【概率论在中学数学的应用探究7700字（论文）】

概率论在中学数学的应用研究摘要：在中考和高考的考试大纲中，都有着概率的身影，概率与许多知识点都有交汇。因此对于概率在中学的应用将会从探究概率在中学数学的分布、概率中的事件分类以及概率的考向等方面进行分析。概率在考试当中的难度水平处于中等，但是遇到结合考察时也有很大难度，故而掌握概率在中学数学的应用不可或缺。关键字：概率计算；概率问题；数学应用；学习意义目录一、 中学概率论的概述 41.1 概率论的起源与发展 41.1.1概率论的起源 41.1.2 概率论的发展 41.2概率论在中学数学的地位 41.3概率在中学数学的分布 4二、 概率的储备知识 52.1 概率中事件的分类 52.3.1互斥事件 52.3.2对立事件 52.3.3 独立事件 62.2 概率中的随机事件 62.2.1 频率与概率的联系 62.2.2 生活中的概率 7三、 概率在中学数学的应用 73.1概率在初中数学的求取方法 73.1.1直接列举法求概率 73.1.2列表法求概率 73.1.3树状图法求概率 83.2 概率在高中数学的应用 93.2.1条件概率的考察 93.2.2 正态分布的考察 103.2.3离散型随机变量的考察 103.2.3 均值与方差的考察 10四、 中学概率论的存在意义 114.1概率的考情 11五、 结束语 11参考文献： 12中学概率论的概述概率论的起源与发展1.1.1概率论的起源关于概率论这门学科的研究是起源于赌博中出现的各种问题，在其中联系紧密的问题之一是“分赌注问题”：在赌局中如何更合理的分配赌本。这个问题困惑了人们近两个世纪，直到帕斯卡和费马共同合作，二人从两方面着手：一边进行赌博试验；一边计算赌博中会出现各种概率。最终解决了这一问题，并且由特殊到一般情况推进。后续经荷兰科学家惠更新的多年钻研，终成《轮骰子游戏中的计算》一书，且成功解决了许多数学问题。随着这本专著的诞生，概率论这门学科已然成为一个富有生命力的数学分支。概率论的发展在早期概率论的提出创立之后，紧接着是瑞士数学家贝努利等在前人的研究理论上分析解决问题，并得到了“大数定律”这一定理，这一定理的证明花费了大量的时间和精力，经历了重重困难后方得到。随着近几个世纪的科学发展，人们也开始慢慢注意到了概率论的范围不断扩展、应用逐渐增多而且其功能不断渗透到日常生活中。概率论的方法及理论不仅仅应用于自然科学中，在现代的企业管理中也得到了充分发挥，带来了经济效益。现在的我们生活在一个拥有风险和挑战的时间节点，那么如何减少将要面对的风险，以更好的姿态面对挑战，就要掌握和理解概率论的知识。1.2概率论在中学数学的地位在初中的数学课本中开始初步学习概率的相关知识，到了高中以后关于概率的学习更加重要，也是高考的一个重点。初中教学过程中只是简单的认识概率的基本概念，初中学习的概率也是为了高中再次接触奠定基础，只是因为在初中数学中占比重过少，也不着重安排课程，因此不仅教师没有很好的掌握一些基本知识，学生也不能为以后高中的学习做好准备。在高中的教学中可以知道概率的学习是关于数学学科的重要知识点之一，是运用数学知识解决实际问题的关键。关于概率的题目也是高考的常考题型，在新课标的要求中，有关概率的教学不仅要注重培养学生的知识技能发展，也要让学生体会到数学和生活的联系。1.3概率在中学数学的分布在初中时期，第一次开始学习有关概率的知识是在七年级课本下册中数据与统计图表，更深入一些学习是在九年级时学习的简单事件概率。在高中时期学习的概率知识是在必修三课本的第三章接触随机事件概率、古典概型和初步的概率应用，接着就是在选修课本中深层学习。概率的储备知识概率中事件的分类2.3.1互斥事件定义：在一个随机试验中，存在两个不能同时发生的事件1和事件2，那么我们称这两个事件为互斥事件。