广东省茂名市五校联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题和答案

20232024学年度茂名市五校联盟高二联考数学试题本试卷共4页,19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线l的方程为槡3工十>—1-0，则直线l的倾斜角为2.已知等比数列{an}中，a2.a8-4a5，等差数列{bn}中，b4十b6-a5，则数列{bn}的前9项和S9-A.9B.18C.36D.72三1的解集为22-9，直线lm十3）工（m十2）>十m-0.则直线l被圆C截得的弦长的最小值为B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面a，β内，AC」AB-AC-2，BD-槡2，则CD-6.双曲线—-1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线左支上一点，人F1MF2-900，直线MF2交双曲线的另一支于点N，MN-2NF2，则双曲线的离心率为A.2B.槡5C.3D.9A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b 8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为36π,且3三l 三槡42三槡A.18B.814D.27C.D.273二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1A.直线DD1与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行9C.平面9C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点A1和点D到平面AEF的距离不相等工11.如图，已知直线l与抛物线>2-2P工（P>0）交于A，B两点，且OA」OB，OD」AB交AB于点D，则54A.若点D的坐标为（2，1则54B.直线l恒过定点（P，0）C.点D的轨迹方程为工2十>2—2P工-0（工牛0）D.ΔAOB的面积的最小值为4P2（工11若方程f（工）—k-0有2个不同的实根，则实数k的取值范围是.13.下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为.若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为.22-4上的两个不同的点，若MN-2槡2，则工1十>1十工2十>2的取值范围为.数学试题第1页（共4页）数学试题第2页（共4页）四、解答题（本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分（95分及以上为认知程度高）,结果认知程度高的有m人,按年龄分成5组,其中第一组：[20,25）,第二组：[25,30）,第三组：[30,35）,第四组：[35,40）,第五组：[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图,求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人,担任本市的“中国梦”宣传使者.①若有甲（年龄38）,乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取2名作为组长,求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.16.（本小题满分15分）已知数列{an}满足：a1-2,an十1—an-2n.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的首项为1,其前n项和sn满足nsn十1—（n十1）sn-n（n1）,证明：若vneN*,十十…十>1.17.（本小题满分15分）如图所示,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD」底面ABCD,PA-PD-槡2,PA」PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC/AD,AB」AD,AB-BC-1,O为AD的中点.（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；（2）求B点到平面PCD的距离； （3）线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q—AC—D的余 弦值为槡？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.18.（本小题满分17分）已知椭圆C：十-1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,该椭圆的离心率为,且椭圆上动点M与点F1的最大距离为3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图,若直线l与工轴、椭圆C顺次交于P,Q,R（点P在椭圆左顶点的左侧）,且人PF1Q十人PF1R-π,求ΔRQF1面积的最大值.19.