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文档简介

数列的单调性所谓数列，由前面的基础知识可知，实则就是函数图像上一个个孤立的点，而单调性作为函数最重要的性质之一，自然而然的单调性也是数列的一个基本性质之一.本节就数列的单调性问题进行相关总结.研究数列单调性的基本方法作差法：例1、已知数列{an}满足an=n+12n证明：∵a∴a则an+1故数列{an}作商法：例2、已知an=(n+1)1011n证明：令an即(n+1)整理得：n+1n≥11同理，令a即(n+1)整理得：n+1n+2≥1∴{an}从第1项到第9函数法(导数法)例4、记为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值.解：（1）略（）（2）方法一：我们可以借助一个二次函数函数，很明显这个函数在上单调递减，在上单调递增，那么可以得到最小值，从而的最小值为.方法二：由于数列的通项公式，可以借助函数.在，；在，，所以数列的前4项均为负数，故而的最小值为.变式:（1）如果一个数列的前项和为，那么求取得最小值时序号是多少？很显然，或.(取得最值时为n=4.5，但n只能取整数)（2）在（1）的前提下，求取得最小值时序号是多少？可以借助函数，求导.在单调递减，在上单调递增，从而.故而取得最小值时序号是例5、已知单调递增数列的通项公式求的取值范围.解：这一个题我们很容易想到这样题目：设在上是的一个增函数，且求的取值范围.只需要，可以求得的范围是.对于数列就有一点问题，因为数列在直角坐标系所对应的点是不连续的限制条件应该为，即，求得的范围是.变式：（1）设函数f(x)=a-2x，x≥2，由题意即可，可得的取值范围.（2）已知数列中，.对任意的，都有成立，求的取值范围.由题意，可借助函数在，单调递减再结合数列的离散性特点，可得限制条件，得到的范围为.总结：我们在利用函数与数列共性来解题时，还要注意数列的特殊性（离散性），它的图像是一系列孤立的点，而不像我们研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解题中应该充分利用这一特殊性.在研究数列单调性时，只要这些点每个比它的前一个点高（即），则图象呈上升趋势；反之，呈下降趋势.课后练习已知cn=(n+1)1n+12、已知f(x)=3-ax-3，x≤7，ax-6，x>7，，1、解：令f(x)=lnx则f’(x)=当x≥3时，lnx>1，1-lnx<0，f在[3，

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