备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题3-4 二次函数选填压轴7类常考热点问题（解析版）

专题3-4二次函数选填压轴7类常考热点问题TOC\o"1-4"\n\h\z\u【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）2023年湖南省娄底市中考真题2023年四川省达州市中考真题2023年山东省烟台市中考真题2023年四川省遂宁市中考真题2022年辽宁省丹东市中考真题【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）2023年黑龙江省牡丹江市中考真题2023年四川省乐山市中考真题2023年四川省眉山市中考真题2023年辽宁省营口市中考真题2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题2023年四川省广安市中考真题2023年辽宁省丹东市中考真题2023武汉市华中科技大学附属中学二模2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题2022黑龙江省牡丹江市中考真题【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）2022·四川凉山中考真题2023·湖北武汉中考真题2023·湖北黄冈中考真题2023·青海西宁·中考真题2023年湖南省邵阳市中考真题2023年湖北省黄石市中考真题2023年内蒙古呼和浩特市中考真题【题型4】二次函数实际应用2022·四川广安中考真题2023·湖北襄阳中考真题2023·吉林长春中考真题2022·四川南充·中考真题【题型5】求参数的值或范围2022年吉林省长春市中考真题2023·湖北十堰中考真题2022·内蒙古呼和浩特中考真题2023年福建省中考真题2022·湖南湘西中考真题2022·江苏盐城中考真题2023年四川省南充市中考真题2023·浙江衢州中考真题2023年四川省泸州市中考真题2022·山东济南中考真题2022·湖北荆门中考真题【题型6】二次函数新定义问题2023年山东省菏泽市中考真题2023·四川巴中中考真题2023年四川省乐山市中考真题【题型7】二次函数中的规律探究问题2023·山东东营·九年级校考2023·四川达州·统考二模广东梅州·九年级统考2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习二次函数图像与系数a，b，c的关系如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若考法解决方法本题结果①a,b,ca:二次函数图像开口向上时，a＞0；开口向下，则a＜0，a＞0b＜0c＜0b：和a共同决定了函数对称轴的位置，“左同右异”c：②两个交点：一个交点：没有交点：③用特殊值进行判断：a＋b＋c即为当时的函数值；4a－2b＋c为当时的函数值a＋b＋c＜0a－b＋c＜0④只有a，b时，用对称轴代换，消去一个未知数进行判断∵，∴，⑤c＋a只有a，c或只有b，c时，先用对称轴代换，消去一个未知数，然后利用④中的结果判断结果∵a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∵a＞0，∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0⑥若c的系数不是1，可以先化成1再进行计算，或这把③中的某个式子中的c的系数变成题里的形式而，⑦am2＋bm和a＋b的大小关系同时加上c，am2＋bm＋c，a＋b＋c第一个式子是当x＝m时的函数值，第二个式子是当x＝1时的函数值；由图可知，x＝1时函数取最小值am2＋bm≥a＋b⑧(a+c)-b2⑨和的大小关系可以把代数式变成顶点的纵坐标公式，顶点坐标（−b假如定点纵坐标小于－1，则4ac−b24a＜−1，4ac−b2－4ac＞4a⑩若给出的值a,c的数量关系可以知道即，进而可知a,b，c可以判断关于a,b，也可以求出以a,b，【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）2023年湖南省娄底市中考真题已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（

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A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，，，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，∴，，，∴，∴，故①不符合题意；∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴，故②符合题意；∵当时函数值最大，∴，∴；故③不符合题意；∵点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴．故④符合题意；故选：D．2023年四川省达州市中考真题如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（

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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确．【详解】①∵抛物线的开口向上，∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，由得，，，故①正确；②抛物线的对称轴为，，，，故②正确；③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等．由图知时，，∴时，．即．故③错误；④由图知时二次函数有最小值，，，，故④错误；⑤由抛物线的对称轴为可得，，∴，当时，．由图知时故⑤正确．综上所述：正确的是①②⑤，有3个，故选：B2023年山东省烟台市中考真题如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（

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A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④．【详解】解：①∵该抛物线开口向下，∴，∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，∴，∵该抛物线于y轴交于正半轴，∴，∴，故①正确，符合题意；②∵，∴该抛物线的对称轴为直线，则，当时，，把得：当时，，由图可知：当时，，∴，故②不正确，不符合题意；③∵该抛物线的对称轴为直线，∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，∵该抛物线开口向下，∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵，∴，故③正确，符合题意；④将方程移项可得，∵无实数根，∴抛物线与直线没有交点，∵，∴．故④正确综上：正确的有：①③④，共三个．故选：C．2023年四川省遂宁市中考真题抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可．【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴交点位于负半轴，∴，∴，故①正确；由图象可知，，根据对称轴，得，∴∴，故②正确；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴抛物线的最大值为，当时，其函数值为，∴，∴，∵，∴，∴，故③错误；如图所示，和点满足，