（本小题满分17分）1λ恒成立,求实数λ的取值范围.数学试题第3页（共4页）数学试题第4页（共4页）数学参考答案及解析数学.1.20232024学年度茂名市五校联盟高二联考数学参考答案及解析1.C【考点】直线的倾斜角与斜率（容易题）【解析】由直线l:槡3工十>—1—0得>——槡3工十1,~k——槡3,得倾斜角为.故选C.2.B【考点】等差、等比数列的基本定义、公式与性质（容易题）【解析】由等比数列的性质得a2.a8—a—4a5,~a5—4,由等差数列的性质得b1十b9—b4十b6—a5—4,~S9—（a1十9）X9—18.故选B.3.C【考点】导数的几何意义,解对数函数不等式（容易题）解得1三工三e.故选C.4.D【考点】直线恒过定点,直线与圆相交的弦长（取材于课本P103改编,中档题）【解析】直线l:（m十3）工—（m十2）>十m—0.恒过定点P（2,3）,当CP」l时,圆心C到直线l的距离最大为d—CP—槡2,此时,直线l被圆C截得的弦长最小,最小值为2槡r2—d2—2槡7.故选D.5.A【考点】二面角的平面角定义,向量法求距离（课本P41习题改编,中档题）【解析】由二面角的平面角的定义知〈BD,AC〉—,~.槡2X2XSin——2,由AC」l,BD」l,得AC.BA—0,BD.BA—0,又DC—DB十BA十AC,~DC一一一一一一AC,~DC2—（DB十BA十AC）2—DB2十BA2十AC2十2DB.BA十2DB.AC十2BA.AC—14,一~DC—槡14.故选A.6.B【考点】双曲线的定义、离心率【解析】设NF2—工,则MN—2工,MF2—3工,由双曲线的定义得MF2—MF1—2a,故 —2a；由NF1—NF2—2a,故 NF1—工十2a,在RtΔMF1F2中,MF12十 2—42,①,在RtΔMF1N中,MF12十MN2—NF12,即22,②,由②得工a,a槡代入①得20a2—4c2,故e—c—.故选Ba槡7.A【考点】构造函数,利用函数的单调性比较大小（较难题）工,11工,11数学参考答案及解析20，4，f（工）>0，f（工）单调递增；当工ef,（工）<0，f（工）单调递减，<2<3，AEnEF—EA1H/平面AEF，HG/平面AEF，而A1HnHG—H平面A1HG/平面AEF，又A1G一平面A1HGA1G/平面AEF.B正确；由正方体性质，连接FD1，AD1，则截面AEF即为四边形AEFD1，它是等腰梯形，AD1—2槡2，EF—槡2，D1F—AE—槡5，等腰梯形的高为h—槡22—3，截面面积为S—X（槡2十2槡2）X3—，C正确；设A1DnAD1—O，易知O是A1D的中点A1，D两点到平面AEFD1的距离相等.D不正确.故选BC.10.BCD【考点】导数法在研究函数中的应用（最值、极点、函数的零点、恒成立等问题中档偏难题）tt，teR，当te(—…,0g,（t）>0，g（t）单调递f（工）的值域不为R，故A不正确；对于B：由A选项可知，当a牛0时，工—0是f（工）的即>ln2—<—ln2，故c>b，故c>b>a.故选A.8.C【考点】空间几何体的基本计算公式，导数法求函数的最值（较难题）【解析】只球的表面积为36π,所以球的半径R—3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2—2a2十h2，—l2，2a2—l2—h2正四棱锥的体积V—Sh—X4a2Xh—X—l3 k（k牛三4槡 k（k牛取最大值，最大值为.故选C.—1与函数>—图象恒有交点，当a牛0时，由选项—1与函数>—图象恒有交点，当a牛0时，由选项f何的位置关系、求距离中的应用（课本P48习题改编，中档题）在第四象限与f（工）有交点，当k<0时，函数>—在第四象限与f（工）有交点，当k<0时，函数>—— k—：DD1与AF不垂直，A错；取B1C1中点H，连接A1H，由G，E，F分别是BB1，BC，CC1中点，得HG/BC1/EF，又HE/BB1/AA1，HE—BB1—AA1，A1HEA是平行四边形A1H/AE，数学参考答案及解析数学3故D正确.故选BCD.11.ACD【考点】直线与抛物线的位置关系综合，直线过定点，动点的轨迹，最值问题（课本P146习题改编，中档偏难题）,由OD」AB， 12,由OD」AB， 122则>2：p—，故A正确；对于BCD：可设lA2十>2—2pm1>2定点M（2p，0故B不正确；由OD」ABD在以OM为直径的圆工—p）2十>2—p2上运动（原点除外故C正确；此时：lAB：工—m>十2p，过定点，sΔAOB—1十>221>2—2p2槡2十4>4p2，故D正确.故选ACD.12.【考点】导数法研究函数的单调性、极值、方程的根的个数（P104习题改编，中档题）23f（工）—上单调极大值—f（0）—1；当工从1的左侧无限趋近于1时，>一—…;当工从1的右侧无限趋近于1时，>一十…；当极小值—f—4e工：满足题意的K的取值范围是0<m<1或m>n—1【考点】等比数列的应用，递推公式（P55习题改编，中档题）【解析】记第n个图形为Pn，三角形的边长为an，边数为bn，周长为Ln，面积为sn，P1有b1条边，边长为a1；P2有b2—4b1条边，边长为a2—a1；P3有—an—1—b1..