如果用字母A和字母B来表示这两个事件，那么AB是一个不可能事件，由此可以得到加法公式：PA+B例题1：从工厂发来的汉服打版样品中随机选取一件汉服，令事件a=“版型完美的汉服”，事件b=“版型普通的汉服”，事件c=“版型劣质的汉服”，假设P(a)=0.2，P(b)=0.5，P(c)=0.25，试问：抽到版型完美或者版型劣质的汉服的概率是多少？抽到版型普通或者版型劣质的汉服的概率又是多少？解：记第一问的事件为e，第二问的事件为f。已知的互斥事件加法公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)。根据题目给出的条件，事件e就是事件a+c，又因为这两个事件为互斥事件，所以可选用互斥事件的加法公式得出答案，即P(e)=P(a+c)=P(a)+P(c)=0.45。事件f表示的是事件b+c，并且b事件和c事件为互斥事件，则与上述表达同理可得：P(f)=P(b+c)=P(b)+P(c)=0.75。2.3.2对立事件定义：基于互斥事件的学习，若有一个一定会发生，那么就称之为对立事件。在每一次的试验过程中，两个事件不存在同时发生的情况。对立事件也被称为逆时间，若两个事件对立，记这两个事件为A和B，那么一定会有：PA对立事件和互斥事件的关系：对立事件不适用多个事件，而互斥事件适用于大于等于两个事件；对立事件和互斥事件是被包含和包含关系；从集合的角度看，几个事件是互斥事件只需这几个事件交集为空即可，但是对立事件不仅要求交集为空，而且事件的并集要是全集。如果一些事件是互斥事件，那么这些事件有两种情况，一是可以都不发生，二是至多发生一个；如果一些事件是对立事件，那么这些事件只会有一种结果，就是只能发生一个。例题2：在一次汉服盲盒售卖中，甲抽中红色汉服的概率是1/2，乙抽中红色汉服的概率是1/3，丙抽中红色汉服的概率是1/2，盲盒到货后，若这三个人同时都中了红色汉服，那么抽中红色汉服的概率是多少？解：这个题目考查的是概率的相关知识。在做题时，我们可以先假设三人都没抽中红色汉服，此时都没抽中的概率是：（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/2）=1/6；此时题目就转换为两个事件：一个是抽中红色汉服事件，一个是未抽中红色汉服事件，显然这两个事件是对立事件，知道了未抽中事件的概率，则可根据概率公式知道抽中的概率为P=1-1/6=5/6。因此抽中红色汉服的概率为5/6。独立事件定义：一般情况下，在两个事件E，F中，如果E事件在发生对F事件没有影响，并且E事件不发生时对F事件也没有影响，显然可以得到这两个事件之间存在“独立性”，那么此时可以得到这两个事件互为独立事件，公式为：PEF拓展：独立重复事件的概率定义：在一次试验中，A事件的发生概率为P；在N次独立重复试验中，设该事件发生的次数共有ξ（ξ=0,1,2，…，N），那么事件发生k次时的概率公式可以写为Pξ=k例题3：在一次活动中，通过调查发现，穿着汉服参加活动的人的概率是0.3，现在随机选中两个参加活动的人，求出他们穿着汉服的概率。解：根据题目给出的条件，我们可以知道，穿汉服参加活动的事件和穿其他类型衣服参加活动的事件是相互独立的，因此可以使用独立事件的公式求出概率。设Ei(i=1,2)表示选取的第i个人穿汉服，则P(E1)=P(E2)=0.3，P(E1E2)=P(E1)P(E2)=0.09。概率中的随机事件在初中时期，已经初步了解几种基本事件的基本概念，到了高中将会进一步学习。首先要学习的是随机事件，这是一种不确定的事件，只是并非所有的不确定事件都包括在内。例如“谁能帮助哈利夫妇重返皇室”，这只是一个简单的不确定事件，不能被划分为随机事件中。