2024年中考数学专题训练 专题05 对角互补模型综合应用（专项训练）（原卷版+解析）

专题05对角互补模型综合应用（专项训练）1．如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．3.（袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．4.（2023秋•泉港区期末）如图，在正方形ABCD中，AC交BD于O，F在AC上，连线DF，过F作FE⊥DF交BD于G，交AB于E．（1）求证：DF＝EF；（2）若F为OC中点，求证：FG＝EG．5.（2023•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．6.（2023春•满城区期末）如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为平面内外一点，且BP⊥CP．过点O作OE⊥OP交PB的延长线于E．（1）探究BE与PC之间的数量关系，并说明理由．（2）BP、CP、OP三者之间存在怎样的关系？并说明理由．7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD．求证：∠EAF＝∠BAD（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．8．问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．专题05对角互补模型综合应用（专项训练）1．如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．【解答】解：如图，过正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，则∠EOM＝∠FON，OM＝ON，在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（ASA），则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，如正方形ABCD的边长是1，则OMCN的面积是cm2，∴得阴影部分面积等于正方形面积的cm2，即是cm2，∴5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4＝1cm2，故答案为：1cm2．2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为2．【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案为：2+2．3.（袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．【答案】略【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．4.（2023秋•泉港区期末）如图，在正方形ABCD中，AC交BD于O，F在AC上，连线DF，过F作FE⊥DF交BD于G，交AB于E．（1）求证：DF＝EF；（2）若F为OC中点，求证：FG＝EG．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）如图1，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DAC＝∠BAC＝45°，AC⊥BD，在△DAF和△BAF中，，∴△DAF≌△BAF（SAS），∴DF＝BF，∠ADF＝∠ABF，∵∠DAE＝∠DFE＝90°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∵∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠ADF＝∠BEF，∴∠ABF＝∠BEF，∴BF＝EF＝DF；（2）如图2，过点E作EH⊥AC于H，∴∠EHF＝∠DOF＝90°，∴∠DFO+∠FDO＝90°＝∠DFO+∠EFH，∴∠FDO＝∠EFH，在△DFO和△FEH中，，∴△DFO≌△FEH（AAS），∴DO＝FH，∵F为OC中点，∴FO＝CF，∴OH＝OF，∵BD∥HE，∴，∴FG＝GE．5.（2023•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．【答案】略【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．6.（2023春•满城区期末）如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为平面内外一点，且BP⊥CP．过点O作OE⊥OP交PB的延长线于E．（1）探究BE与PC之间的数量关系，并说明理由．（2）BP、CP、OP三者之间存在怎样的关系？并说明理由．【答案】（1）BE＝PC（2）BP+CP＝OP【解答】解：（1）BE＝PC，理由如下：如图，连接OB，∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，OB⊥OC，∵OE⊥OP，∴∠EOP＝∠BOC＝90°，∴∠EOB+∠BOP＝∠POC+∠BOP，即∠EOB＝∠POC，∵OE⊥OP，BP⊥CP，∴∠E+∠OPE＝∠OPC+∠OPE＝90°，∴∠E＝∠OPC，在△BOE与△COP中，，∴△BOE≌△COP（AAS），∴BE＝PC；（2）BP+CP＝OP，理由如下：由（1）知，△BOE≌△COP，∴BE＝CP，OE＝OP，∴Rt△EOP是等腰直角三角形，∴EP＝＝OP，∵EP＝BP+BE＝BP+CP，∴BP+CP＝OP．7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD．求证：∠EAF＝∠BAD（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．【解答】证明：（1）延长CB至M，使得BM＝DF，连接AM，∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABM与△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠DAF＝∠BAM，∵EF＝BE+DF＝BE+BM＝ME，在△AME与△AFE中，∴△AME≌△AFE（SSS），∴∠MAE＝∠EAF，∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF，即∠EAF＝∠BAD；（2）线段EF、BE、FD之间的数量关系是EF+DF＝BE，在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABM＝∠ADF，在△ABM与△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAM，在△AEM与△AEF中，∴△AEM≌△AEF（SAS），∴EM＝EF，即BE﹣BM＝EF，即BE﹣DF＝EF．8．问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，在△DCG与△DBE中，，∴△DCG≌△DBE（SAS），∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，又∵DE⊥DF，∴FD垂直平分线段EG，∴FG＝FE，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠FCG＝90°，在△CFG中，C