当第1个图中的三角形的周长为1时，即a1—1—3Ln—anbn—nX3X4n—1—4n—1,由图形可知Pn是在Pn4n—1个小三角形，即sn—sn—1十bn—1X槡a，即sn—数学参考答案及解析.4.sn—1—槡a.bn—1，sn—1—sn—2—槡a—1.bn—2，…，s2—s1—槡a.b1，利用累加法可得sn—s1—的等比数列，故数列{a.bn—1}是以为公比的等比数列，当第1个图中的三角形面积为1时，s1—1，即槡a—1，此时a—43，a—4，P1有b1—3条边，则a.bn—1十a—1.bn—2十a.b1—1—n—1只sn—s1—X（1—n—1只sn——X n—1.故答案为n—1；—Xn—1.14.[10，18]【考点】动点的轨迹、活用点到直线距离公式、圆上的点到直线距离的最值问题（较难题）【解析】只MN—2槡2，只弦MN的中点P的轨迹>1 >2槡2十1十—槡2 >2槡21十1十>槡2直线工十>—0的距离之和，即：等于MN的中点P到直线工十>—0的距离PH的2倍，只CH—T三PH三CH十T，即52三PH三92.只10三工1十>1十工2十>2三18.故答案为[10，18].15.【考点】由频率分布直方图估计数据的数字特征、古典概型、从分层随机抽样的平均数与方差估计总体平均数与方差（容易题）解:（1）由题意，—5X0.01，所以m—200.（1分）设第80百分位数为a，因为0.01X5十0.07X5十0.06X5—0.7<0.8，0.01X5十0.07X5十0.06X5十0.04X5—0.9>0.8，故第80百分位数位于第四组：[35，40）内，由0.05十0.35十0.3十（a—35）X0.04—0.8，解得：a—37.5，所以第80百分位数为37.5.（4分）（2）①由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，样本空间为：Ω—{（A，BA，CA，甲A，乙A，DB，CB，甲B，乙B，DC，共15个样本点.（6分）设事件M—“甲、乙两人至少一人被选上”，（7（9分）所以P（M）—ℴ.（9分）②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4则4—37，5—43，s—，s—110分）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为数学参考答案及解析数学52—{4X[S十（4—）2]十2X[S十2]}—10,因此,第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,（12分）据此,可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.（13分）16.【考点】等差、等比数列的基本概念；累加法、法求数列的通项公式；错位相减法求和、数列的单调性（中档题）,a1—2,—2十21十22十…十2n—2十2n—11.（5分） 1—1,（6分）：数列是以首项为1,公差为的等差数列,（7分）b1—1也符合该式,：bn—n.（8分）nn(123n(123n（Tn—十十十…十作差得Tn—1十十十十…十—（12分）党Tn十1—Tn——n3—n1>0,（13分）：数列{Tn}在neN*上单调递增,（Tn）min—T1—1,：Tn>1.即十十…十>1.（15分）17.【考点】向量法求线面角、二面角、点面距、探究性问题（中档题）解:（1）在ΔPAD中,PA—PD,O为AD的中点,：PO」AD又党侧面PAD」底面ABCD,平面PADn平面ABCD—AD,PO仁平面PAD,：PO」平面ABCD.在ΔPAD中,PA」PD,PA—PD—槡2,：AD—2.在直角梯形ABCD中,O为AD的中点,：OA—BC—1,：OC」AD.（2分）以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,数学参考答案及解析.6.（7分）（7分）2—一只OA」OP,OA」OC,OPnOC—O,：OA」平面POC.一：OA（0,—1,0）为平面POC的法向量,设PB与平面POC所成角为θ, ：PB与平面POC所成角的余弦值为槡.（5分）一〈一一PD—>—之0一（9分）（3）假设存在,且设PQ—λPD（0三λ三1）.一：OQ（0,λ,1λ),：Q（0,λ,1λ).一>1—0一一λ,得m—（1λ,λ—1,λ十1）,（11分）而平面CAD的一个法向量为n—（0,0,1）, 只二面角Q—AC—D的余弦值为槡, 2十(λ—2十(λ十1）23整理化简,得3λ2—10λ十3—0.解得λ—或λ—3（舍去）,（14分）：线段PD上存在满足题意的点Q,且—.（15分）18.【考点】椭圆的基本概念与性质,直线与椭圆的位置关系综合问题,基本不等式求最值（中档偏难题）解:（1）只椭圆的离心率为,：e——,即a—2c.（1分）只椭圆上动点M与点F1的最大距离为3,：a十c—3.（2分）：a—2,c—1,：b—槡3,（3分）：椭圆C的标准方程为:十—1.（4分）,>1,>2只人PF1Q十人PF1R—π,：KQF1十KRF1—0.（5分）：工11十工21—0,整理得工1>2十工2>1十>1十>2（6分）—0.（6分）设直线PQ的方程为工—m>十n（m牛0）,2—1212—0,2十43n2—12）>0,：n2<3m2十4,（7分）2十n,（8分）—0,数学参考答案及解析数学7三三只m牛0n——4.：直线PQ的方程为工—m>—4.（11分