∴和点关于对称轴对称，∴,∵,∴,解得，故④正确；故选C．2022年辽宁省丹东市中考真题如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴是直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a＜0∵抛物线交y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵b＝﹣4a，a＞0，∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，∵b＜0，∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．∵AM⊥CM，∴∠AMC＝∠KMH＝90°，∴∠CMH＝∠KMA，∵∠MHC＝∠MKA＝90°，∴△MHC∽△MKA，∴＝，∴＝，∴a2＝，∵a＞0，∴a＝，故⑤正确，故选：D．【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）2023年黑龙江省牡丹江市中考真题如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确．【详解】解：根据二次函数图象可知：，，，∴，∴，故①不正确；将点，代入得出：，得出：，∴，再代入得出：，故②不正确；由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为，，∵，∴，，，∵抛物线对称轴为直线，∵，，∴，∴，故③正确；把，代入方程，得∴，，故④不正确；正确的个数是1个，故选：D．2023年四川省乐山市中考真题如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】抛物线经过点，且，，可以得到，，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即，所以有，从而可得出，即可判断③；利用，再根据，所以，从而可得，即可判断④．【详解】解：∵抛物线的图象开口向上，∴，∵抛物线经过点，且，∴，∴，故①正确；∵，，∴∴，故②正确；由图象可知，当时，，即，∴∵，，∴，故③正确；∵，又∵，∴，∵抛物线的图象开口向上，∴，故④错误．∴正确的有①②③共3个，故选：B．2023年四川省眉山市中考真题如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④．【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，∴，∵二次函数的对称轴为直线，∴，∴，∴，故①正确；∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，∴当时，，∴，故②正确；∵时，，∴，∴，即，故③正确；由函数图象可知，当时，，故④正确；综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，故选D．2023年辽宁省营口市中考真题如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵抛物线与x轴交于点和点，∴抛物线对称轴为直线，故②正确；∴，∴，∴，故①错误；由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，∴当时，，故③正确；∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线对称轴为直线且开口向下，∴当时，抛物线有最大值，∴，∴，故⑤正确；综上所述，正确的有②③⑤，故选C．2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，，∵抛物线的对称轴为直线，∴，即，即②错误；∴，即①正确，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，即，故③正确；∵关于x的一元二次方程，，，∴，，∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；∵∴点，关于直线对称∵点，均在该二次函数图像上，∴，即⑤正确；综上，正确的为①③⑤，共3个故选：B．2023年四川省广安市中考真题如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，，.，..故①正确.是关于二次函数对称轴对称，.在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，

.故②正确.图象与轴交于点，，...故③正确.，.当时，，.，，.故④不正确.综上所述，正确的有①②③.故选：C.2023年辽宁省丹东市中考真题抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（

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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由图可知，即可判断①；易得向上平移个到位长度得到，则的对称轴也为直线，根据，得出，则离对称轴的距离大于离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入得到，根据对称轴得到，则，进而得出，把代入得出，用待定系数法求出直线的函数解析式为，即可判断③；由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，则原方程无实数根，求出，结合，即可判断④．【详解】解：由图可知，∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，∴，∴，故①不正确，不符合题意；∵向上平移个到位长度得到，∴的对称轴也为直线，∵，∴，∵，∴离对称轴的距离大于离对称轴的距离，∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，∴，故②不正确，不符合题意；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入得：，∵抛物线的对称轴为直线，∴，则，∴，整理得：，∴，则，把代入得：，∴，设直线的函数解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为，把代入得：，解得：，∴，故③正确，符合题意；

方程整理为，∵，由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，则原方程无实数根，∵，∴，解得：，∵，∴b的取值范围为，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有③，共1个，故选：A．2023武汉市华中科技大学附属中学二模二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是．【答案】②③④【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②；由方程有两个根和，且，即可判断③；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，①错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为，∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正确；∵抛物线交x轴于（﹣5，0），（1．0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根和，且，则，③正确；若方程有四个根，设方程的两根分别为，则＝﹣2，可得，设方程的两根分别为，则＝﹣2，可得，所以这四个根的和为﹣8，④正确．2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（

