整式的乘法与因式分解能力培优

第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一幂的性质1．【2012·湛江】以下运算中，正确的选项是〔〕A．3a2－a2＝2B．(a2)3＝a9C．a3•a6＝a9D．(2a2)2＝2a42．【2012·泰州】以下计算正确的选项是〔〕A．·B．·C．D．3．【2012·衢州】以下计算正确的选项是〔〕A．2a2＋a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3 C．a6·a2＝a12 D．(－a6)2＝a12专题二幂的性质的逆用4．假设2a=3，2b=4，那么23a+2b等于〔〕A．7B．12C．432D．1085．假设2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．6．计算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015；(2)(－)2015×811007．专题三整式的乘法7．以下运算中正确的选项是〔〕A．B．C．D．8．假设〔3x2－2x+1〕〔x+b〕中不含x2项，求b的值，并求〔3x2－2x+1〕〔x+b〕的值．9．先阅读，再填空解题：

〔x+5〕〔x+6〕=x2+11x+30；

〔x－5〕〔x－6〕=x2－11x+30；

〔x－5〕〔x+6〕=x2+x－30；

〔x+5〕〔x－6〕=x2－x－30．

〔1〕观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________．〔2〕根据以上的规律，用公式表示出来：________．〔3〕根据规律，直接写出以下各式的结果：〔a+99〕〔a－100〕=________；〔y－80〕〔y－81〕=________．专题四整式的除法10．计算：〔3x3y－18x2y2+x2y〕÷〔－6x2y〕=________．11．计算：．12．计算：〔a－b〕3÷〔b－a〕2+〔－a－b〕5÷〔a+b〕4．状元笔记【知识要点】1．幂的性质(1)同底数幂的乘法：(m，n都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(2)幂的乘方：(m，n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．(3)积的乘方：(n都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．整式的乘法(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式．(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加．(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．3．整式的除法(1)同底数幂相除：(m，n都是正整数，并且m＞n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减．(2)(a≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式．(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【温馨提示】1．同底数幂乘法法那么与合并同类项法那么相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法那么是“系数相加，字母及字母的指数不变”．2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”．3．运用同底数幂的乘法(除法)法那么时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法那么进行计算．4．在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．【方法技巧】1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式．2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否那么容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．参考答案:1．C解析：A中，3a2与－a2是同类项，可以合并，3a2―a2＝2a2，故A错误；B中，(a2)3＝a2×3=a6，故B错误；C中，a3•a6＝a3+6＝a9，故C正确；D中，(2a2)2＝22〔a2〕2＝4a4，故D错误．应选C．2．C解析：·，选项A错误；·，选项B错误；，选项C正确；，选项D错误.应选C．3．D解析：A中，，故A错误；B中，，故B错误；C中，，故C错误.应选D．4．C解析：23a+2b=23a×22b=〔2a〕3×〔2b〕2=33×42=432．应选C．5．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=〔2ｍ〕3·〔2ｎ〕2=53·32=1125.6．解：(1)原式=(0.125×2×4)2014×(－4)=12014×(－4)=－4．(2)原式=(－)2015×92014=(×9)2014×(－)=－．7．B解析：A中，由合并同类项的法那么可得3a+2a=5a，故A错误；B中，由多项式与多项式相乘的法那么可得=，故B正确；C中，由单项式与单项式相乘的法那么可得=，故C错误；D中，由多项式与多项式相乘的法那么可得，故D错误.综上所述，选B．8．解：原式=3x3+〔3b－2〕x2+〔－2b+1〕x+b，

∵不含x2项，

∴3b－2=0，得b=．∴〔3x2－2x+1〕〔x+〕=3x3－2x2+x+2x2－x+=3x3－x+．9．解：〔1〕观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：

一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；

〔2〕根据以上的规律，用公式表示出来：〔a+b〕〔a+c〕=a2+〔b+c〕a+bc；

〔3〕根据〔2〕中得出的公式得：〔a+99〕〔a－100〕=a2－a－9900；〔y－80〕〔y－81〕=y2－161y+6480．

10．－x+3y－解析：〔3x3y－18x2y2+x2y〕÷〔－6x2y〕=〔3x3y〕÷〔－6x2y〕－18x2y2÷〔－6x2y〕+x2y÷〔－6x2y〕=－x+3y－．

11．解：原式12．解：〔a－b〕3÷〔b－a〕2+〔－a－b〕5÷〔a+b〕4，

=〔a－b〕3÷〔a－b〕2－〔a+b〕5÷〔a+b〕4，

=〔a－b〕－〔a+b〕，

=a－b－a－b，

=－2b．14.2乘法公式专题一乘法公式1．以下各式中运算错误的选项是〔〕A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4abC．(a+b)(－a+b)=－a2+b2 D．(a+b)(－a－b)=－a2－b22．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的选项是〔〕A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)43．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)〔其中x=2，y=3〕．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是〔〕A．〔a+b〕〔a－b〕=a2－b2B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a－b〕2=a2－2ab+b2D．〔a+b〕2=a2+ab+b25．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是〔〕A．a2－b2=〔a+b〕〔a－b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a－b〕2=a2－2ab+b2D．a〔a+b〕=a2+ab6．我们在学习完全平方公式〔a+b〕2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：〔a+b+c〕2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明〔大致画出图形即可〕并计算〔a+b+c〕2吗？状元笔记【知识要点】1．平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．2．完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【温馨提示】1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．【方法技巧】1．公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．参考答案:1．D解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D错误．2．A解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，当x=2，y=3时，原式=22+4×2×3=4+24=28．4．B解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各局部的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式〔a+b〕2=a2+2ab+b2．应选B．5．C解析：从图中可知：阴影局部的面积是〔a－b〕2和b2，剩余的矩形面积是〔a－b〕b和〔a－b〕b，即大阴影局部的面积是〔a－b〕2，∴〔a－b〕2=a2－2ab+b2，应选C．6．解：〔a+b+c〕2的几何背景如图，整体的面积为：〔a+b+c〕2，用各局部的面积之和表示为：〔a+b+c〕2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以〔a+b+c〕2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．14.3因式分解专题一因式分解1．【2012·西宁】以下分解因式正确的选项是〔〕A．3x2－6x=x(x－6)B．－a2+b2=(b+a)(b－a)C．4x2－y2=(4x－y)(4x+y)D．4x2－2xy+y2=(2x－y)22．【2012·广元】分解因式：3m3－18m2n+27mn2=____________．3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．专题二在实数范围内分解因式4．在实数范围内因式分解x4－4=____________．5．把以下各式因式分解〔在实数范围内〕

〔1〕3x2－16；〔2〕x4－10x2+25．6．在实数范围内分解因式：

〔1〕x3－2x；〔2〕x4－6x2+9．专题三因式分解的应用7．如果m－n=－5，mn=6，那么m2n－mn2的值是〔〕 A．30 B．－30 C．11 D．－118．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．9．在以下三个不为零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，〔1〕请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；〔2〕请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．状元笔记【知识要点】1．因式分解我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2．因式分解的方法(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．【温馨提示】1．分解因式的对象必须是多项式，如把分解成就不是分解因式，因为不是多项式．2．分解因式的结果必须是积的形式，如就不是分解因式，因为结果不是积的形式．【方法技巧】1．假设首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如．2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．参考答案:1．B解析：A中，3x2－6x=3x(x－2)，故A错误；B中，－a2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b－a)，故B正确；C中，4x2－y2=(2x)2－(2y)