在高中时期学习的随机事件是需要一个不确定事件经过大量重复实验得到。频率与概率的联系在高中数学教学过程中，初步了解概率知识是在课本的必修三第三章，基于初中学过的几种事件进一步学习频率与概率的联系与区分。频率的相关知识也是我们要掌握的相关概念。在日常生活中，我们常常听到人们说一些事件发生的概率，但是他们却不能很好的表达出事件概率的具体意义，虽不了解却可以使用，因为生活中的一些难以预估的事件其实就是学生在数学所要学习的关于概率的基本事件，数学来源于生活服务于生活。根据课本知识的总结，在等可能条件下，在大量重复实验后，可发现频率会在一个“常数”附近，也可以说是事件的频率具有稳定性。随机事件的频率是随机的不确定的，但是可以大致反映出这个事件出现的频繁程度；随机事件概率是确定的，且这个值在一个“常数”附近，这个“常数”的取值范围是0<=P<=1。在做题时，假若随机事件概率无法直接得到，可选用的方法是经过大量重复实验，用频率出现附近“的常数”，当做概率的一个约值。例题4：在两个小正方体六个面上分别写上数字1、2、3、4、5、6，在同等条件下，第一个小正方体抛掷700次，在此过程中向上一面上的数字为“5”的次数出现了70次，第二个小正方体抛掷500次，此时向上次数为“5”的次数出现了100次。倘若我们抛掷小正方体时希望得到“向上一面数字为5”，那么选择哪一个小正方体会更好？解：根据题目中给出的条件，为了能够清晰看出对比，可以列一个表格，如下所示：第一个小正方体第二个小正方体总抛掷次数700500向上数字为5次数70100频率0.10.5由表格可以知道小正方体向上抛掷时在“向上数字为5”的频率，在做题过程中，当我们无法直接得到事件的概率，则可选用以频率估计概率，因此根据实际需要，生活中的概率在日常生活中人们会遇到许多机遇也会有很多风险，这些都是不确定的，在我们学习过概率的相关知识后，就会发现这些不确定的事件就是我们学习过的概率基本概念。人们在平时的交流中也会不自觉地用到概率这个词语，比如：邻居家的狗要生了，有人会说小狗的毛色有4/5的概率像狗爸爸，1/5的概率像狗妈妈；也有人说小狗的毛色像父亲的概率占1/2，像母亲的毛色占1/2；后来经过遗传学家证明出的答案和第一个人的说法是相吻合的。由此可见，人们知道概率但是不能准确地表达具体含义。因此在学习时，培养学生形成正确的数学思想，教师教学时从身边实际与概率相关问题为例开展学习。概率在中学数学的应用3.1概率在初中数学的求取方法3.1.1直接列举法求概率定义：当对象涉及比较单一的情况下使用，并且等可能结果出现数目较少的情况下使用。3.1.2列表法求概率定义：为了不重不漏的表现出所有可能会出现的结果时选取列表法，当且仅当涉及到事件中有两个因素，以及事件会出现的结果数目较大时使用。列表法的一般步骤：将事件可能出现的所有结果一一列举，要求做到不重不漏，并且在列举完以后要将结果有规律的填入表格中；将我们所要求的事件发生时的结果一一找出；将这些结果事件代入已知的概率计算公式。例题5：将一个质地均匀的小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6几个数字，然后连续抛起来两次，问正面朝上的点数之和是11的概率是多少？解：由题设条件可知，该事件涉及到了两个因素，并且出现的结果数目较大，因此可选用列表法。1235612346723457834568945679105678101167891112从上述表格可以看出，两点之和为11的结果有两种，事件共会出现的结果有36种，那么点数之和为11的事件会出现的概率为PA3.1.3树状图法求概率定义：当面临两个以上因素的事件时，为了能够更好地表示出事件的所有结果，选用树状图的方法可以做到不重复、不遗漏。