分别交AM于P，AN于Q，AE于T；（2）解：AP=AQ，理由如下：∵JK是线段AF的垂线平分线，∴∠PTA=∠QTA=90°，∵AE是∠MAN的角平分线，∴∠MAE=∠NAE，又∵AT=AT，∴△ATP≌△ATQ（ASA），∴AP=AQ．19．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠CBD+∠CDB=90°，∠ABD＋∠BME=90°，∵∠BME=∠CMD，∴∠ABD+∠CMD=90°，∴∠CDB=∠CMD，∴CM=CD，∴△CDM是等腰三角形；（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，∴DC=DF，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC=，∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，∴，即，解得CD=DF=3，由（1）知：CM=CD，∴CM=3，即CM的长度为3.20．（1）解：△ACP是直角三角形，理由为：

∵PN∥BC，

∴∠α＝∠NPM＝30°，

又∵∠ACB＝120°，

∴∠ACP＝120°−30°＝90°，

∴△ACP是直角三角形；（2）解：当AP=8时，△ADP≌△BPC，

理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，

∴∠A＝∠B＝30°，

又∵∠APC是△BPC的一个外角，

∴∠APC＝∠B＋∠α＝30°＋∠α，

∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD，

∴∠α＝∠APD，

又∵AP＝BC＝8，

∴△ADP≌△BPC（ASA）；（3）解：△PCD的形状可以是等腰三角形，理由如下：

∵∠PCD＝120°−α，∠CPD＝30°，

①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝（180°−30°）÷2＝75°，即120°−α＝75°，

∴∠α＝45°；

②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°−α＝30°，

∴α＝90°；

③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，

∴∠CDP＝∠CPD＝30°，

∴∠PCD＝180°−2×30°＝120°，

即120°−α＝120°，

∴α＝0°，

此时点P与点B重合，点D和A重合，

综合所述：当α＝45°或90°或0