2024八年级数学下册测练第17招特殊四边形的性质在动点问题中的巧用习题课件新版冀教版

第17招特殊四边形的性质在动点问题中的巧用冀教版八年级下

例典例剖析如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACH的平分线于点F，连接AE，AF.【解题秘方】求点O运动到何处时四边形AECF是矩形，可以先把矩形当作已知条件，求出O点与AC的位置关系，然后添加条件，经过说理，证明四边形AECF是矩形．这是条件探索题的一般思路．(1)证明：EO＝FO.证明：∵MN∥BC，∴∠CEO＝∠ECB，∠CFO＝∠FCH.∵CE，CF分别是∠BCA，∠ACH的平分线，∴∠ECO＝∠ECB，∠FCO＝∠FCH.∴∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO.∴EO＝OC，FO＝OC.

∴EO＝FO.(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：由(1)知OE＝OF.∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵OE＝OC，∴AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．技巧1巧用平行四边形的性质解动点问题分类训练1如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合，且E点在F点的左侧)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．【解】AE＝CF，AE∥CF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.

∴AE∥CF.【点方法】证△ABE≌△CDF得到AE＝CF，即得到数量关系，证∠AED＝∠CFB得到AE∥CF，即得到位置关系．2已知等边三角形ABC的边长为12，D为射线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝60°，连接BF.(1)如图，当点D在BC边上时，求证：△ACD≌△ABF；技巧2

巧用菱形的性质解动点问题(2)在点D移动的过程中，当BF＝3时，求BD的长度．【解】∵等边三角形ABC的边长为12，∴BC＝12.∵△ACD≌△ABF，∴CD＝BF＝3.当点D在线段BC上时，此时BD＝BC－CD＝12－3＝9；当点D在线段BC的延长线上时，此时BD＝BC＋CD＝12＋3＝15.综上所述，BD的长度为9或15.3如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是(

)技巧3巧用矩形的性质解动点问题【点拨】【答案】A先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值，过D点作DM⊥AC于点M，过G点作GP⊥AC于点P，则GP∥MD，利用平行四边形的面积求DM的长，再利用三角形的中位线定理可求PG的长，进而可求解．4如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连接AF，CE.(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．【解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．∴AF＝CF.设AF＝CF＝xcm，则BF＝(8－x)cm.在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5cm.(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【解】显然当P点在AF上，Q点在CD上时，以A，C，P，Q四点为顶点不可能构成平行四边形；同理当P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，连接AP，CQ.若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.【点方法】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质，是一道综合性较强的题目．注意建立方程求解．5在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上(点F与点D不重合)，且EF＝EB.技巧4

巧用正方形的性质解动点问题(1)如图(a)，当点E在线段AO上(不与端点重合)时，①求证：∠F＝∠ABE；【证明】如图(a)，连接DE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∵点E在对角线AC上，∴∠BAC＝∠DAC＝45°.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE.∵EF＝BE，∴DE＝EF.∴∠F＝∠ADE.∴∠F＝∠ABE.②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明．(2)如图(b)，当点E在线