树状图法的一般步骤：（1）将事件的所有可能会发生的结果用树状图表示出来；（2）然后根据树状图找出事件发生时所有出现的结果；（3）最后可根据公式：P例题6：A、B、C三名学生为了参加学校组织的体育测试能够获得一个好的名次，在老师的指导下进行了足球传球训练。已知传球训练需要一个人将球送到另一个人脚下，并且每个人传给另外两人球的机会是均等的，若果现在从A同学开始，传球的场次一共三场。那么我们可以用什么方法来表示出这三次传球的所有可能情况？第二次传球后球在C同学脚下的概率是什么？足球经历三次传递后，在哪位同学脚下的概率大？解：题干当中涉及到事件的因素超过了两个，一般情况下，事件因素超过两个时选用树状图方法更为简易。用树状图表示三次传球的所有可能情况如下所示：开始A第一次BC第二次ACAB第三次BCABBCAC根据上面所画树状图，若要求第二次传球后球在C同学脚下的概率，则可选用树状图的公式，即PC=1除上述三种方法可解决初中概率题目外，还有一种方法叫做用频率估计概率，这种计算方式是针对要做大量重复实验的时候选用的，并不适用于一般解题。此外，在做题过程中，以上三种方法要择优选用，比如当题目中事件涉及两个因素时，选用列表法则结果清晰可见。面对例题2中的题目如若选用列表法，那么我们就不能很快得到答案，与此相对应的就是树状图法，适用范围广，面临有多因素事件时可帮助学生快速解题。概率在高中数学的应用在高中学习概率，要能够掌握基础概念。概率在高考中的题目类型属于中等难度，做起来并不是十分难，但是一般情况下题目会很长，比较耗费时间。又因为时间紧等因素不能仔细看题，同时又因为对知识点的掌握不牢靠，易混淆，所以容易出错。接下来就介绍一下概率的相关考查方式。在高中数学的学习中会学到很多知识点，同时又有很多知识点是交叉的。其中以概率为例：不等式、排列组合等知识点在考试时都与概率一起出现过。面对知识融合的复杂题型，首先要做到的就是能够将各个知识点在学习的时候就学扎实，当后来学习的愈加深入时，由老师引导学生去发现知识与知识之间的联系，感受数学知识学习的魅力。概率是数学中的一大重点，在初中只是简单了解，高中时作为高考的必考点，到了大学时更深入的学习概率的知识地位，更加具体感受概率的分布，以及与知识点的交汇贯通。3.2.1条件概率的考察在高考试卷中，条件概率的考察大都出现在客观题中。若要求出条件概率，则必须要知道其计算方法，也就是条件概率的公式。公式为：P(A∣B)=P(AB)/P(B)。其中P(A∣B)所表示的含义是：A事件的发生概率，是一定要在B事件发生的前提下得到的；P(AB)中的AB并不是一个事件，而是事件A和事件B，当两个事件同时发生时，才可以写成P(AB)。例7：根据安徽某一段时间的天气数据，可以知道，某一天的天气晴朗的概率为0.6。假设接着的两天天气晴朗的概率为0.45，若已知一天的天气晴朗，那么它后边一天的天气跟它一样的概率是多少？解：由题设条件可设，天气晴朗的事件为A，记P(A)=0.6；接着两天天气晴朗事件为B，记P(AB)=0.45。在知道第一天天气的状况下，想知道第二天天气一样的事件可以根据条件概率公式知道，这种事件概率可用P(B∣A)，接着利用公式可得到：P(B∣A)=P(AB)/P(A)=0.45/0.6=0.75。正态分布的考察正态分布在高考中是一个重点考察对象，在全国卷中分别考察过填空题、选择题和解答题。常考的方向有三种，为图像、面积和标准正态分布。通过正态分布求取概率时，要切记两大原则。为：3σ和数形结合原则。例8：对于正态分布N(2,σ2)，若存在一个随机变量ξ对其是服从的，所以当P(ξ﹤4)=0.6时，问P(0﹤ξ﹤2)的值为多少？解：由题设条件可知，ξ对于N(2,σ2)是服从的，所以所表示曲线的对称轴是μ=2，又因P(0﹤ξ﹤2)=P(2﹤ξ﹤4)=P(ξ﹤4)-1/2=0.1。