速度势函数和流函数

关于速度势函数和流函数2梯度：标量场的【梯度】()是一个矢量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。第2页,共20页，2024年2月25日，星期天3势函数无旋运动时，其速度矢是可以由函数的梯度来表示的，这个函数

就称为速度矢

的【（位）势函数】。可见，用一个标量函数就把三维的速度矢都表示出来了，减少了未知量。第3页,共20页，2024年2月25日，星期天4等(位)势面：取t为一固定时刻，若有此时的几何图像是一个空间曲面，称为等势函数面——【等位势面】。当取大小不同的常数值时，上式就是等势面族。可知：（1）速度矢与等势面垂直。（2）流动（或说速度矢）是从高位势流向低位势。（3）等位势面彼此紧密的地方，速度值大；等位势面彼此疏松的地方，速度值小。第4页,共20页，2024年2月25日，星期天5散度：势函数与速度分量：称为三维拉普拉斯算符，则：是一个二阶偏微分方程——泊松方程（Poisson），由此可得到【势函数】与【速度矢】之间的互求关系。势函数与散度：第5页,共20页，2024年2月25日，星期天6流函数与平面运动：【平面运动】需要满足下列两个条件：在所有平行于某个A面的平面上，流体质点的运动都是在该平面上进行的。在A面的垂线上，各物理量都相等。若取A面为XOY平面，z轴垂直向上，以上两个条件就是：平面运动比一般的空间运动简单，具体说来速度只有二个方向的分量u,v，所有物理量只是x,y的函数。第6页,共20页，2024年2月25日，星期天7在大气中，常用XOY平面运动作为大气运动的一种近似模型，前提条件是：研究的问题中XY方向的尺度>>Z方向的尺度，Z方向的速度分量及物理量沿Z方向的变化比起其它方向小的多，可以近似认为Z方向的速度分量为零，其它物理量沿Z方向的变化也为零。第7页,共20页，2024年2月25日，星期天8流函数：我们对流函数的讨论是建立在二维运动XOY，且运动无辐散。即：由无辐散条件，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函数写成ψ，ψ的全微分为：第8页,共20页，2024年2月25日，星期天9流函数：（1.77）中为二维矢量微商符上面的ψ就是流函数，（1.77）就是流函数与速度矢的关系。第9页,共20页，2024年2月25日，星期天10流函数与流线的关系根据流线方程的求法，（*）的流线方程为：（1.75）可积的充要条件是无辐散，与（1.76）对比，发现是一样的。对（1.76）积分，得：上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线，或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。第10页,共20页，2024年2月25日，星期天11注意：流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困难。）引入流函数的优点：可以减少表征流体运动的变量。2个变1个。流函数还可以用来表示流体体积通量。第11页,共20页，2024年2月25日，星期天12流函数与体积通量：图中自南向北的4条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在该线上任一点的速度矢是，法向单位矢是，曲线单位矢是上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。第12页,共20页，2024年2月25日，星期天13流函数与涡度的关系即流函数的二维拉普拉斯运算等于流体涡度的垂直分量第13页,共20页，2024年2月25日，星期天14一般的二维流动（1）速度矢的分解一般的二维流体运动，不一定无旋或无辐散，而是既有旋又有辐散，此时我们可以把一般的二维流体运动的速度矢分成两部分，一部分是有旋无辐散，另一部分是无旋有辐散，即有：第14页,共20页，2024年2月25日，星期天15速度矢的分解称为无辐散涡旋流(流函数对应)

称为无旋辐散流(势函数对应)第15页,共20页，2024年2月25日，星期天16速度矢的分解已知速度矢，如何得到速度的分解：1）根据速度求出涡度和散度，即：2）我们在前面已经给出了【势函数与散度】的关系，【流函数与涡度】的关系，如下：这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数第16页,共20页，2024年2月25日，星期天173）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两个风速分量，即：第17页,共20页，2024年2月25日，星期天18拉普拉斯流动满足以下条件的为【拉普拉斯流动】：两维平面运动（u,v不为零，w=0）理想流体（不考虑粘性，0=μ）无辐散流（D=0）；无旋流第18页,共20页，2024年2