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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确．【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，∴，∴，∵抛物线交于y轴正半轴，∴c>0，∴，故①正确；∵抛物线与x轴交于(-1,0)，∴当x=-1时，，∵，∴将代入，得3a+c=0，故②正确；根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，∴y＞0时，有，故③错误；∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，当x=-2时，，当x=2时，，∵，3a+c=0，a<0，∴，，∴，故④正确2022黑龙江省牡丹江市中考真题如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x=-2，OA=5OB，可得OA=5，OB＝1，点A（－5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x=-2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝－2时y＝4a－2b＋c即可判断④.【详解】解：①观察图像可知a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误②∵对称轴为直线x=-2，OA＝5OB，可得OA=5，OB=1∴点A（－5，0），点B（1，0）∴当x＝1时，y＝0即a＋b＋c=0∴（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）＝0故②正确③抛物线的对称轴为直线x=-2，即

＝－2∴b＝4a∵a＋b＋c＝0∴5a＋c＝0∴c＝－5a∴9a＋4c＝－11a＜0，故③正确④当x＝－2时函数有最小值y＝4a－2b＋c，当x=m时，am2＋bm＋c≥4a－2b＋c整理得，若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a，故④正确故选C【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）2022·四川凉山中考真题已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（

）A．a＞0B．a＋b＝3C．抛物线经过点（－1，0）D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根【答案】C【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意；B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意；C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；故选：C．2023·湖北武汉中考真题抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是（填写序号）．【答案】②③④【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确．【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧，∵中，∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即，把代入得，即，∵，，∴，故①错误；②∵，，，∴，∴方程的两个根的积大于0，即，∵，∴，∴，即抛物线的对称轴在直线的右侧，∴抛物线的顶点在点的右侧，∴，∵，∴，故②正确；③∵，∴当时，，∴抛物线对称轴在直线的右侧，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∵，抛物线开口向下，∴距离抛物线越近的函数值越大，∴，故③正确；④方程可变为，∵方程有两个相等的实数解，∴，∵把代入得，即，∴，即，∴，∴，即，∵在抛物线上，∴，n为方程的两个根，∴，∴，∵，∴，∴，故④正确；综上分析可知，正确的是②③④．故答案为：②③④．2023·湖北黄冈中考真题已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④【答案】B【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．【详解】解：将代入，可得，故①正确；二次函数图象的对称轴为直线，点到对称轴的距离分别为：4，1，3，，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，，故②错误；二次函数图象的对称轴为直线，，又，，，当时，y取最大值，最大值为，即二次函数的图象的顶点坐标为，若m为任意实数，则故③正确；二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与x轴的另一个交点坐标为，的图象向上平移一个单位长度，即为的图象，的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧，若方程的两实数根为，且，则，故④正确；综上可知，正确的有①③④2023·青海西宁·中考真题直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：①抛物线的对称轴是直线②抛物线与x轴一定有两个交点③关于x的方程有两个根，④若，当或时，其中正确的结论是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④【答案】B【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．【详解】解：①直线经过点，，，抛物线的对称轴为直线，故①正确；②，由①得，，，，抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；③当时，，抛物线也过，由得方程，方程的一个根为，抛物线，，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，，解得：，抛物线与轴的另一个交点为，关于x的方程有两个根，，故③正确；④当，当时，，故④错误；故选：B．2023年湖南省邵阳市中考真题已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．【详解】解：∵抛物线（a是常数，，∴，故①正确；当时，，∴点在抛物线上，故②正确；当时，，当时，，故③错误；根据对称点的坐标得到，，故④错误．故选B．2023年湖北省黄石市中考真题已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据二次函数图像的对称轴为，且过，结合抛物线的对称轴即可求解．【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且图像经过，∴，即，∴点在抛物线上，∴，故结论①正确；由结论①正确可得，，且，则∴，则，故结论②正确；∵当，时，∴点离对称轴更近，当时，；当时，；故结论③错误；由得，，∵结论①正确可得，，结论②正确可得，，∴，，∴，整理得，，∵，∴，∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确；综上所述，正确的有，个，故选：．2023年内蒙古呼和浩特市中考真题关于的二次函数的结论①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．②若图象过点，点，点，则当时，．③若，对应的的整数值有个，则或．④当且时，，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，y随x的增大而增大，得出，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出y随x的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出n的值，即可判断④．【详解】解：①∵二次函数，∴该函数的对称轴为直线，∵，，∴，即和关于直线对称，∴对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意；②把代入得：，解得：，∴二次函数表达式为，∵，该函数的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，∴，∴，故②不正确，不符合题意；③∵，∴当时，，当时，，当时，∵，∴y随x的增大而增大，∵，对应的的整数值有个，∴四个整数解为：，∴，解得：，当时，∵，∴y随x的增大而减小，∵，对应的的整数值有个，∴四个整数解为：，∴，解得：，综上：或，故③正确，符合题意；④当且时，y随x的增大而减小，∵，∴当时，，解得：，∴，当时，，解得：，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③，共2个，故选：B．【题型4】二次函数实际应用2022·四川广安中考真题如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【答案】【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，∴，∴，∴抛物线解析式为：；当水面下降，水面宽为8米时，有把代入解析式，得；∴水面下降米；故答案为：2023·湖北襄阳中考真题如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是（填序号）．①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．