3.2.3离散型随机变量的考察定义：对于随机变量所有可能会取到的值，并且可以将这些值用一定的顺序列出，则可称为离散型随机变量。分布列定义：当离散型随机变量ξ的取值为x1，x2，…，xi，…，xn时，可以得到的是：对于ξ的每一个取值，都有Pξ=随机变量的分布列可表示为：ζx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn离散型随机变量的性质：（1）0≤pi≤1，i∈(0,n)。（2）p1+p2+…+pn=1。例题9：流烟昔泠汉服店为了回馈顾客，推出一款汉服盲盒活动，价位一样，盲盒内的衣服放置一件到六件不等，如果选用ξ表示抽中汉服的件数，那么顾客购买时开出件数为偶数的概率是多少？开出件数大于3件又不大于5件的概率是多少？解：根据题目给出的条件，可以得到ξ的分布列为：P(ξ=i)=1/6（i=1,2，…，6）。第一问开出衣服件数为偶数是指{ξ=2}、{ξ=4}、{ξ=6}这三个事件，因此可以写为P({ξ=2}∪{ξ=4}∪{ξ=6})=P(ξ=2)+P(ξ=4)+P(ξ=6)=1/2。第二问开出衣服件数比3件多又不大于5件发生的概率为：P(3＜ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=1/3。均值与方差的考察均值公式：Eξ方差公式：Dξ均值反映数据的平均水平。通过方差可以看出数据的稳定性。例10：某次汉服活动中招募两组服务人员，其中活动场内30人，场外60人，现要登记服务人员穿汉服情况，已知场内穿汉服人员20人，场外40人，那么该活动服务人员平均穿汉服的情况是？解：x=(30*20+60*40)/(20+40)=50。所以场内人员和场外人员平均五十人穿着汉服。例11：在一次汉服模特才艺比赛中，其中某位参赛选手的评分依次是：90、89、92、90、95、94。问：若去除最高和最低分数，那么这位选手成绩的方差为多少？解：根据题目要求，去除后的数据为90、90、92、94。x=(90+90+92+94)/4=91.5，S2=[(90-91.5)2+(90-91.5)2+(92-91.5)2+(94-91.5)2]/4=2.75。中学概率论的存在意义4.1概率的考情在历年高考试卷中，考察概率知识是不可或缺的。以下表格罗列了从2015-2019年高考理科数学考察概率的题目和分值：地区考查题型20152016201720182019理科全国一卷小题12332+3理科全国二卷小题无312无理科全国三卷小题无无无22理科全国一卷计算无3444理科全国二卷计算12无无2理科全国三卷计算无无3无无相比较理科数学考察的增多，文科高考数学关于概率的考察逐渐减少，考试题型多为小题，分值两分。虽然比重小，可是统计与概率在往往会在高考中结合考察固定题型，有些老师会说这种题型考的简单是送分题，但是对比过近几年的高考试卷就会发现统计概率大题难到第一问都做不出。一个典型代表就是大前年高考理科数学卷统计概率大题甚至成为倒数第二难度的题目。虽然考察的题目少，但是在做题的时候，有固定模式答题的题目一定要拿分，难度增加的题目则需要老师投入精力钻研，并教会学生掌握。结束语在初中阶段，关于概率这个知识点的课时少，中考时考的内容也少，因此没有得到过多的重视，但是随着社会的飞速发展，生活中的许多现象以及数学学习中有许多门课是以概率为基础进行的，况且在高中课堂上还是要再次学习概率知识，并且会更加深入以及难以理解，所以在最初学习的时候就应做好知识储备。概率反映的是一种规律，表示的是客观事物存在，概率也很稳定。概率的起源是“赌徒”问题，但是随着概率的不断发展，到了今天，已经与我们的生活密切相关，我们可以通过对