考研数学北京航天航空大学线性代数-2-5

§5几种特殊类型的矩阵一单位矩阵数量矩阵对角形矩阵二对称矩阵与反对称矩阵三上(下)三角形矩阵四正交矩阵单位矩阵数量矩阵对角形矩阵对于任何矩阵Am

n有:单位矩阵在矩阵乘法中起着类似于数1的作用特别,当为A阶方阵时,有单位矩阵数量矩阵利用矩阵的乘法运算,对于任意n阶方阵A有即用数量矩阵左(或右)乘方阵A等于数k乘矩阵A,即数量矩阵在矩阵的乘法中的作用相当于一个数.对角形矩阵定义

方阵的非主对角线的元素全部为零,即形如:的矩阵,称为对角形矩阵.

数量矩阵,单位方阵是对角形矩阵的特例.对角形矩阵的性质1.两个对角形矩阵的和、差、积仍为对角形矩阵;2.以对角形矩阵左(右)乘矩阵A,相当于将对角形矩阵的各行(列)元素乘A相应的行(列)的各个元素,即:3.假设对角形矩阵可逆,那么它的逆矩阵仍为对角形矩阵,且对称矩阵与反对称矩阵定义设A=(aij)为n阶方阵,如果有A=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n),那么称A是对称矩阵.如果有A=–A,即aij=–aji(i,j=1,2,…,n),那么称A是反对称矩阵.注:反对称矩阵必有aii=0(i=1,2,…,n).例如是对称矩阵.是反对称矩阵.对称矩阵的性质1.设A,B都是对称矩阵,那么A+B,kA仍是对称矩阵;2.设A为mn矩阵,那么AA与AA都是对称矩阵;3.如果A是可逆的对称矩阵,那么A-1是对称矩阵.证明1.显然.2.AA是n阶方阵,且(AA)=A(A)=AA.因此AA是n阶对称矩阵.同理AA是m阶对称矩阵.3.由A对称,即A

=A.从而A-1A=A-1A=E.即A-1=(A

)-1=(A-1),所以A-1为对称矩阵.反对称矩阵的性质1.设A,B都是反对称矩阵,那么A+B,kA(k0)仍是反对称矩阵.2.如果A是可逆的反对称矩阵,那么A-1是反对称矩阵.证明2.由(A-1)=(A)-1,那么(A-1)=(A)-1=(–A)-1=–A-1.因此A-1是反对称矩阵.注意奇数阶反对称矩阵一定不可逆.证因为由得所以AB–BA为对称矩阵.例1设A为n阶反对称矩阵,B为n阶对称矩阵,试证AB–BA为对称矩阵.上(下)三角型矩阵定义主对角线下方的元素全为零(即i>j时,aij=0)的方阵称为上三角矩阵,即1.两个n阶上三角矩阵的乘积仍为上三角型矩阵,并且主对角线的元素为原先两个矩阵的主对角线元素的相应的乘积,即:上三角形矩阵性质上三角形矩阵A的可逆的充分必要条件是:即A的主对角线元素全不为零.2.假设上三角形矩阵A是可逆的,那么其逆矩阵A-1也是上三角形矩阵,并且:证明设要说明A-1是上三角形矩阵,即i>j时,cij=0.考察A-1的第j(j=1,2,…,n-1)列元素c1j,c2j,…,cnj.由AA-1=E与矩阵相等的定义，得第j列即n-j个等式最后n-j个等式说明cj+1j,cj+2j,…,cnj是以下齐次线性方程组的解.此方程组系数行列式不为零,因此只有零解.因此cj+1j=cj+2j=…=cnj=0,j=1,2,…,n-1.说明A-1是上三角形矩阵.下面证明cii=aii-1.将上述结果代入第j个方程,得ajjcjj=1,即cii=aii-1.下三角形矩阵与上三角形矩阵的性质类似.正交矩阵定义实数域上的方阵A如果满足AA=AA=E,那么称A为正交矩阵.例如都是正交矩阵.结论实数域上的方阵A是正交矩阵的充分必要条件是A-1=A

.正交矩阵的性质1.正交矩阵是满秩矩阵,且|A|=1或|A|=–1.2.正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵.3.假设A,B都是正交矩阵,那么AB也是正交矩阵.4.正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1.不同两行(列)