【答案】①【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断．【详解】解：由的顶点为，得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；由当时，，即②不正确；故答案为：①．2023·吉林长春中考真题年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面米．

【答案】【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：、、，设抛物线解析式为：，将代入解析式，解得：，，消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，平移后的抛物线解析式为：，令，解得：，故答案为：．2022·四川南充·中考真题如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高m时，水柱落点距O点．【答案】8【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，联立可求出，，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为，将（4，0）代入可得，解得h=8．故答案为：8．【题型5】求参数的值或范围2022年吉林省长春市中考真题已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为．【答案】【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．【详解】解：，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，若，当时，y随x的增大而减小，此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，若，当时，函数值y最小，最小值为1，∴，解得：或（舍去）；综上所述，a的值为．故答案为：2023·湖北十堰中考真题已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为联立解得：或∴，由，则，对称轴为直线，设，则点在上，∵且，∴点在点的左侧，即，，当时，对于，当，，此时，∴，∴∵对称轴为直线，则，∴的取值范围是，故选：A．2022·内蒙古呼和浩特中考真题在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是．【答案】或【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，当时，且抛物线过点时，，解得（舍去），当，抛物线与线段只有一个公共点时，即顶点在直线CD上，则，解得，当时，且抛物线过点时，，解得，当抛物线过点时，解得，m=-1由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，，综上所述，的取值范围为或，故答案为或．2023年福建省中考真题已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，∵分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点在对称轴的右侧，则，解得，∴∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案为：．2022·湖南湘西中考真题已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

【答案】【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．【详解】解：如图所示：

当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即解得，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，故答案为：．2022·江苏盐城中考真题若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是．【答案】【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．【详解】解：点到轴的距离小于2，，点在二次函数的图象上，，当时，有最小值为1．当时，，的取值范围为.2023年四川省南充市中考真题抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(

)A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解．【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，∴有实数根，∴即解得：或，当时，如图所示，

依题意，当时，，解得：，当时，，解得，即，当时，当时，，解得：∴

综上所述，或，故选：B．2023·浙江衢州中考真题已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．【详解】解：，，点，都在直线的上方，且，可列不等式：，，可得，设抛物线，直线，可看作抛物线在直线下方的取值范围，当时，可得，解得，，的开口向上，的解为，根据题意还可列不等式：，，可得，整理得，设抛物线，直线，可看作抛物线在直线下方的取值范围，当时，可得，解得，，抛物线开口向下，的解为或，综上所述，可得，故选：C．2023年四川省泸州市中考真题已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】∵二次函数，∴对称轴，当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，∴，∴解得；当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴当时，，∴解得，∴，∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．故选：D．2022·山东济南中考真题抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．【详解】抛物线解析式变形为：，即抛物线对称轴为，当x=m-1时，有，当x=m+1时，有，设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，当x=0时，有，∴C点坐标为，当x=m时，有，∴抛物线顶点坐标为，∵直线l⊥y轴，∴直线l为，∵m-1＜m+1，∴M点在N点左侧，此时分情况讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，∴此时不符合题意；第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，由图可知此时M、N点满足，∴此时不符合题意；第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，或者，由图可知此时M、N点满足，∴此时符合题意；此时由图可知：，解得，综上所述：m的取值范围为：2022·湖北荆门中考真题如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是．【答案】＜t＜1【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围．【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故填：＜t＜1【题型6】二次函数新定义问题2023年山东省菏泽市中考真题若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为，在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，即在的范围内，和至少有一个交点，令，整理得：，则，解得，，∴，∴或当时，，即，解得，当时，，即，解得，综上，c的取值范围是，故选：D．2023·四川巴中中考真题规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为．【答案】或【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．【详解】解：①当时，函数的解析式为，此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，当时，可得，解得，与x轴的交点坐标为，根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；①当时，函数的图象与x轴只有一个交点，，即，解得，函数的解析式为，当时，可得，解得，根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，故答案为：或．2023年四川省乐山市中考真题定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．（1）若是“和谐点”，则．（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为．【答案】【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案；（2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k