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第11招构造平行四边形解题的应用类型冀教版八年级下

例典例剖析如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且∠ADC＝2∠ABC.求证：AB＝AD＋CD.【解题秘方】证明线段的和差关系，常用的方法是通过作辅助线将“线段的和差关系”转化为“线段的相等关系”来解决．证明：如图，过D点作DE∥BC，交AB于点E，则∠ABC＝∠1.∵AB∥CD，DE∥BC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴∠ABC＝∠CDE，CD＝BE.又∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠ADC＝2∠ABC＝2∠CDE，∴∠ADE＝∠CDE＝∠ABC＝∠1.∴AD＝AE.∴AB＝AE＋EB＝AD＋CD.类型1证两线段相等分类训练1[2023·自贡]如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵AM＝CN，∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN.又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形．∴DM＝BN.2如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，DN＝BM.求证：EF与MN互相平分．类型2

证两线段互相平分【证明】如图，连接MF，FN，NE，EM.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠D.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD.又∵CF⊥AD，∴AE∥CF.又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE，∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE，又∵BM＝DN，∠B＝∠D，∴△BEM≌△DFN.∴EM＝FN.同理可得MF＝EN.∴四边形MENF是平行四边形．∴MN与EF互相平分．3如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求证：AC∥DF.类型3证两线段平行【证明】如图，连接AD.∵AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD∥BE，AD＝BE.∵BE＝CF，∴AD＝CF.又∵AD∥CF，∴四边形ACFD是平行四边形．∴AC∥DF.4如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD为△ABC的中线，则AD的取值范围是____________．1＜AD＜7类型4

求线段的取值范围【点拨】如图，延长AD到E，使ED＝AD，连接BE，CE.∵AD为△ABC的中线，∴DC＝BD.又∵ED＝AD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE＝6.

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